兩個隨機變量的函數(shù)的分布

1、1一般結(jié)論：一般結(jié)論：1.(, )0,ijijX Ypp 在在的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列 中中，如如果果存存在在某某個個,.X Y則則一一定定不不獨獨立立2.(,)X Y若若的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)為為( , ),( , );( , )0 ,( , ).h x yx yGf x yx yG ,X Y則則獨獨立立( , ).h x yG可可分分離離變變量量，且且 為為矩矩形形區(qū)區(qū)域域2011例例3 設（設（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為）的聯(lián)合密度函數(shù)為xyxyp x y8,01;( , )0 ,. 其其他他問問X、Y是否獨立？是否獨立？Xpx( ) x01; xxydy18 xx24 (1) ,0

2、 ,.其其他他yYxydxyypy3084,01;( )0 ,. 其其他他XYp x ypx pyXY( , )( )( ). 顯顯然然， 、 不不獨獨立立f x y( , )0. 注注：事事實實上上，的的區(qū)區(qū)域域不不是是矩矩形形yx 3例例設隨機變量設隨機變量),(YX的概率密度為的概率密度為, 00,),( 其其它它yxeyxfy(1)求求X與與Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度, , 并判斷并判斷X與與Y是否相是否相互獨立互獨立; ;(2)求在求在yY 的條件下的條件下, ,X的條件概率密度的條件概率密度; ;(3)求概率求概率,12 YXP,1|2/10 YXP.4|2 YXP4解解（1）

3、,),()( dyyxfxfX, x當當0 x時時, , 0)( xfX,)(xxyXedyexf 當當0 x時時, ,yxO所以所以,0, 00,)( xxexfxX類似可類似可得得.0, 00,)( yyyeyfyY由于當由于當yx 0時時),()()(yxfyfxfYX 故故X與與Y不相互獨立不相互獨立. .5求在求在yY 的條件下的條件下, ,X的條件概率密度的條件概率密度; ;由由(1)知知, ,(2)當當0 y時時, , 0)( yfY所以所以, , 在在yY 的條件下的條件下, ,X的條件概率密度為的條件概率密度為)(),()|(|yfyxfyxfYYX ., 00,/1 其它其

4、它yxy6(3) 求概率求概率,12 YXP,1|2/10 YXP.4|2 YXP解解12 YXP 12),(yxdxdyyxf 21310 xxydyedx,3213121 eexyOyx yx 21121/31|2/10 YXP11, 2/10 YPYXP7 101210dyyedyedxyxy121121211 eee由于由于, 04 YP因此不能用前面的方法來求因此不能用前面的方法來求,4|2 YXP但由但由(2)知知, ,在在4 Y的條件下的條件下, ,X的條件概率密密度為的條件概率密密度為, 040, 4/1)4|(| 其其它它xxfYX故有故有dxxfYXPYX)4|(4|22|

5、 .214142 dx的的概概率率密密度度為為設設二二維維隨隨機機變變量量),(YX 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf, yx. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常數(shù)數(shù)其其中中例例記作記作).;,;,(),(222121 NYX9(2)求求)|(|yxfYX和和);|(|xyfXY(3)證明證明X與與Y相互獨立的充要條件是相互獨立的充要條件是. 0 .的的邊邊緣緣概概率率密密度度試試求求二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量(1)解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(21212211

6、22xxy 于是于是, y)x(fxy)()x(Xdee1211122221211212221 ,1111222 xyt令令則有則有,dee21)(22)(122121txftxX .,e21)(21212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,. 并且都不依賴于參數(shù)并且都不依賴于參數(shù).,e21)(22222)(2 yyfxY12例例設設).;,;,(),(222121 NYX(2) 求求)|(|yxfYX和和);|(|xyfXY解解(2)(),()|(|yfyxfyxfYYX 2222222212121212

7、2)(2)()(2)()1(2122121121 yyyxxee132)()1(21212211221121 yxe2)1(212122112121 yxe故在故在yY 的條件下的條件下, ,服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布X )1(),(2212211 yN14對稱地對稱地, , 在在xX 的條件下的條件下, ,Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 )1(),(2221122 xN（3）比較）比較);,;,(222121 N與與),(),(2222211 NN的密度函數(shù)的密度函數(shù)),(yxf與與),(),(yfxfYX易知易知: :0 ),()(),(yfxfyxfYX 即即, , 當且僅當當且僅當0 時時,

8、 ,X與與Y相互獨立相互獨立. .2.92.9兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機變量函數(shù)的分布一、離散型隨機變量函數(shù)的分布 .)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律為為設設隨隨機機變變量量),(YX例例1概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等價于等價于概率概率),(YX)2, 1( 121

