第2章-1.波函數(shù)及薛定諤方程 西南大學(xué)量子力學(xué)PPT(考試必備)

1、2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋2.2.2 2 態(tài)迭加原理態(tài)迭加原理2.2.5 5 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程2.7 2.7 線性諧振子線性諧振子2.8 2.8 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿2.2.3 3 薛定諤方程薛定諤方程2.2.4 4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律2.6 2.6 一維無(wú)限深勢(shì)阱一維無(wú)限深勢(shì)阱2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋問(wèn)題問(wèn)題: : (1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？觀點(diǎn)一觀點(diǎn)一: : 電子波應(yīng)理解為電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)電子波應(yīng)理解為電

2、子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu), ,即電子即電子是無(wú)限多波長(zhǎng)不同的平面波疊加而成的波包是無(wú)限多波長(zhǎng)不同的平面波疊加而成的波包, ,波包的大波包的大小即電子的大小小即電子的大小, ,波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度. . tkxiexpAt , x等相面等相面: : ku,kudtd0ctkx1.單個(gè)平面波情況：?jiǎn)蝹€(gè)平面波情況： mpE22222k,mkvcmvmcpEkku22cu平面波描寫(xiě)自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，平面波描寫(xiě)自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是

3、沒(méi)有組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小1 1 。電子衍射動(dòng)畫(huà)電子衍射動(dòng)畫(huà) kkkkdktkkxiexpkt , x00 , 0 k 0 tdkdx 即即 tdkdxxc 2. 有限波包：有限波包：物質(zhì)波包的群速度為物質(zhì)波包的群速度為 mpmkdkdvg 波包形狀隨時(shí)間的改變波包形狀隨時(shí)間的改變：設(shè)設(shè) (k)(k)是一個(gè)很窄的波包是一個(gè)很窄的波包, ,波波數(shù)集中在數(shù)集中在k

4、 k0 0附近一個(gè)不大范圍中附近一個(gè)不大范圍中. .在在k k0 0附近對(duì)附近對(duì) (k) (k) 作泰作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)勒級(jí)數(shù)展開(kāi) 2022000021kkdkdkkdkdkkkk txkiexpt , xCdktkkvkxiexpktiexpt , xg0000 tvxtvxkktxCggsin2,0mpmkkmkku221)2(2 cuvg 2由于正弦的幅角含有小量由于正弦的幅角含有小量,C(x,t),C(x,t)只是隨時(shí)間只是隨時(shí)間t t和坐標(biāo)和坐標(biāo)x x緩慢地變化緩慢地變化. .所以所以, ,我們能把我們能把C(x,t) C(x,t) 當(dāng)作近似單色波的當(dāng)作近似單色波的振幅振幅, ,而把而把

5、k k0 0 x-x- (k(k0 0)t)t作為單色波的相作為單色波的相. .把振幅的分子和把振幅的分子和分母都乘以分母都乘以 k k, ,并簡(jiǎn)記為并簡(jiǎn)記為z=z= k x-vg gt , ,容易看到容易看到, ,振幅的振幅的變化取決于因子變化取決于因子, ,它有性質(zhì)它有性質(zhì),zzzzsin3001 -20-15-10-505101520-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0圖圖2.2.12.2.1波包波包: : 一些快速振一些快速振動(dòng)波的疊加動(dòng)波的疊加迄今迄今, ,我們忽略了我們忽略了 (k) (k) 級(jí)數(shù)展開(kāi)中高于一級(jí)數(shù)展開(kāi)中高于一階的項(xiàng)階的項(xiàng), ,這僅當(dāng)介質(zhì)無(wú)色散的時(shí)候才

6、是允這僅當(dāng)介質(zhì)無(wú)色散的時(shí)候才是允許的許的. .因?yàn)槲镔|(zhì)波在真空中也出現(xiàn)色散因?yàn)槲镔|(zhì)波在真空中也出現(xiàn)色散 0022kdkd這暗示波包不保持其形式這暗示波包不保持其形式, , 而是逐而是逐漸地?cái)U(kuò)展?jié)u地?cái)U(kuò)展. .隨時(shí)間的演化隨時(shí)間的演化, ,電子將愈電子將愈變愈變愈“胖胖”, ,這與實(shí)驗(yàn)是矛盾的這與實(shí)驗(yàn)是矛盾的. . 觀點(diǎn)二觀點(diǎn)二: : 結(jié)論：結(jié)論：這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的原因：原因：它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)-單單個(gè)電子就具有波動(dòng)個(gè)電子就具有波動(dòng)性性. .證明證明1 1：?jiǎn)坞娮友苌鋯坞娮友苌潆娮右粋€(gè)一個(gè)的入電子一個(gè)一個(gè)的入射，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的射

7、，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，在屏幕上形時(shí)間，在屏幕上形成衍射圖樣。成衍射圖樣。波由粒子組成波由粒子組成,如，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。如，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。證明證明2 2：正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子（只含一個(gè)電子！）中電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。 錯(cuò)誤的根源：錯(cuò)誤的根源： 波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。了粒子的波動(dòng)性的一面，具有

