不等式知識點歸納大全

1、WORD格式"不等式"知識點歸納一.(1)解不等式是求不等式的解集， 最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義X圍的端點值.(2)解分式不等式f xa a 0 的一般解題思路是什么？移項通分，分子分母分解因式， xg x的系數(shù)變?yōu)檎?，?biāo)根及奇穿過偶彈回；(3)含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？(一般是分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化)；(4)解含參不等式常 分類等價轉(zhuǎn)化 ，必要時需分類討論 .注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但假設(shè)按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集 .二、利用重要不等式 ab2 ab以及變式ab2 等求函數(shù)的

2、最值時，務(wù)必注意，ab(2)a b R或 a ，b 非負(fù)，且“等號成立 時的條件是積 ab 或和 a b 其中之一應(yīng)是定值 (一正二定三等四同時 ).三、.常用不等式有：a2b2abab2(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算構(gòu)造選用) a、b、2211abc R，a2b2c2abbcca 當(dāng)且僅當(dāng) abc 時，取等號四、含立方的幾個重要不等式a、b、c 為正數(shù)：a 3 b 3 c 3 3abc ab c0等式即可成立，ab c或 a b c0時取等；3abc a bcabc ( a bc )3 a 3 b 3c 3333五、最值定理積定和最小 x, y0,由xy 2xy ，假設(shè)積xyP(定值 ) ，那么

3、當(dāng)xy 時和xy 有最小值2 p ；和定積最大 由，假設(shè)和 x yS(定值) ，那么當(dāng)xy是積xy有最大值1 s2.x, yxy 2 xy0,4【推廣】： a,b, x, yR,假設(shè) ax11by 1 ，那么有那么x的最小值為：y1111byax( a2x( ax by )() a bx a b 2 abb )yxyy專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式等式到不等式的轉(zhuǎn)化：x>0， y>0，x2y2xy 8，那么 x2y 的最小值是 _2xy8( x 2 y) x 2y8( x2 y)(x2 y) 24( x2 y)22 y) 8 0( x2 y8)( x2 y4)

4、0即4( x解得 x2y8舍或 x2 y4故 x 2y 的最小值是 4如果求 xy 的最大值，那么2xy8( x2 y)x2 y8 2xy 2 2xy ，然后解關(guān)于xy 的一元二次不等式，求xy 的X圍，進而得到xy 的最大值六、比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法 、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、 綜合法、分析法和 放縮法 (注意：對“整式、分式、絕對值不等式的放縮途徑，“配方、函數(shù)單調(diào)性等對放縮的影響 ).七、含絕對值不等式的性質(zhì)：a、 b 同號或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab |；a、 b 異號或有 0| ab | | a | b | a | b |

5、 | ab |.八、不等式中的函數(shù)思想不等式恒成立問題“含參不等式恒成立問題 把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的 “函數(shù)與方程 、“化歸與轉(zhuǎn)化 、“數(shù)形結(jié)合 、“分類討論 等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、函數(shù)法 1一次函數(shù)f (x) kx b, x m, n 有：f ( x) 0恒成立f (m)0f (m)0f (n), f (x)0恒成立00f (n)2一元二次函數(shù) f ( x

6、)ax2bxc0( a 0, x R) 有：1f (x)0 對 xR 恒成立a0;0專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式2f (x)0 對 xa0R 恒成立.03不等式中x的取值X圍有限制，那么可利用根的分布解決問題。例 1設(shè)f()x222，當(dāng)x 1,)時，f (x)m恒成立，*數(shù)m的取值X圍。xmx解：設(shè) F ( x)x 22mx2m ，那么當(dāng)x 1,) 時， F (x) 0 恒成立yx當(dāng)4(m1)(m2)0即2 m1時，F(xiàn) ( x)0 顯然成立；當(dāng)0 時，如圖， F ( x)0恒成立的充要條件為：-1Ox0F (1) 0解得3m2 。綜上可得實數(shù) m 的取值X圍為 3,1)。

7、2m12二、最值法：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1f ( x)a 恒成立af ( x) min2f ( x)a 恒成立af ( x) max例 2兩個函數(shù)f (x)8x2 16x k，g(x)2x35x24x ，其中k為實數(shù).(1)假設(shè)對任意的 x3，3，都有 f (x)g( x) 成立，求 k 的取值X圍；(2)x 、x2， ，都有(x1)(x2)，求 k 的取值X圍.假設(shè)對任意的 13 3fg(3)假設(shè)對于任意 x13,3,總存在03,3使得 g( x0 )f ( x1 ) 成立，求k的取值X圍 .x解： (1) 令 F ( x)g (x)f (x)

