測量誤差基本知識第三章

1、數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法電子教案第三章 測量誤差基本知識數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法武漢大學測繪學院退出數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章測量誤差基本知識測量誤差基本知識 退出3.1 觀測誤差的分類3.2 衡量精度的標準3.3 算術平均值及觀測值的中誤差3.4 誤差傳播定律3.5 加權平均值及其精度評定3.6 間接平差原理數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法3.1 觀測誤差的分類第第3章章測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1.13.1.1測量誤差產(chǎn)生的原因測量誤差產(chǎn)生的原因 測量中真值與觀測值之差稱為誤差，嚴格意義上講應稱為真誤差。在實際工作中真值不易測定，

2、一般把某一量的準確值與其近似值之差也稱為誤差。產(chǎn)生測量誤差的原因，概括起來有以下三個方面： 人的原因人的原因 （觀測誤差）儀器的原因儀器的原因 外界環(huán)境的影響外界環(huán)境的影響 人、儀器和環(huán)境是測量工作得以進行的必要條件，通常把這三個方面綜合起來稱為觀測條件。凡是觀測條件相同的同類觀測稱為“等精度觀測”，觀測條件不同的同類觀測則稱為“不等精度觀測” 。 數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類3.1.2 3.1.2 測量誤差的分類與處理原則測量誤差的分類與處理原則 測量誤差按其產(chǎn)生的原因和對觀測結果影響性質的不同，可以分為系統(tǒng)誤差、偶

3、然誤差和粗差三類。 3.1.2.1 3.1.2.1 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。 （積累性、規(guī)律性積累性、規(guī)律性）3.1.2.2 3.1.2.2 偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都 不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”。3.1.2.33.1.2.3 粗差（粗差（錯誤錯誤）由于觀測者的粗心或各種干擾造成的大于限差的誤差稱為粗差。（記錄錯、讀數(shù)錯、記錄錯、讀數(shù)錯、計算錯計算錯）3.1.2.43.1.2

4、.4 誤差處理原則誤差處理原則觀測者認真負責和細心地作業(yè)，粗差是可以避免的。（往返測、雙面尺測量等）為了防止錯誤的發(fā)生和提高觀測成果的精度，在測量工作中，要進行“多余觀測”。采用一定的觀測方法觀測方法或對觀測值加改正數(shù)加改正數(shù)的方法，可消除或削弱系統(tǒng)誤差的影響。數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法3.1.3 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類設在相同的觀測條件下，對未知量觀測了n 次，觀測值為L1,L2,Ln ,未知量的真值為X，則觀測值的真誤差為： i=X Li （i=1,2,3,n）例：在相同的觀測條件下，獨立地觀測了 358

5、 個三角形的全部內角，設三角形內角和的真值為 x， 三角形內角和的觀測值為Li， 則三角形內角和的真誤差（三角形閉合差）為； i=X Li （i=1,2,3,358）計算每個三角形內角之和的偶然誤差（三角形閉合差），將它們分為負誤差和正誤差，按誤差絕對值由小到大排列次序。以誤差區(qū)間d=3進行誤差個數(shù)k的統(tǒng)計，并計算其相對個數(shù)kn（n358），kn 稱為誤差出現(xiàn)的頻率。偶然誤差的統(tǒng)計見誤差分布表。 數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類誤差區(qū)間 d 負誤差正誤差誤差絕對值KK/nKK/nKK/n03450.126460.12891

6、0.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810505177049535810003.1.3.1 誤 差 分 布 表數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類3.1.3.2 頻率直方圖形象直觀地描述誤差分布情況。橫坐標

7、表示誤差的大小；縱坐標表示誤差出現(xiàn)于各個區(qū)間的頻率除以區(qū)間的間隔值， 即 。每一誤差區(qū)間上的長方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率。dni/數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類3.1.3.3 偶然誤差的特性：（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；（誤差范圍）（誤差范圍）（2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率高；（分布規(guī)律）（分布規(guī)律） （3）絕對值相等的正誤差與負誤差，其出現(xiàn)的頻率相等；（符號規(guī)律）（符號規(guī)律）（4）當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近于零。即 0limnn數(shù)字測圖原

8、理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類在觀測次數(shù) n 的情況下，如果把誤差區(qū)間間隔無限縮小，則頻率直方圖中各長方條頂邊所形成的折線將變成一條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線或正態(tài)分布曲線 。3.1.3.4 誤差分布曲線數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.1 觀測誤差的分類3.1.3.5 概率密度函數(shù)在概率論中，描繪正態(tài)分布（或高斯分布）的數(shù)學方程式稱為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：式中參數(shù) 是觀測誤差的標準差。nn2lim2nnlim標準差為 ：標準差的平方2為方差。方差為偶然誤差平方的理論平均值：