8、片面性。觀點(diǎn)三觀點(diǎn)三: : 電子所顯現(xiàn)的粒子性總是以具有一定的質(zhì)量、電電子所顯現(xiàn)的粒子性總是以具有一定的質(zhì)量、電荷等屬性的客體出現(xiàn)荷等屬性的客體出現(xiàn), ,但并不與但并不與“粒子有確切的軌道粒子有確切的軌道”的概念有什么必然聯(lián)系的概念有什么必然聯(lián)系. .電子顯現(xiàn)出的波動(dòng)性電子顯現(xiàn)出的波動(dòng)性, ,也只不也只不過(guò)是波動(dòng)性中最本質(zhì)的東西過(guò)是波動(dòng)性中最本質(zhì)的東西波的波的“相干疊加性相干疊加性”, ,并不一定要與某種實(shí)際的物理量在空間的分布聯(lián)系在并不一定要與某種實(shí)際的物理量在空間的分布聯(lián)系在一起一起. .把微觀粒子的把微觀粒子的“粒子性粒子性”與波的與波的“相干疊加性相干疊加性”統(tǒng)一起來(lái)是玻恩提出來(lái)的幾率

9、波統(tǒng)一起來(lái)是玻恩提出來(lái)的幾率波. .1.1.有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性 2 2. .有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度和速度 1.1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性變化實(shí)在的物理量的空間分布作周期性變化 2 2. .干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性 （2 2）Born Born 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋幾率波波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋幾率波我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn) 經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中粒子：粒子：經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中波：波：v大量電子一次大量電子一次入射入射, ,立即在立即在屏幕

10、上形成衍屏幕上形成衍射圖樣。射圖樣。方方法法一一方方法法二二電子一個(gè)一個(gè)的電子一個(gè)一個(gè)的入射，經(jīng)過(guò)足夠入射，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，在屏長(zhǎng)的時(shí)間，在屏幕上形成同樣的幕上形成同樣的衍射圖樣。衍射圖樣。1.1.入射電子流強(qiáng)度小，開(kāi)始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯入射電子流強(qiáng)度小，開(kāi)始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣示衍射圖樣; ;電子源電子源感感光光屏屏QQOPP2.2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣. .在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上照相底片上 r r 點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的

11、數(shù)目 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目 正比于電子出現(xiàn)在正比于電子出現(xiàn)在 r r 點(diǎn)附近的幾率。點(diǎn)附近的幾率。 l波函數(shù)波函數(shù)波動(dòng)性觀點(diǎn)：亮處波動(dòng)性觀點(diǎn)：亮處到達(dá)該處電子波的強(qiáng)度大到達(dá)該處電子波的強(qiáng)度大 暗處暗處到達(dá)該處電子波的強(qiáng)度小到達(dá)該處電子波的強(qiáng)度小粒子性觀點(diǎn)：亮處粒子性觀點(diǎn)：亮處單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的電子數(shù)多單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的電子數(shù)多 暗處暗處單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的電子數(shù)少單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的電子數(shù)少統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)：亮處統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)：亮處電子到達(dá)該處的概率大電子到達(dá)該處的概率大 暗處暗處電子到達(dá)該處的概率小電子到達(dá)該處的概率小 )(expEtrpiA),(tr 如果粒子

12、處于如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為：描寫(xiě)粒子狀態(tài)的描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常波函數(shù)，它通常是一個(gè)是一個(gè)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。稱為稱為 dedeBroglieBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。 假設(shè)衍射波波幅用假設(shè)衍射波波幅用 (r) (r) 描述，與光學(xué)相似，衍射花描述，與光學(xué)相似，衍射花的強(qiáng)度則用的強(qiáng)度則用 |

13、(r)| (r)|2 2 描述，但意義與經(jīng)典波不同描述，但意義與經(jīng)典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點(diǎn)附近幾率的大小，點(diǎn)附近幾率的大小，確切的說(shuō)，確切的說(shuō)，| (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 點(diǎn)處，體積元點(diǎn)處，體積元x yzx yz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例（振幅絕對(duì)值平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：在在t時(shí)刻

14、時(shí)刻，d=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)體積內(nèi)，找到由波函數(shù)(r,t)描描寫(xiě)的粒子的寫(xiě)的粒子的是：是：，C是比是比例系數(shù)。例系數(shù)。在在t 時(shí)刻，體積時(shí)刻，體積 V 內(nèi)內(nèi)找到粒子的找到粒子的幾率幾率為：為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C 之值為：之值為：C = 1/ | (r , t)|2 d這即是要

15、求描寫(xiě)粒子量子這即是要求描寫(xiě)粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對(duì)值平方可積的函數(shù)。對(duì)值平方可積的函數(shù)。 | (r,t)|2d , 則則 C 0, 這這是沒(méi)有意義的。是沒(méi)有意義的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函數(shù)注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問(wèn)不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問(wèn)題，以后再予以討論。題，以后再予以討論。 (r,t)和和C(r,t)所描寫(xiě)狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，所描寫(xiě)狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的這里的C C是常數(shù)。因?yàn)樵谑浅?shù)。因?yàn)樵趖 t時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)r r1 1和和r r