8、 2x33x212xk ,問題轉(zhuǎn)化為 F ( x)0在x3,3 上恒成立 ,即 F ( x)min0 即可(2)由題意可知當(dāng) x3，3 時 ,都有 f (x) maxg( x)min .3于任意 x13,3,總存在 x03,3 使得 g( x0 )f ( x1 ) 成立，等價于 fx 的值域是 g x 的值域的子集，專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式三、別離變量法假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元別離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)X圍。 這種方法本質(zhì)也還是求最值， 但它思路更清晰， 操作性更強。一般地有：1 f ( x)g( a)(a為參數(shù)恒

9、成立g(a)f ( x) max2 f ( x)g( a)( a為參數(shù)恒成立g(a)f ( x) max例 3： f(x)是定義在 -1,1 上的奇函數(shù) ,且 f(1)=1,假設(shè)m, n 1,1, m n0時 f ( m)f (n)0，假設(shè)mnf ( x) t 22at1對于所有的x 1,1, a 1,1 恒成立，*數(shù)t的取值X圍.解：題不等式中有三個變量， 因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量， 容易證明 f(x)是定義在 -1,1 上的增函數(shù) ,故 f(x) 在-1,1 上的最大值為 f(1)=1,那么f ( x)t 22at1對于所有 的 x1,1, a 1,1 恒 成 立1 t

10、22at 1 對 于 所 有 的a 1,1恒成立，即2ta t 20對 于 所 有 的 a 1,1恒 成 立 ， 令 g (a) 2ta t 2， 只 要g (1) 0，g (1)0t2或 t2或 t 0 四、變換主元法理含參不等式恒成立的某些問題時，假設(shè)能適時的把主元變量和參數(shù)變量進展“換位 思考，往往會使問題降次、簡化。例 4：，不等式x2(a4) x42a0恒成立，求 x 的取值X圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x 的一元二次不等式，但假設(shè)把 a 看成主元，那么問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式 ( x2) ax24x4 0在 a1,1 上恒成立的問題。解：令f (a)( x2)ax 24x4，那么原問

11、題轉(zhuǎn)化為 f (a)0 恒成立 a 1,1 。當(dāng) x2 時，可得 f ( a)0，不合題意。當(dāng) x 2 時，應(yīng)有f (1)0解之得 x 1或 x 3。f ( 1)0故 x 的取值X圍為(,1)(3,) 。專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1f (x)g(x)函數(shù) f (x)圖象恒在函數(shù) g (x) 圖象上方；2f (x)g(x)函數(shù) f (x)圖象恒在函數(shù) g (x) 圖象下上方.例 5.設(shè)函數(shù)f (x)ax

12、24x, g( x)axa ,假設(shè)恒有f (x) g( x)成立 ,試*數(shù) a 的取值X圍 .解：由題意得 f (x)g (x)x24xax2a ,yx2令 y14x , y2ax 2a .可化為 ( x 2)224( 0x4, y1 0) ，它表示以(2,0)為圓心，2為y1Ox半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(-2,0)，以 a 為斜率的直線，要使f (x)g( x) 恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如下列圖 )當(dāng)直線與專業(yè)資料整理WORD格式半圓相切時就有圍是 a3 3| 2a2a |2，即 a3f (x)g (x)恒成立，實數(shù) a 的取值X1a 23 ，由圖可知，要使專業(yè)

13、資料整理WORD格式六、分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，那么可利用分類討論的思想來解決。例 6： x2,2時，不等式 x2ax3 a 恒成立，求a的取值X圍。解：設(shè) f xx2ax 3a ，那么問題轉(zhuǎn)化為當(dāng) x2,2時， fx 的最小值非負(fù)。1 當(dāng)a2 即： a4 時，fx min f 27 3a 0a7又 a4所以a不存在；232 當(dāng)2a2 即 ： 4 a4 時 ，f xm i nfaa20223 a6 a 2 又44a44a23 當(dāng)a2即： a4時，fx min f 27 a0a7 又 a47 a42綜上所得：7 a2專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式例 7： a 是實數(shù)，函數(shù)f (x)2ax22x3a ，如果函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間11，上有零點，求 a的取值X圍解析：由函數(shù) f ( x) 的解析式的形式，對其在定區(qū)間上零點問題的解決需要考慮它是一次函數(shù)，還是二次函數(shù)， 因而需就 a 0和 a0 兩類情況進展討論。解：函數(shù) y f (x) 在區(qū)間-1，1上有零點，即方程f ( x)2ax22x3 a =0在-1，1上有解，a=0時 ，不 符合 題意，所 以 a0,方程f(x