9、 標準差是誤差分布曲線拐點的橫坐標值。目錄數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識精度是指一組觀測值誤差分布的密集或離散的程度。3.2 衡量精度的標準數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.2 衡量精度的標準 nnlim一組觀測誤差所對應的標準差的大小，反映了該組觀測結果的精度。3.2.1 中誤差 測量工作中，觀測個數(shù) n 總是有限的。當 n 為有限值時，只能得到的估值，常用 m表示，即nm 稱標準差的估值m為中誤差。菲列羅公式菲列羅公式一組等精度觀測值具有相同的中誤差。在計算中誤差m時應取23位有效數(shù)字，并

10、在數(shù)值前冠以號，數(shù)值后寫上“單位”。數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.2 衡量精度的標準 3.2.2 相對誤差 例如:丈量兩段距離：L1=1000m；L2=80m，中誤差分別為： m1=20mm ； m2=20mm，此時,衡量精度應采用相對中誤差，它是中誤差絕對值與觀測值之比。5000011000000201k4000180000202kK1K2，可見L1的量距精度高于L2。相對誤差相對誤差等于誤差的絕對值與相應觀測值之比。它是一個無名數(shù)，通常寫成分子為1的分數(shù)形式，通常用K表示。即用 表示。N1數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章

11、 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.2 衡量精度的標準 3.2.3 極限誤差 根據(jù)誤差理論，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在以下區(qū)間的概率分別為： P（-m+m）68.3%P（-2m+2m）95.5%P（-3m+3m）99.7%大于三倍標準差的觀測誤差出現(xiàn)的概率只有0.3%，是小概率事件，或者說這是實際上的不可能事件。通常以3 倍標準差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差。即限=3m。一般進行的測量次數(shù)有限，大于2倍中誤差的誤差應該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“允許誤差”，簡稱“限差”，即允= m 極= 3m現(xiàn)行測量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。目錄數(shù)字測圖原

12、理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識3.3 算術平均值及觀測值的中誤差 3.3.1 算術平均值 在相同的觀測條件下，對某未知量進行n 次觀測，觀測值分別為l1，l2, ，ln 求該未知量的最或然值？設未知量的真值為X， 則觀測值的真誤差為：nnlXlXlX2211nlXn0limnn根據(jù)偶然誤差的第（4）特性 當觀測次數(shù)無限增大時，觀測值的算術平均值趨近于該量的真值。當觀測次數(shù)有限時，算術平均值最接近真值，又稱“最或然值”。 在計算時，不論觀測次數(shù)多少均以算術平均值作為未知量的最或然值不論觀測次數(shù)多少均以算術平均值作為未知量的最或然值。nlX數(shù)字測圖原理與方法

13、數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.3 算術平均值及觀測值的中誤差 3.3.2 觀測值的改正值 算術平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正值。 nnlxvlxvlxv2211可以證明，一組觀測值取算術平均值后，其改正值之和恒等于零。 3.3.3 按觀測值的改正值計算中誤差 1nvvm（白塞爾公式白塞爾公式） 下式是按觀測值的改正值計算觀測值中誤差的公式 。 0v將上列等式相加，得 又 nlXlnxv數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.3 算術平均值及觀測值的中誤差 1nvvmnnlxvlxvlxv22113.3.4

14、等精度觀測直接平差步驟1. 計算算術平均值2. 計算觀測值的改正值3.計算觀測值的中誤差 0v檢核nlnlllxn21目錄數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識3.4 誤差傳播定律問題測量工作中某些未知量需要由若干獨立觀測值按一定的函數(shù)關系間接計算出來，即某些量是觀測值的函數(shù)。如何根據(jù)觀測值的中誤差求得觀測值函數(shù)的中誤差呢？定義闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間關系的定律，稱為誤差傳播定律。3.4.1 觀測值的函數(shù) 1.和差函數(shù) nxxxZ212.倍函數(shù) mxZ 3.線性函數(shù) nnxkxkxkZ22114.般函數(shù) ),(21nxxxfZ數(shù)字測圖原

15、理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.4 誤差傳播定律3.4.2 一般函數(shù)的中誤差 設有一般函數(shù)： Z= f（x1，x2，xn） （3-26）式中 xi 為獨立觀測值，其中誤差為 mi ，（i=1，2，n），求 z 的中誤差？對（3-26）式求全微分，并以真誤差的符號“”替代微分的符號“d”，得nxnxxzxfxfxf21212222222121nnZmxfmxfmxfm對上式以中誤差平方替代真誤差并開方，得 上式為誤差傳播定律的一般形式。其他函數(shù)，如線性函數(shù)、和差函數(shù)、倍函數(shù)等，都是上式的特例。 nxnxxzdxfdxfdxfd2121數(shù)字測圖原理與方法

16、數(shù)字測圖原理與方法求觀測函數(shù)中誤差的步驟求觀測函數(shù)中誤差的步驟（1）列出函數(shù)式）列出函數(shù)式（2）對函數(shù)式求全微分）對函數(shù)式求全微分（3）套用誤差傳播定律，寫出中誤差式）套用誤差傳播定律，寫出中誤差式 例題例題 已知某矩形長已知某矩形長a=500m,a=500m,寬寬b=440m,b=440m,邊長測量時中誤差為邊長測量時中誤差為1/40001/4000，求矩形面積的中誤差求矩形面積的中誤差mp.mp.解： ma=500(1/4000)=0.125m mb=440(1/4000)=0.11m面積公式：p=ab求全微分：dp=bda+adbmmambmbap78.776050)11. 0500()