16、2 2 處找到粒子的相對(duì)幾率之比是：處找到粒子的相對(duì)幾率之比是：221221)t ,r()t ,r()t ,r(C)t ,r(C 可見(jiàn)，可見(jiàn)， (r , t ) 和和 C (r , t ) 描述的是同一幾率波，所描述的是同一幾率波，所以以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒

17、子狀態(tài)不變，即上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài)u 若若 (r , t ) 沒(méi)有歸一化，沒(méi)有歸一化，| (r , t )|2 d= A （A 是大是大于零的常數(shù)），則有于零的常數(shù)），則有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定模為一的因子不定性。性。若若 (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末，是歸一化波函數(shù)，那末，expi (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中也是歸一化波函數(shù)（其中是實(shí)數(shù)），與前者描是實(shí)數(shù)），與

18、前者描述同一幾率波。述同一幾率波。(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數(shù)，與是歸一化的波函數(shù)，與 (r , t )描寫(xiě)描寫(xiě)同一幾率波，同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子稱為歸一化因子。I.I.箱歸一化箱歸一化設(shè)想：粒子被限定在一個(gè)邊長(zhǎng)為設(shè)想：粒子被限定在一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形箱中的正方形箱中要求：波函數(shù)在兩個(gè)相對(duì)的箱壁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同要求：波函數(shù)在兩個(gè)相對(duì)的箱壁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同的值，的值，波函數(shù)滿足這樣的邊界條件稱為周期性邊界波函數(shù)滿足這樣的邊界條件稱為周期性邊界條件條件。）（下的波函數(shù)為下的波函數(shù)為即自由粒子在箱歸一化即自由粒子在箱歸一化）（）（：2111112323232

19、3)Etr .p(VV)Etr .p()Etr .p()Etr .p(iiiieAVAdxAdxeeAdxz , y,xdxz , y,xAez , y,x 體積積無(wú)窮所以自由粒子的波函數(shù)）（則則能能量量）（；同同理理得得：則則：）（其其中中）（）（如如果果將將5432222222112)nnn()(Eppppn21eeeLz , y,xz ,Ly,xz , y,Lxz , y,xererez , y,xzxyxmLmpLn2zLn2yLn2xLn2xxL.pL.pz .py .p)Lx.(pz .py .px .pr .pVpEtp)Etr .p(Vzyxxxxizyxizyxiiii 此方

20、程的解得條件是邊界條件要求nx, ny, nz 取整數(shù)！取整數(shù)！注意：當(dāng)注意：當(dāng)L取無(wú)窮大時(shí)，（取無(wú)窮大時(shí)，（n+1）與）與n級(jí)之間的動(dòng)量級(jí)之間的動(dòng)量差或能量差趨于零，構(gòu)成連續(xù)能級(jí)。差或能量差趨于零，構(gòu)成連續(xù)能級(jí)。II. II. 函數(shù)歸一化函數(shù)歸一化 1 1、定義：、定義： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等價(jià)的表示為：對(duì)在或等價(jià)的表示為：對(duì)在x=xx=x0 0 鄰域連續(xù)鄰域連續(xù)的任何函數(shù)的任何函數(shù) f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 3 3、 函數(shù)函數(shù) 亦可寫(xiě)成亦可寫(xiě)成 Fourier Fourier 積分形積分形式：式：)

21、(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 則則xxxpidpexxx)(0021)( 2 2、性質(zhì)：、性質(zhì)：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxe)pp(xpxpx)pp(ixxxxxx 210，則則，作作代代換換：EtipEtrpiperAetr )(),(寫(xiě)成分量形式寫(xiě)成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 時(shí)的平面波時(shí)的平面波)(),(),(22*22xxtppi

22、ppppedxtxtxxxxx 考慮一維積分考慮一維積分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，則，則 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可歸一化為平面波可歸一化為函數(shù)函數(shù))(xxpp dxtxtxxxpp),(),(* )(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf EtipEtrpiperet

23、r )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 1. 1.有限性有限性. . 例如,設(shè)設(shè)r=rr=r0 0是是 (r)(r)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),C,C是包圍是包圍r r0 0的任意小體的任意小體積積, ,按統(tǒng)計(jì)詮釋按統(tǒng)計(jì)詮釋, ,只要只要 ,xdr有有限限值值 320 如取如取r r0 00 0, ,采用球坐標(biāo)采用球坐標(biāo), ,則此條件相當(dāng)于要求（注意：則此條件相當(dāng)于要求（注意：0 00,0,顯然

24、要求積分值顯然要求積分值0 0）0023)r(r,r 2. 2.可積性可積性. . 132 xdr 例如例如平面波（平面波（動(dòng)量本征態(tài)動(dòng)量本征態(tài)）rp irexp2)(233.3.單值性單值性. . 由于粒子的狀態(tài)應(yīng)由波函數(shù)來(lái)描述。因此，就不由于粒子的狀態(tài)應(yīng)由波函數(shù)來(lái)描述。因此，就不能像經(jīng)典那樣以每時(shí)刻，用動(dòng)量和坐標(biāo)來(lái)描述能像經(jīng)典那樣以每時(shí)刻，用動(dòng)量和坐標(biāo)來(lái)描述（事實(shí)上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動(dòng)量并不（事實(shí)上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動(dòng)量并不一定取一個(gè)值）。但是否仍能像經(jīng)典那樣在坐標(biāo)一定取一個(gè)值）。但是否仍能像經(jīng)典那樣在坐標(biāo)r r處發(fā)現(xiàn)粒子具有動(dòng)量處發(fā)現(xiàn)粒子具有動(dòng)量P P呢？呢？ W.Hei

