理想流體動(dòng)力學(xué)

1、第三章 理想流體動(dòng)力學(xué)3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法3-2 流線和流管3-3 連續(xù)性方程 控制體的概念3-4 動(dòng)量方程和運(yùn)動(dòng)方程3-5 伯努利方程3-6 壓強(qiáng)沿流線法向的變化3-7 總流伯努利方程3-8 伯努利方程應(yīng)用舉例3-11 動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法一、拉格朗日方法 以流場(chǎng)中個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)，研究所有質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)。( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t空間坐標(biāo)任何質(zhì)點(diǎn)在空間的位置（x，y，z）都可看作是（a，b，c）和時(shí)間 t 的函數(shù)。（a，b，c）=const , t為變數(shù)，可

2、以得出某個(gè)指定質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻所處的位置。 （a，b，c）為變數(shù), t =const ，可以得出某一瞬間不同質(zhì)點(diǎn)在空間的分布情況。注意：系統(tǒng)：由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體團(tuán)，以流體團(tuán)作為研究對(duì)象。其特點(diǎn)：1.邊界隨流團(tuán)一起運(yùn)動(dòng)，其形狀、大小隨時(shí)間變化。2.邊界上無質(zhì)量交換，即無流入也無流出。3.在系統(tǒng)邊界上，受到外界作用在系統(tǒng)邊界上的力。V系統(tǒng)系統(tǒng)邊界二、歐拉法 以流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)流場(chǎng)中各空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即以流場(chǎng)作為描述對(duì)象，研究流動(dòng)的方法。 它不直接追究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，而是以充滿運(yùn)動(dòng)液體質(zhì)點(diǎn)的空間流場(chǎng)為對(duì)象。研究各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在流場(chǎng)中的變化規(guī)律。( , , , )( , , , )( , , , )uu x

3、 y z tvv x y z tww x y z t( , , , )( , , , )x y z tpp x y z t 流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)是坐標(biāo)和時(shí)間（x，y，z，t）的連續(xù)函數(shù)。速度：壓力、密度： 控制體：空間某一確定的區(qū)域。其特點(diǎn)：1.控制體的體積、形狀、大小不隨時(shí)間變化。2.控制面上有質(zhì)量交換，即有流入也有流出。3.在控制面上，受到外界物體給控制體的力。F定義：流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)時(shí)間的變化率稱為該物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。三.質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) ( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù):速度xduuu xu yu zdttxt

4、ytztuuuuuvwatxyz xduuuuuauvwdttxyzydvvvvvauvwdttxyzzdwwwwwauvwdttxyz 局部加速度對(duì)流加速度同理 時(shí)變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋?流動(dòng)過程中流體由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度； 位變加速度（遷移加速度） 流動(dòng)過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度。由此可知：質(zhì)點(diǎn)的加速度有兩部分組成 對(duì)任意物理量其質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：dNNNNNuvwdttxyzN可是矢量也可是標(biāo)量。Nt當(dāng)?shù)刈兓剩ň植孔兓剩㎞NNuvwxyz遷移變化率四.流動(dòng)的分類定常流：是指流場(chǎng)中流體參數(shù)不隨時(shí)間而變化，局部變化率為零。非定常流：是指流場(chǎng)中流體參數(shù)隨時(shí)間變化，局部

5、變化率不為零。0Vt0t0pt0Vt0t0pt均勻流：各過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D沿程不變，過水?dāng)嗝媸瞧矫妫爻谈鬟^水?dāng)嗝娴男螤詈痛笮《急３忠粯?。非均勻流：流?chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)的流速大小或方向或同時(shí)二者沿程改變，即沿流程方向速度分布不均。（非均勻流又可分為急變流和漸變流）一元流：流體在一個(gè)方向流動(dòng)最為顯著，其余兩個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。二元流：流體主要表現(xiàn)在兩個(gè)方向的流動(dòng)，而第三個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。三元流：流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)。工程上可將問題簡化：將翼展z方向看成無限長，三維問題簡化成二維處理。2 流線

