工科數(shù)學(xué)分析第十章課件

1、一階微分方程求解§10.3§3.1可分離變量的微分方程g( y)dy =f ( x)dx(1)可分離變量的微分方程- 44= 2 x2 y 5dyÞ y 5dy = 2 x 2dx.例如dxy = j( x) 是分析:設(shè)函數(shù) f ( x )和g( y )是連續(xù)的,方程(1)的解,則g(j(=f ( x)dx兩端ò= òg(j(f ( x)dx利用 y = j( x)作代換,引入變量y, 則ò g( y)dy = ò f ( x)dxG( y) = F ( x) + C方程(1)的解滿足關(guān)系式 (2).(2)于是說明:反之:如

2、果 y = j( x) 是由關(guān)系式(2)確定的隱函數(shù),由隱函數(shù)求導(dǎo)法可知,當(dāng)g( y) ¹ 0時,j'( x) = F '( x) =f ( x)G'( y)g( y)所以 y = j( x)表明 y = j( x) 滿足方程(1),是方程(1)的解.f ( x ), g( y )連續(xù), g( y ) ¹ 0.解法在上面的假設(shè)條件下,通過兩端ò g( y)dy = ò f ( x)dx得到的關(guān)系式G( y) = F ( x) + C隱式通解就是方程(1)的隱式解.dy = 2xy 的通解.例1求解微分方程dxdy = 2 xdx,

3、解分離變量yò dy = ò 2 xdx,兩端yln | y |= x 2 + C12 y = Ce x 為所求通解.衰變速度 dM ,解dM由題設(shè)條件dtdM= -ldt= -lM(l > 0衰變系數(shù))Mdtò dM = ò - ldt,ln M = -lt + ln C ,即M = Ce -lt ,M= Ce 0 = C ,= M0得 M代入Mt =00e -lt M = M衰變規(guī)律0某車間體積為12000立方米, 開始時空氣中例3含有0.1%的CO2 , 為了降低車間內(nèi)空氣中CO2 的含量, 用一臺風(fēng)量為每分2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含0.0

4、3%的CO2的新鮮空氣, 同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動6分鐘后, 車間內(nèi)CO2的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后 t 時刻 CO2的含量為x(t )%在t , t + dt 內(nèi),CO2的通入量 = 2000 × dt × 0.03, CO2的排出量 = 2000 × dt × x(t ),解CO2的改變量CO2的排出量CO2的通入量12000dx = 2000 × dt × 0.03- 2000 × dt × x(t ),-1tdx1= -( x - 0.03),Þ x = 0.0

5、3 + Ce,6dt6-1tÞ x = 0.03 + 0.07e C = 0.07,= 0.1,6Q x |t =0-1x |t =6 = 0.03 + 0.07e» 0.056,6分鐘后, 車間內(nèi)CO2的百分比降低到0.056%.思考題求解微分方程 dy + cos x - y = cos x + y .dx22思考題解答dy + cos x - y - cos x + y = 0,dx22dy= - sin x dx,dy +xyòy2sinò2sinsin= 0, 222dx2= 2cos x + C ,lncsc y - cot y為所求解.22

6、2齊次方程§3.2形如 dy =y的微分方程稱為齊次方程.1.定義f ()dxxy ,2. 解法作變量代換 u =即 y = xu,xdy = u + x du ,dy = udx + xdu,dxdxu + x du = f (u),代入原式dxdu = f (u) - u .可分離變量的方程即dxxdu分離變量,f (u) - udu（j(u) = ò）x = Cej(u) ,即f (u) - uyyj()將 u =代入,x得通解 x = Ce.x例1求解微分方程yy( x - y cos)dx + x cosdy = 0.xyx解令u =則dy = xdu + udx

7、x( x - ux cos u)dx + x cos u(udx + xdu) = 0,cos udu = - dx ,sin u = - ln | x | +C ,x微分方程的解為sin y = - ln | x | +C .x§3.3可化為齊次的方程ax + by + c形如 dy =1.定義f ()的微分方程a1 x + b1 y + c1dx當(dāng)c = c12.解法= 0時, 為齊次方程. 否則為非齊次方程.令x = X + h,（其中h和k是待定的常數(shù)）y = Y + kdx = dX ,dy = dYaX + bY + ah + bk + ca1 X + b1Y + a1h

8、 + b1k + c1dY=f ()dXìah + bk + c = 0,ía h + b k + c = 0,î11a a11bb1D =¹ 0,有唯一一組解.(1)ì X = x - h,f ( aX + bYdY=)得通解代回ía X + b YdXîY = y - k，11D = 0,= 0時,未必有解, 上述方法不能用.(2)a1與b中必至少有一個為零.當(dāng)b1若 b = 0,可分離變量的微分方程.dy = 1 ( dz - a),令 z = ax + by,若 b ¹ 0,a = 0,1dxb dxf (