25、senberg指出指出：當(dāng)我們測(cè)量客體的動(dòng)量如有：當(dāng)我們測(cè)量客體的動(dòng)量如有一測(cè)不準(zhǔn)度一測(cè)不準(zhǔn)度 （即客體動(dòng)量在這區(qū)域中的幾率很（即客體動(dòng)量在這區(qū)域中的幾率很大），我們?cè)谕瑫r(shí)，不可能預(yù)言它的位置比大），我們?cè)谕瑫r(shí)，不可能預(yù)言它的位置比 更精確。也就是說(shuō)，在同一時(shí)刻測(cè)量動(dòng)量和位置，更精確。也就是說(shuō)，在同一時(shí)刻測(cè)量動(dòng)量和位置，其測(cè)不準(zhǔn)度必須滿足其測(cè)不準(zhǔn)度必須滿足v類似類似v v這稱為這稱為Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 xp xp xpxypyzpzv 應(yīng)該注意：這是實(shí)驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)該注意：這是實(shí)驗(yàn)的結(jié)果; 當(dāng)然也是波當(dāng)然也是波v一粒兩象性的結(jié)果；自然也是波函數(shù)幾率解釋一粒兩象性的結(jié)果；自然

26、也是波函數(shù)幾率解釋v和態(tài)疊加原理的結(jié)果。和態(tài)疊加原理的結(jié)果。v 我們將從幾個(gè)方面來(lái)論述它我們將從幾個(gè)方面來(lái)論述它:v A. 具有確定動(dòng)量具有確定動(dòng)量 （一維運(yùn)動(dòng)）的自由粒子，（一維運(yùn)動(dòng)）的自由粒子，v 是以是以v v 來(lái)描述，其幾率密度來(lái)描述，其幾率密度 0p/ )tExp( ippe)()t ,x( 002121 2120 )t ,x(p粒子在空間各點(diǎn)的幾率都相同（不依賴于粒子在空間各點(diǎn)的幾率都相同（不依賴于）所以坐標(biāo)完全不確定，即所以坐標(biāo)完全不確定，即 x 00021212121pxi/pxix/xedxe )x()p( )xx(x,x.Bx0000 ，相相應(yīng)應(yīng)的的波波函函數(shù)數(shù)為為度度即即

27、位位置置的的不不確確定定置置設(shè)設(shè)一一維維粒粒子子具具有有確確切切位位所以所以 21)(20 px粒子動(dòng)量取各種值的幾率都相同（不依賴于粒子動(dòng)量取各種值的幾率都相同（不依賴于）所以動(dòng)量完全不確定，即所以動(dòng)量完全不確定，即 p 變變換換，相相應(yīng)應(yīng)的的波波函函數(shù)數(shù)的的即即位位置置的的不不確確定定度度的的區(qū)區(qū)域域中中要要局局限限在在可可以以看看出出，粒粒子子位位置置主主，描描述述的的粒粒子子高高斯斯波波包包Fourier112222222ax,axee.C/x/x pxkpkx,ake)k(e)k(edxeedxee)k(kkkikxxikxx/ 利用德布羅意關(guān)系利用德布羅意關(guān)系所以要求所以要求得：得

28、：高斯積分公式高斯積分公式111121222222222224221v 如一個(gè)自由粒子是由一系列沿如一個(gè)自由粒子是由一系列沿x方向的方向的v平面波疊加而成的波包描述。平面波疊加而成的波包描述。v設(shè)：設(shè)：k很小，很小， 變化很緩慢，可近似取為變化很緩慢，可近似取為 kkkk)tkx( idke)k(C)t , r( 0021)k(C)k(C0v 所以，v v 0kk00dkd)kk( 0kk0dkdl kklt)dkd(xi) txk( i0dlee2)k(C) t , r (000 ) txk( i0000etdkdxk tdkdxSin22kC lk)kk(kk000v 這是具有一定形狀沿這

29、是具有一定形狀沿x方向傳播的波包。波方向傳播的波包。波v包的極大值位置為包的極大值位置為v ，v所以它移動(dòng)的速度所以它移動(dòng)的速度 v即粒子的速度，如前述稱為群速度。即粒子的速度，如前述稱為群速度。v在在 時(shí)，位相為時(shí)，位相為 00 t)dkd(xk 00kkg)dpdE()dkd(dtdxv 00t ,x00000txk v在在 時(shí)，位相也為時(shí)，位相也為 v 所以，位相傳播速度所以，位相傳播速度 v ，v如前述稱為相速度。如前述稱為相速度。v 這個(gè)波包擴(kuò)展度的區(qū)域不是任意小，即這個(gè)波包擴(kuò)展度的區(qū)域不是任意小，即v t , xtxk000 0000ppEktxv kx 2 v于是有于是有v 所以