6、和流管一、跡線定義：流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。二、流線定義： 是表示某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動(dòng)趨勢(shì)的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。流線是歐拉法分析流動(dòng)的重要概念。幾種情況流線流線的性質(zhì)： 同一時(shí)刻的不同流線，不能相交。 流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。 流線簇的疏密反映了速度的大小。（流線密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。?定常流時(shí)，流線形狀及位置不隨時(shí)間變化。幾種情況流線可相交：駐點(diǎn)切點(diǎn)奇點(diǎn)流線方程根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程：設(shè)ds為流線上A處的一微元弧dsdxidyjdzkxyzuu iu ju ku為流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的流速流速向量與流線相切，即沒有垂直于流線的流

7、速分量，u和ds重合。 0dsuxyzdydxdzuuu有例：已知流速場(chǎng)為 22ycyuxy22xcxuxy0zu 其中C為常數(shù)，求流線方程 。三、流管和流束由流線組成的管狀形體稱為流管。在流管內(nèi)的流體稱為流束。 四、流量體積流量：單位時(shí)間內(nèi)，流過某一曲面的流體體積稱為該曲面的體積流量。dAvnvndt實(shí)際計(jì)算流量時(shí)，常取橫截面與流線垂直，這樣的面稱為過流斷面。如圖，取微元面積dA，其上速度VnnnV dtdAdQV dAdt由定義對(duì)面積A積分：3/nAQV dAmsdAvnVndt平均速度 V:工程上常采用此速度QVA質(zhì)量流量：/mQQkg s重量流量：/GQgQN s3 連續(xù)性方程 連續(xù)性

8、方程：就是將連續(xù)介質(zhì)模型和質(zhì)量守恒的結(jié)合。一.積分形式的連續(xù)性方程取系統(tǒng)如圖：t時(shí)刻系統(tǒng)與控制體重合。t+t時(shí)刻，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變形，控制體不變，與系統(tǒng)不重合。M(t)M(t)A(t)A(t)(t)(t)M(tM(tt)t)A(tA(tt)t)(t(tt)t)dVnA由質(zhì)量守恒定理：系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)量對(duì)時(shí)間的變化率為零。0()( )lim0tdMM ttM tdtt ( )()( )( )()()tttM tt dM tttt d式中：t時(shí)刻系統(tǒng)質(zhì)量也是控制體質(zhì)量tt時(shí)刻系統(tǒng)質(zhì)量()( )( )()()( )()( )()( )()tttttM ttM ttt dt dtttdtt d體積不變，時(shí)間變體積

9、不變，時(shí)間變化引起密度化引起密度 改變使改變使質(zhì)量發(fā)生變化。質(zhì)量發(fā)生變化。由于體積變化引由于體積變化引起質(zhì)量的變化起質(zhì)量的變化?；蚬寿|(zhì)量守恒可表示為：0nAdMdddv dAdtdtt nAdv dAt此式即是積分形式的連續(xù)性方程。 物理意義：控制體單位時(shí)間內(nèi)由于密度變化引起的質(zhì)量的增加量等于單位時(shí)間內(nèi)通過控制體表面凈流出的質(zhì)量。nAdddv dAdtt 此式也可應(yīng)用與其它物理量，寫成通式是單位體積的物理量，可是矢量，也可是標(biāo)量。mmVV 單位體積的質(zhì)量單位體積的動(dòng)量1. 定常流2.流體不可壓縮將積分形式連續(xù)性方程簡化：從控制面上流出的質(zhì)量和為零const從控制面上流出的流量和為零0nAV d

10、A0nAV dA3 3.對(duì)于一元管流1122控制面上只有兩個(gè)端面有流入和流出121212nnAAV dAV dA即1122V AV A或12QQ二.微分形式的連續(xù)性方程()()22dxu dxudyxxx在x方向流入控制體的質(zhì)量為：取一控制體，其在平面上的投影如圖，2u dxux2u dxuxydydx. u v2dxx2dxxX方向流出的質(zhì)量：()()22dxu dxudyxxX方向凈流出質(zhì)量：()()(22()()2)2dxu dxudyxxdxu dxudyudxdxxxy同理可得y方向的凈流出質(zhì)量密度變化引起的質(zhì)量變化量根據(jù)質(zhì)量守恒：()vdxdyydxdyt()()uvdxdydxd