9、 z + c )1 ( dz - a) =可分離變量的微分方程.b dxc1令a1 = b1= l,當(dāng)b ¹ 0時,1abax + by + c方程可化為 dy = f (令 z = ax + by,),l(ax + by) + c1dxz + clz + c1則 dz = a + b dy1 ( dz - a) =). 可分離變量.f (dxdxb dx求 dy = x - y +1 的通解.例2x + y - 3dxQ D = 1 - 1 = 2 ¹ 0,解11方程組ìh - k + 1 = 0Þ h = 1, k = 2,íh + k -

10、 3 = 0,î令 x = X + 1, y = Y + 2.代入原方程得dY = X - Y ,令u = YX + YdXXdu = 1 - u ,u + X分離變量法得方程變?yōu)? + udXX 2(u2 + 2u - 1) = c,即Y 2 + 2 XY - X 2= C ,將 X = x - 1,Y = y - 2 代回得原方程的通解( y - 2)2 + 2( x - 1)( y - 2) - ( x - 1)2 = C ,或 x2 + 2 xy - y2 + 2 x + 6 y = C .1小結(jié)dy =yf ().齊次方程dxx令 u =y .齊次方程的解法x令 x = X

11、 + h, y = Y + k.直接使用變量代換簡化計(jì)算可化為齊次方程的方程思考題+ y 2 (t )dt = xy( x)xò2 y(t ) +t 2方程0可否化為齊次方程?思考題解答方程兩邊同時對 x 求導(dǎo):+ y2 = y + xy¢,2 y +x2æ y ö2yxy¢ =1 + ç+xy¢ =+ y2 + y,x2÷,è x ø原方程是齊次方程.§3.4一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:dy + P( x) y = Q( x)dxdy例如= y + x 2 ,dx =

12、 x sin t + t 2 ,線性的;dxyy¢ - 2 xy = 3,dty¢ - cos y = 1,非線性的.當(dāng)Q( x) º 0,當(dāng)Q( x) º 0,上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.一階線性微分方程的解法dy + P( x) y = 0.1. 線性齊次方程dx(使用分離變量法)dy = - P( x)dx,ò dy = -ò P( x)dx,yyln | y |= -ò P( x)dx + ln C1 ,y = Ce -ò P ( x )dx .齊次方程的通解為dy + P( x) y = Q(

13、x).2. 線性非齊次方程dxQ dy = éQ( x) -ùP( x)úûdx,討論êëyyln y = ò Q( x)òdx -兩邊P( x)dx,y設(shè) ò Q(x)dx為u(x),ln y = u( x) - ò P( x)dx,y即 y = eu( x )e-ò P ( x )dx .非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比: C Þ u( x)常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.新未知函數(shù) u( x) Þ 原未知函

14、數(shù)y( x),y = u( x)e-ò P ( x )dx作變換y¢ = u¢( x)e -ò P ( x )dx+ u( x)- P( x)e -ò P ( x )dx ,u¢( x)e-ò P ( x )dx將y和y¢代入原方程得= Q( x),u( x) = ò Q( x)eò P ( x )dxdx + C ,得一階線性非齊次微分方程的通解為:y = ò Q( x)eò P ( x )dxdx + C e-ò P ( x )dx= Ce-ò P (

15、 x )dx + e-ò P ( x )dx× ò Q( x)eò P ( x )dxdx對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解求方程 y¢ + 1 y = sin x 的通解.例1xxQ( x) = sin x ,P( x) = 1 ,解xx- ò 1 dx æöò 1 dxsin xç òdx + C ÷y = e× exxç÷xèøæösin x-ln xln x= e×dx + Cç &

16、#242;÷exèø= 1 (ò sin xdx + C )= 1 (- cos x + C ).xx§3.5伯努利方程Jacob Bernoulli（ 1654 1705）許多數(shù)學(xué)成果與雅各布的名字相。懸鏈線問題（1690年）， 曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年）， “伯努利微分方程”（1695年）， “等周問題”（1700年）等。伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式dy + P( x) y = Q( x) yl(l¹ 0,1)dx當(dāng)l= 0,1時當(dāng)l¹ 0,1時方程為線性微分方程.方程為非線

17、性微分方程.解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.y-l dy + P( x) y1-l = Q( x),兩端除以yl，得dx則 dz = (1 - l) y-l dy令z = y1-l,dxdxdz + (1 - l)P( x)z = (1 - l)Q( x),代入上式dx求出通解后，將 z = y1-l 代入即得y1-l = z= e-ò(1-l) P ( x )dx (ò Q( x)(1 - l)eò (1-l) P ( x )dxdx + C ).求方程 dy - 4 y = x2y 的通解.例 1dxx11dy - 4y = x2 ,兩端除以y ，得解

18、2y dxx2 dz - 4 z = x 2 ,令 z =y ,dxxö24 æ xæ xö即 y = x+ C ÷ .ç解得 z = x2ç+ C ÷,è 2øè 2ø例21.用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:2 yy¢ + 2 xy2 = xe-x2 ;則 dz = 2 y dy ,令 z = y2 ,解dxdx dz + 2 xz = xe - x2 ,dxz = e-ò 2dx + C 2( x2y2 = e- x+ C ).所求通解為2dy =1- y ;2.x sin 2 (