30、要波包僅局限于空間一定區(qū)域，相應(yīng)所以要波包僅局限于空間一定區(qū)域，相應(yīng) v的擴(kuò)展度不可能任意?。划?dāng)?shù)臄U(kuò)展度不可能任意?。划?dāng) 的擴(kuò)展度一定時(shí)，的擴(kuò)展度一定時(shí)，v那波包的擴(kuò)展度也不可能任意小。那波包的擴(kuò)展度也不可能任意小。v （2）一些實(shí)驗(yàn)：）一些實(shí)驗(yàn)：v A位置測(cè)量：一束電子平行地沿位置測(cè)量：一束電子平行地沿 方向方向v入射，通過(guò)窄縫入射，通過(guò)窄縫a，從而測(cè)出，從而測(cè)出 方向的位置。在方向的位置。在v 方向有一不確定度方向有一不確定度y=a，而人們認(rèn)為，而人們認(rèn)為 h2pxx 0py0ypyxPxPxyyv但事實(shí)上，通過(guò)縫后，在不同位置接收到的電但事實(shí)上，通過(guò)縫后，在不同位置接收到的電v 子數(shù)的多

31、少顯示出干子數(shù)的多少顯示出干v 涉圖象（電子數(shù)的大涉圖象（電子數(shù)的大v 小），這一單縫干涉小），這一單縫干涉v 的第一極小為的第一極小為v即通過(guò)單縫后，電子在即通過(guò)單縫后，電子在 方向的動(dòng)量不再為方向的動(dòng)量不再為 0， asin1yv而在而在0附近有一寬度附近有一寬度v 所以，當(dāng)測(cè)量所以，當(dāng)測(cè)量y的位置越精確（即的位置越精確（即a越?。叫。?，v那動(dòng)量在那動(dòng)量在y方向越不精確，它們的精確度至少要方向越不精確，它們的精確度至少要 v滿足滿足v B用顯微鏡測(cè)量電子的位置：一束具有確用顯微鏡測(cè)量電子的位置：一束具有確v定動(dòng)量定動(dòng)量 的電子沿的電子沿x軸運(yùn)動(dòng)。用顯微鏡觀察被電軸運(yùn)動(dòng)。用顯微鏡觀察被電

32、v子散射的光束來(lái)測(cè)量電子的位置。但成的像是一子散射的光束來(lái)測(cè)量電子的位置。但成的像是一v衍射斑點(diǎn)。所以，顯微鏡的分辯率為（即電子位衍射斑點(diǎn)。所以，顯微鏡的分辯率為（即電子位ahsinpp1y hpyyxPv置的精度）置的精度）v 事實(shí)上，光子是一事實(shí)上，光子是一v個(gè)個(gè)到達(dá)屏上（個(gè)個(gè)到達(dá)屏上（ ） 0 xhsinhsinppx hpxx sinx （2）一些應(yīng)用舉例：）一些應(yīng)用舉例：測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可用作一些問(wèn)題的數(shù)量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可用作一些問(wèn)題的數(shù)量級(jí)的估計(jì)級(jí)的估計(jì) A類氫離子的基態(tài)能量估計(jì)：類氫離子的基態(tài)能量估計(jì)： 設(shè)：類氫離子的電子軌道半徑為設(shè)：類氫離子的電子軌道半徑為 r（在一平面中）（在一平面中

33、） 所以不確定度為：，因此所以不確定度為：，因此rr rpr4Zem2pE022r4Zemr2022202200amZe4r0rE002ga8ZeE v B. 考慮重力下粒子的考慮重力下粒子的“靜止靜止”v v 現(xiàn)作一簡(jiǎn)單的估計(jì)現(xiàn)作一簡(jiǎn)單的估計(jì): 經(jīng)典經(jīng)典“基態(tài)基態(tài)”是靜止的。而量是靜止的。而量子粒子其位置有一不確定度，動(dòng)量也有一不確定度子粒子其位置有一不確定度，動(dòng)量也有一不確定度 。所以，所以，v 0z0zmgz) z (Vzpzmgzm2zmgm2pE2223122)gm(z0zEm1017. 1)mm(z332ev所以，對(duì)于經(jīng)典物理學(xué)，則認(rèn)為所以，對(duì)于經(jīng)典物理學(xué)，則認(rèn)為 z=0。而對(duì)于量

34、子粒。而對(duì)于量子粒子則為子則為v i. 塵粒：塵粒：v ii. 電子：電子： 。v C. 介子質(zhì)量的預(yù)言介子質(zhì)量的預(yù)言v 核子與介子場(chǎng)相互作用而導(dǎo)致與另一核核子與介子場(chǎng)相互作用而導(dǎo)致與另一核v子作用。如核力是通過(guò)核子交換新的量子（介子作用。如核力是通過(guò)核子交換新的量子（介v子）來(lái)實(shí)現(xiàn)。若該介子的靜止質(zhì)量為子）來(lái)實(shí)現(xiàn)。若該介子的靜止質(zhì)量為，則，則v核子在發(fā)射前后有一能量不確定度（改變），核子在發(fā)射前后有一能量不確定度（改變），z克310mm10z11m1017. 1z3v其最小的值為其最小的值為 。因此時(shí)間有一（最大）。因此時(shí)間有一（最大）v不確定度（由于動(dòng)能改變沒(méi)計(jì)入，所以能量改不確定度（由于