11、yxyt 對(duì)于定常流：()()0uvxy對(duì)于不可壓縮流體：0uvxy對(duì)于三維流體：()()()0uvwtxyz例： 有兩種二元液流，其流速可表示為： （1）（2） 試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？2 ,3uyvx 0,3uvx y注意：若流動(dòng)存在，一定要滿足微分形式的連續(xù)性方程例：已知二元流試求 x=1m，y=2m 點(diǎn)上的速度和加速度32515uxvx y 例：有兩個(gè)串聯(lián)油缸，工作流量為Q,活塞面積為A1、A2，求兩個(gè)活塞的運(yùn)動(dòng)速度比。Q Q3 3V1V2Q Q124 動(dòng)量方程和運(yùn)動(dòng)方程流體的動(dòng)量定理：系統(tǒng)的動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力和。 動(dòng)量定理是牛頓第二定律在流體力學(xué)中的表現(xiàn)

12、形式。 牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 對(duì)于時(shí)間的變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力的和。mV 一、積分形式動(dòng)量定理 積分形式的動(dòng)量定理 動(dòng)量方程在流場(chǎng)中任取一有限體積 作為控制體。作用于控制體上的外力： 質(zhì)量力表面力fdApndA單位時(shí)間內(nèi)凈流入控制體的動(dòng)量 nAv dAV單位時(shí)間內(nèi)控制體中流體動(dòng)量的增量 根據(jù)動(dòng)量定理得:Vdt ()nAAVdVv dAfdpndAt對(duì)于定常流動(dòng): 二、微分形式的動(dòng)量定理微分形式的動(dòng)量定理 運(yùn)動(dòng)方程 nAAVv dAfdpndA取一微元控制體如圖，討論在x方向的運(yùn)動(dòng)，此方向流體受到的質(zhì)量力fx，表面力如圖：ydydx, p a()2p dxpdyx()2p dxpdyx

13、()2p dypdxy()2p dypdxyX由 在x方向：Fma()()22xxp dxp dxf dxdypdypdyxxdxdya化簡：1xxpafx同理：1yypafy1zzpafz歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程1afp用矢量表示：5 5 伯努利方程 將運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)用于流線，可以得到沿流線的伯努利方程。sugodsdzdzdrr如圖，在流線s上任取微元段ds，其上速度u,沿流線應(yīng)用運(yùn)動(dòng)方程有：1sspafs而suuauts局部加速度和遷移加速度定常流suaus作用在微元線段上的質(zhì)量力為：cosszfggs 1uzpugsss 故2()02pugzs或積分22pugzc或22puzcgg應(yīng)用條件：沿流線

14、Br.eq定常流;理想流體;不可壓流體;質(zhì)量力只有重力;方程沿流線成立。 單位重量流體的動(dòng)能；速度頭伯努利方程的物理意義和幾何意義：22ugpg單位重量流體的總機(jī)械能：總水頭 z 單位重量流體的位能：位頭單位重量流體的壓能；壓力水頭pzg單位總量流體的勢(shì)能：測(cè)壓管水頭22puzgg流線上任意兩點(diǎn)間總機(jī)械能關(guān)系212ug222ug1pg2pg1z2z122211221222pupuzzgggg2211221222pupuzzgggg0nAdMdddv dAdtdtt 1122V AV A0uvxy ()nAAVfdpndAdVv dAt1afp連續(xù)性方程：動(dòng)量方程： 6 6 壓強(qiáng)沿流線法向的變化