17、125. 0440(222222數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法1.1.倍函數(shù)倍函數(shù)設有函數(shù)式 Z=KX （x為觀測值，k為觀測值的系數(shù)） 全微分 dz=kdx 幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差例題：量得例題：量得1:10001:1000地形圖上兩點間長度地形圖上兩點間長度L=168.5mmL=168.5mm0.2mm,0.2mm,計計算該兩點實地距離算該兩點實地距離S S及中誤差及中誤差ms.ms.解：列函數(shù)式 s=1000l 求全微分 ds=1000dl 中誤差式 ms=1000ml=1000*0.2=200mm=0.2m 故 S=168.51000=168.5m0.2m xx

18、zkmmkm22數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.4 誤差傳播定律2.2.線性函數(shù)線性函數(shù)設有線性函數(shù)： nnxkxkxkZ2211式中k1,k2,，kn為任意常數(shù)，x1，x2,，xn為獨立變量，其中誤差分別為m1，m2,，mn。 ,2211nnkxfkxfkxf按照誤差傳播定律的一般形式 得到線性函數(shù)的中誤差： 22222212111nxmnmnmnm2222222121nnzmkmkmkm對某一個量進行n次等精度觀測，其算術平均值的中誤差為：數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.4 誤差傳播

19、定律若是等精度觀測，則m1=m2=mn=m，m為觀測值的中誤差。由此得到按觀測值的中誤差計算算術平均值的中誤差的公式： ) 1(nnvvnmmx （3-30） 由此可見，算術平均值的中誤差是觀測值中誤差的。因此，對于某一量進行多次等精度觀測而取其算術平均值，是提高觀測成果精度的有效方法。 n1數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法3.3.和差函數(shù)中誤差和差函數(shù)中誤差設有線性函數(shù)： nxxxZ21x1，x2,，xn為獨立變量，其中誤差分別為m1，m2,，mn。 則和差函數(shù)的中誤差為： 222212xnxxzmmmm例1：h=a-b22222mmmmbahmmh2例2：C=180-A-B22222m

20、mmmBACmmC2數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法3.5加權平均值及其精度確定現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值A組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35，,13.39,123.32各組的平均值：360.123al333.123bl356.123cl3 cballlx?x數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法 加權平均數(shù)CBACCBBAACBAPPPlPlPlPllllllllllllx54354312).()()( 1287654321各組的平均及權A組： 權PA=3B組： PB=4

21、C組： PC=5 360.123al333.123bl356.123cl數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法3.5.1 不等精度觀測及觀測值的權 在測量實踐中，除了等精度觀測以外，還有不等精度觀測。例如，有一個待定水準點，需要從兩個已知點經(jīng)過兩條不同長度的水準路線測定其高程，則從兩條路線分別測得的高程是不等精度觀測，不能簡單地取其算術平均值，并據(jù)此評定其精度。這時，就需要引入“權”的概念來處理這個問題?！皺唷钡脑瓉硪饬x為秤錘，此處用作“權衡輕重”之意。某一觀測值或觀測值的函數(shù)的精度越高（中誤差m越?。錂鄳酱?。測量誤差理論中，以P表示權，并定義權與中誤差

22、的平方成反比： 2iimCP （3-38） 式中，C為任意正數(shù)。權等于1的中誤差稱為單位權中誤差，一般用或 表示。因此，權的另一種表達式為0m0220iimmP （3-39） 數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.5 加權平均值及其精度評定 3.5.2 加權平均值對某一未知量，L1，L2，Ln為一組不等精度的觀測值，其中誤差為m1，m2，mn，其權為P1，P2，Pn?？砂聪率角笃浼訖嗥骄担鳛樵摿康淖罨蚴侵担?PPLPPPLPLPLPxnnn212211（3-45） 根據(jù)同一量的n次不等精度觀測值，計算其加權平均值x后，用下式計算觀測值的改正值

23、nnLxvLxvLxv2211(3-48)不等精度觀測值的改正值還滿足下列條件： 0)(PLxPLxPPv（3-51） 數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.5 加權平均值及其精度評定 3.5.3 加權平均值的中誤差 （3-50）式可以寫成線性函數(shù)的形式： nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPmiiPmm202 222210PPPPPPmmnx Pmmx0加權平均值的權即為觀測值的權之和。 PPx（3-52）（3-53）數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法 3.5.4 單位權中誤差的計算 第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.5 加權平均值及其精度評定 根據(jù)一組對同一量的不等精度觀測值，可以計算該類觀測值的單位權中誤差。 220iimPm 在觀測量的真值未知的情況下，按不等精度觀測值的改正值計算單位權中誤差的公式： 對于同一量有n個不等精度觀測值，則 21120mPm 22220mPm 220nnmPm 取其總和，得 nPmmnPmm22010nPvvm（3-56）數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法第第3章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 3.5 加權平均值及其精度評定 PPLPPPLPLPLPxnnn2122110Pv2