35、動(dòng)能改變沒(méi)計(jì)入，所以能量改v變以最小估計(jì)。因而時(shí)間不確定度，即體系保變以最小估計(jì)。因而時(shí)間不確定度，即體系保v持不變的平均時(shí)間是最大估計(jì)）持不變的平均時(shí)間是最大估計(jì)）v即即 的范圍內(nèi)的任何時(shí)間發(fā)射介的范圍內(nèi)的任何時(shí)間發(fā)射介v子都有較大的幾率?？稍谶@一段時(shí)間內(nèi)，任一子都有較大的幾率?？稍谶@一段時(shí)間內(nèi)，任一v時(shí)間發(fā)射，可移動(dòng)的最大距離或在最遠(yuǎn)處而被時(shí)間發(fā)射，可移動(dòng)的最大距離或在最遠(yuǎn)處而被2cE 2200 tt2cE v另一核子吸收（下一時(shí)刻將發(fā)射另一介子），所以二核另一核子吸收（下一時(shí)刻將發(fā)射另一介子），所以二核子交換一個(gè)介子的相互作用的最大力程子交換一個(gè)介子的相互作用的最大力程v（即介子的康普頓

36、波長(zhǎng)的（即介子的康普頓波長(zhǎng)的 ）。）。v實(shí)驗(yàn)測(cè)得核力力程為實(shí)驗(yàn)測(cè)得核力力程為1.4fm。所以，。所以，v cc 21fm4 . 1c v即得即得v v （實(shí)驗(yàn)值為（實(shí)驗(yàn)值為139MeV）v 就我個(gè)人的看法：就我個(gè)人的看法： 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是對(duì)兩個(gè)物測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是對(duì)兩個(gè)物v理量同時(shí)測(cè)量結(jié)果可能值的最佳區(qū)域（或不確定理量同時(shí)測(cè)量結(jié)果可能值的最佳區(qū)域（或不確定v度）關(guān)系的約束，它不是測(cè)量的影響。度）關(guān)系的約束，它不是測(cè)量的影響。 Mev141fm4 . 1fmMeV32.197fm4 . 1cc2 1221、波函數(shù)描寫(xiě)微觀粒子的量子狀態(tài)，表示粒波函數(shù)描寫(xiě)微觀粒子的量子狀態(tài)，表示粒子出現(xiàn)的概率大小。而當(dāng)一粒

37、子處于一個(gè)已知子出現(xiàn)的概率大小。而當(dāng)一粒子處于一個(gè)已知的量子狀態(tài)時(shí)，粒子的力學(xué)量如坐標(biāo)、動(dòng)量、的量子狀態(tài)時(shí)，粒子的力學(xué)量如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量等將如何描述？它們的值怎么確定？角動(dòng)量等將如何描述？它們的值怎么確定？一、引言一、引言2、微觀粒子的波粒二象性決定了它們的描述微觀粒子的波粒二象性決定了它們的描述方式與經(jīng)典力學(xué)中描述不一樣方式與經(jīng)典力學(xué)中描述不一樣（波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋解釋）。）。實(shí)際波粒二象性還通過(guò)另一個(gè)基本原實(shí)際波粒二象性還通過(guò)另一個(gè)基本原理理態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理體現(xiàn)體現(xiàn)二、態(tài)疊加原理二、態(tài)疊加原理 圖2.4.1電子雙縫衍射示意圖2122221212122212212第三、四項(xiàng)

38、為干涉項(xiàng)第三、四項(xiàng)為干涉項(xiàng), ,衍射花樣衍射花樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在. . 21經(jīng)典物理：經(jīng)典物理： 描寫(xiě)光波、聲波的描寫(xiě)光波、聲波的狀態(tài)函數(shù)都遵從疊狀態(tài)函數(shù)都遵從疊加原理！加原理！ 量子物理：量子物理： 狀態(tài)函數(shù)狀態(tài)函數(shù) 是否是否也都遵從疊加原也都遵從疊加原理？理？ 21 ba ？22212 當(dāng)粒子處于當(dāng)粒子處于 和態(tài)和態(tài) 的線性疊加態(tài)的線性疊加態(tài)時(shí)，粒子是既處于態(tài)時(shí)，粒子是既處于態(tài) 又處于態(tài)又處于態(tài) 。 2 1 1 2 2 1 3 3、態(tài)迭加原理是與測(cè)量密切聯(lián)系在一起、態(tài)迭加原理是與測(cè)量密切聯(lián)系在一起的一個(gè)基本原理的一個(gè)基本原理. .1 1、幾率幅（態(tài)函數(shù)）遵守