9、) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分別為的分布律分別為所以所以YXYX ,結(jié)論結(jié)論的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為若若二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律為的分布律為則隨機變量函數(shù)則隨機變量函數(shù)),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1),( kp

10、jikyxfzij例 2.的分布律的分布律機變量機變量，試求隨，試求隨分布，令分布，令的的與與參數(shù)為參數(shù)為相互獨立，且分別服從相互獨立，且分別服從與與設隨機變量設隨機變量ZYXZYX Poisson21 ，的的取取值值都都是是與與由由隨隨機機變變量量210YX，的取值也是的取值也是可知隨機變量可知隨機變量210YXZ nZPnYXP0,nkPXk ynk解解:所以所以 nkknYkXP0， nkknkeknek02121! nkknYPkXP0 nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 nkknkknCne021!21 nne21!21 21!,21 ennZPn即

11、即分分布布的的服服從從參參數(shù)數(shù)為為分分布布的的定定義義，知知由由PoissonPoisson21 YXZ，210n的分布函數(shù)為則的概率密度為設YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),( xyOzyx yxyxpyzdd),( yux yuyyupzdd),( .dd),(uyyyupz 二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 1. Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函數(shù)為由此可得概率密度函數(shù)為.d),()( yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 與與Y 對稱對稱, 當當 X, Y 獨立時獨立時,也也可可表表示示為為)

12、(zpZ,d)()()( yypyzpzpYXZ.d)()()(xxzpxpzpYXZ 或,21)(22 yeypyY 例例3 3 設兩個獨立的隨機變量設兩個獨立的隨機變量 X 與與Y 都服從標準正都服從標準正態(tài)分布態(tài)分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.,21)(22 xexpxX 由由于于解解.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由公式由公式.)2 , 0(分分布布服服從從即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze xeezpxzxZd21)(2)(222 xeezxzd212242 得得說明說明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXY

13、X 且且有有仍仍然然服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布則則相相互互獨獨立立且且設設一一般般 有限個有限個相互獨立相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布. 例如，設例如，設X、Y獨立，都具有正態(tài)分布，則獨立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有正態(tài)分布也具有正態(tài)分布.為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例4 若若X和和Y 獨立獨立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其其它它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式 10

14、10 xzx也即也即 zxzx110為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如圖示如圖示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是 dxxzpxpzpYXZ)()()(解法二解法二 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā))()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當當z 0 時，時，0)( zFZ1yx1 可用可用卷積公式直接求密度函數(shù)卷積公式直接求密度函數(shù)與與通過分布函通過分布函數(shù)求密度函數(shù)數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布兩種方法求和的分布 zyxYdxdyyfxf)()(Xx+y

15、 = z當當0 z 1 時，時， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(22z zzfZ)(1yx1zzx+y = z當當1 z 2 時，時，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ 2)(z-11yx1zz1yx1x+y = z22當當2 z 時，時，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或2.極值分布),min(),max(YXNYXM 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為它們它們變量變量是兩個相互獨立的隨機是兩個相互獨立的隨機設設則有則有)(maxzMPzF ,zYz

16、XP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 例例5 5 設相互獨立的兩個隨機變量設相互獨立的兩個隨機變量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律為的分布律為XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律試試求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所所以以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互獨獨立立與與因因為為YX),max(iYXP ,

17、iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律為為故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221推廣推廣的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為及及則則),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為量量個相互獨立的隨機變個相互獨立的隨機變是是設設).(1)(1)(11)(21minzFz

18、FzFzFnXXX 則則分分布布函函數(shù)數(shù)相相互互獨獨立立且且具具有有相相同同的的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF 若若 X與與Y 相互獨立同分布且為連續(xù)型隨機變量相互獨立同分布且為連續(xù)型隨機變量,X的的分布密度為分布密度為p(x), 則則M與與N的分布密度為的分布密度為 上述結(jié)論可以推廣到上述結(jié)論可以推廣到n維情形維情形,即若設隨機變量即若設隨機變量 相互獨立同分布相互獨立同分布,令令 則它們的分布函數(shù)分別為則它們的分布函數(shù)分別為 )().(1 2)()().(2)(zpzFzpzpzFzpNM nXXX.,21)maxnnXXXXM.,min(N ),.,(1,1, 它們的概率密度函數(shù)分別為)(.)(n1)()(.)(n)(1 -n1 -nzpzFzpzpzFzpNM n)()(zFzFM n)(11)(zFzFN 四、小結(jié)1. 離散型隨機變量函數(shù)的分布律離散型隨機變量函數(shù)