39、疊加的規(guī)則、幾率幅（態(tài)函數(shù)）遵守疊加的規(guī)則, ,而幾而幾率不遵從疊加的規(guī)則率不遵從疊加的規(guī)則. .2 2、這里所謂干涉是一個(gè)電子的兩個(gè)態(tài)之間、這里所謂干涉是一個(gè)電子的兩個(gè)態(tài)之間的干涉的干涉, ,而不是兩個(gè)電子之間的干涉而不是兩個(gè)電子之間的干涉. . 1121 niiniiic,c 推廣到更一般情況下：推廣到更一般情況下：其中：系數(shù)可以為復(fù)數(shù)！其中：系數(shù)可以為復(fù)數(shù)！)t , r()p()t , r(pp 2、按照態(tài)疊加原理，粒子處在、按照態(tài)疊加原理，粒子處在r處的狀態(tài)應(yīng)處的狀態(tài)應(yīng)該是各種動(dòng)量該是各種動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)的線性疊加：運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)的線性疊加：由于出射粒子出射動(dòng)量連續(xù)變化則由于出射粒子出射動(dòng)

40、量連續(xù)變化則)Etrp(iexp)t , r(p2321）（pdeptrrpi323)()2(1),(1、電子在晶體表面反射后，可能以各種不同、電子在晶體表面反射后，可能以各種不同的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)（對(duì)應(yīng)不同的出射角度）。以動(dòng)的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)（對(duì)應(yīng)不同的出射角度）。以動(dòng)量量p運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài) pde )t ,p()()t ,r(rpi32321 xde )t ,r()()t ,p(rpi32321 說(shuō)明：任何波函數(shù)說(shuō)明：任何波函數(shù) 都可以看作是各種不同都可以看作是各種不同動(dòng)量平面波的迭加動(dòng)量平面波的迭加 )t ,r( )t ,r( )t ,p( pdnhdnsinn pn n 而沿而沿 出射波的波幅出射

41、波的波幅 應(yīng)該正比入射波中動(dòng)量相應(yīng)該正比入射波中動(dòng)量相應(yīng)分波的波幅應(yīng)分波的波幅1)(32pdp 當(dāng)可能值為離散值時(shí)當(dāng)可能值為離散值時(shí): 一個(gè)物理量的平均值等于一個(gè)物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和；幾率求和； 當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。幾率密度求積分。 1 1、坐標(biāo)平均值：、坐標(biāo)平均值：粒子處于狀態(tài)粒子處于狀態(tài) (r,t)(r,t), ,不考慮時(shí)間不考慮時(shí)間t,t,則其位置坐標(biāo)則其位置坐標(biāo)r r處的幾率密度為處的幾率密度為| | (r

42、)|(r)|2 2 . .這樣這樣, ,位位置坐標(biāo)的平均值為置坐標(biāo)的平均值為 dxxxxdxxxxdx*x 密密度度坐坐標(biāo)標(biāo)變變量量所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的幾幾率率坐坐標(biāo)標(biāo)變變量量 xdrrrxdrrrr33 2、動(dòng)量平均值：、動(dòng)量平均值： peirpxddpperpxdprpirpi233323332121d rprxdrirxdp33 rpierxdp3232 rpiepxdr 32123)()()(332ppppdpdppp引進(jìn)坐標(biāo)和動(dòng)量算符引進(jìn)坐標(biāo)和動(dòng)量算符 有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的力學(xué)量有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的力學(xué)量A A是是r r和和p p的函數(shù)的函數(shù), ,只需把只需把A(r,p)A(r,p)的表達(dá)式中作替換的表

43、達(dá)式中作替換: : pp, rr3、力學(xué)量算符、力學(xué)量算符 izkyjxi iprra.坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符b.動(dòng)量算符動(dòng)量算符c.動(dòng)能算動(dòng)能算符符mpT22 mpT22 則則動(dòng)能平均值動(dòng)能平均值所以所以動(dòng)能算符動(dòng)能算符在經(jīng)典力學(xué)中，在經(jīng)典力學(xué)中，rd)r(T)r(TT )xyyx(ip yp xL)zxxz(ip xp zL)yzzy(ip zp yLxyzzxyyzx 三三個(gè)個(gè)分分量量：d.角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符),(3AxdAA 一般而言一般而言, ,任何一個(gè)力學(xué)量任何一個(gè)力學(xué)量A A的平均值可表示為的平均值可表示為四四章章中中討討論論。將將在在第第算算符符之之間間更更深深刻刻的的關(guān)關(guān)系系學(xué)學(xué)

44、量量與與相相應(yīng)應(yīng)算算符符的的寫(xiě)寫(xiě)法法以以及及力力量量，對(duì)對(duì)于于有有經(jīng)經(jīng)典典對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的力力學(xué)學(xué)的的粒粒子子在在勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)中中)r(Vm)r(VTHVTH)r(V 222 經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)狀態(tài)r, p(r,t)運(yùn)動(dòng)方程牛頓方程dp/dt=F(r,p)?) t , r (H) t , r ()r (Vm) t , r (ti 222mpE22 Etrpi/trki/peet , r 23232121 222p,pi,Eti 022222 )mpE()mti ( ipptiE推廣到勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子 rVmpE 22 薛定諤方程是是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定薛定諤方程是是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定, ,

45、并不能并不能從什么更根本的假定來(lái)證明它從什么更根本的假定來(lái)證明它, ,其正確性其正確性, ,歸根到底歸根到底只能靠實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)只能靠實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn). . ) t , r (H) t , r ()r (Vm) t , r (ti 222 ipptiE三、薛定諤方程的寫(xiě)法三、薛定諤方程的寫(xiě)法1、寫(xiě)出體系對(duì)應(yīng)在經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓量、寫(xiě)出體系對(duì)應(yīng)在經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓量H(r,p,t)2、將經(jīng)典哈密頓量中的力學(xué)量換為量子力、將經(jīng)典哈密頓量中的力學(xué)量換為量子力學(xué)中的算符表示學(xué)中的算符表示3、將哈密頓算符作用在態(tài)函數(shù)上、將哈密頓算符作用在態(tài)函數(shù)上=能量能量E乘以態(tài)函數(shù)乘以態(tài)函數(shù)薛定諤方程只含對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)薛定諤

46、方程只含對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù), , 為何可以描述波動(dòng)為何可以描述波動(dòng)過(guò)程呢過(guò)程呢? ? 經(jīng)典力學(xué)中經(jīng)典力學(xué)中, , 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 022 uautt有周期性的解有周期性的解. . 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程 022 uaut描述不可逆過(guò)程描述不可逆過(guò)程, , 沒(méi)有周期性的解沒(méi)有周期性的解. .以余弦函數(shù)為例以余弦函數(shù)為例 trkcosAu trkcosAktrkcosAkutrkcosAtrksinAtuut22223周期函數(shù)不可能滿足熱傳導(dǎo)方程周期函數(shù)不可能滿足熱傳導(dǎo)方程 薛定諤方程雖然只含對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)薛定諤方程雖然只含對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù), ,但在但在 t t他他前面出現(xiàn)前面出現(xiàn) i=exp(i

47、 /2), , 正好使正好使兩者相位一致兩者相位一致, ,因而有周期性的解因而有周期性的解, ,而且薛而且薛定諤方程中定諤方程中i i因子的出現(xiàn)因子的出現(xiàn), ,使得波函數(shù)一般使得波函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)是復(fù)函數(shù). .四、關(guān)于薛定諤方程的兩點(diǎn)討論四、關(guān)于薛定諤方程的兩點(diǎn)討論1. 1. 定域的幾率守恒定域的幾率守恒 , ) t , r (Vm) t , r (tiI 222VVIII ）（ *)Vm(tiII* 222)II()I( *)*(m*)*(m)*(ti222222),t , r () t , r (*)*(21*)*(2ppmmij* 22閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒上找到粒子的總幾子的總幾率在單位

48、率在單位時(shí)間內(nèi)的時(shí)間內(nèi)的增量增量所以上式是幾率（粒子數(shù)）守所以上式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。恒的積分表示式。 0 d)t ,r(dtd0 Jt 其微分形式與其微分形式與流體力學(xué)中連流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形續(xù)性方程的形式相同式相同 dJd )t ,r(dtd 是是幾幾率率密密度度流流的的表表面面是是體體積積幾幾率率密密度度JS)t ,r(SdJd)t ,r(dtdS 使用使用 Gauss Gauss 定理定理單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的封閉表面的封閉表面 S S 流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）內(nèi)內(nèi)的幾率的幾率miJ 2SdS 令上式令上式趨于趨于 ，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)

49、，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零面積分趨于零 0 d)t ,r(dtd討論：討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1 1）這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾）這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)

50、這種變化。（2 2） 以以乘連續(xù)性方乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：程等號(hào)兩邊，得到：0 Jt量子力學(xué)的質(zhì)量量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律守恒定律同理可得量子力學(xué)同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：的電荷守恒定律：0 eeJt表明電荷總量表明電荷總量不隨時(shí)間改變不隨時(shí)間改變 )(iJJ| )t ,r(|22質(zhì)量密度質(zhì)量密度 和和 質(zhì)量流密度矢量質(zhì)量流密度矢量 )(ieJeJ| )t ,r(|eeee22電荷密度電荷密度 和和 電流密度矢量電流密度矢量2. 2.定態(tài)與能量本征值方程定態(tài)與能量本征值方程 對(duì)不顯含對(duì)不顯含t t勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng)V(r)V(r),t (f)r()t , r( E)r()r(Vm)r(dtdf

51、)t (fi 22211,Ei)t(flndtd Etie )r()t ,r( )r(E)r()r(VmrH 222哈密頓算符的本征值方程哈密頓算符的本征值方程. . 定態(tài)定態(tài): :具有確定能量值的狀態(tài)具有確定能量值的狀態(tài) tiEnnnert ,r 含時(shí)薛定諤方程的一般解可表示為含時(shí)薛定諤方程的一般解可表示為 tiEnnnnnnnerct ,rct ,r 它是若干定態(tài)波函數(shù)的疊加它是若干定態(tài)波函數(shù)的疊加, ,按態(tài)疊加原理按態(tài)疊加原理, ,當(dāng)體系處于當(dāng)體系處于態(tài)態(tài) (r,t)(r,t)時(shí)時(shí), ,發(fā)現(xiàn)粒子處于發(fā)現(xiàn)粒子處于 n n(r,t)(r,t)的幾率為的幾率為|c|cn n| |2 2. . 本征方程、本征值、本本征方