15、緩變流概念：緩變流流線之間的夾角很小，流線趨于平行的流動(dòng)。特點(diǎn)：1.由于流線曲率半徑很大，故流體的向心加速度很小，由此引起的慣性力可忽略，質(zhì)量力只有重力。2.在緩變流斷面上（流線的法向），各點(diǎn)的 為常數(shù)，不同截面常數(shù)不同。pzg1122111pzcg222pzcg證明：如圖:垂直與流線取一微元柱體，在半徑r方向應(yīng)用運(yùn)動(dòng)方程dldzrrFma忽略慣性力，有：()cos0pdP dApdAgdAdl其中cosdldz0dpgdz對(duì)不可壓流體積分pzcg有即在流線的法向，壓強(qiáng)滿足靜壓分布7 7 總流的伯努利方程在流管中取一微小流束，其上任兩點(diǎn)有：一.總流的伯努利方程：2211221222pupuzz

16、gggg式中各項(xiàng)表示各點(diǎn)單位總量流體的能量，分別乘上微元重量再對(duì)總流積分，然后再用流管的總重量除之，得總流平均單位重量流體的能量：21()2Apug zdQgQgg對(duì)于緩變流斷面const.pzg分別討論各項(xiàng)積分：1()()Appg zdQzgQgg注意：積分結(jié)果形式上和積分前相同但含義不同，這里表示的是平均單位重量流體的勢(shì)能。在截面上各點(diǎn)的速度不同，用平均速度1122211222AAuVgdQgdQgQggQgVg動(dòng)能修正系數(shù)31AudAAV乘以一修正系數(shù)來表示速度水頭：平均單位重量流體的動(dòng)能故總流的伯努利方程：2211 122 21222pVpVzzgggg使用條件：定常流動(dòng)： 理想流體：

17、流體不可壓： 質(zhì)量力為重力： 兩截面處為緩變流。一般工程應(yīng)用：當(dāng)層流2，紊流1如不特別指出取1。二.伯努利方程的推廣：1.有分叉流的情況Q Q1 1Q Q2 2Q Q3 32211221222pVpVzzgggg2233111322pVpVzzgggg或方程兩邊是單位重量流體能量守恒：222331122123()()()222pVpVpVzzzgggggg？總重量流體能量守恒：221122112223333()()22()2pVpVgQ zgQ zggggpVgQ zggQ Q2 2Q Q1 1Q Q3 3匯流情況也如此2.有能量輸入和輸出 1122在工程上有許多有能量輸入輸出的情況，在應(yīng)用伯

18、努利方程時(shí)應(yīng)考慮外加的機(jī)械能。如圖一水泵00取基準(zhǔn)在00線上：寫1 2的Br.eq221122121222wpVpVzzhHgggg式中H為單位重量流體獲得（失去）的能量，由機(jī)械能轉(zhuǎn)化而來。在風(fēng)機(jī)中稱風(fēng)壓;在水泵中稱揚(yáng)程。流體獲得能量取“”，失去能量取“”。例1 畢托管測(cè)速原理： 8 8 伯努利方程應(yīng)用舉例HAHBhA B如圖，沿中心流線寫伯努利方程，此時(shí)2222AABBpupuggggABzz0Bu 駐點(diǎn)22ABAuppggAABBpgHpgH 稱為靜壓強(qiáng)22BAAppugghgApg22AApugg稱為全壓或總壓工程上把總壓管和靜壓管作成一體，用U形管來測(cè)壓：0、1兩點(diǎn)相距很近，可認(rèn)為在一

19、根流線上h12 0121111211222ppggugghgggh其中012111pphg由等壓面概念求出。 例2 文丘里流量計(jì) 為了測(cè)量管道中的流量，可以將收縮擴(kuò)張管(文丘利管)接到管道中去，如圖示。通過測(cè)量頸部及來流段的壓力差以確定流體平均速度及流量。 其中 為已知，求流量Q。取基準(zhǔn)00，寫緩變流斷面1 2的伯努利方程12.d d h 00z1z2h例：關(guān)于飽和蒸汽壓 容器內(nèi)盛有液體，有一虹吸管如圖示，液體由虹吸管流出，但當(dāng)虹吸管的最高點(diǎn)離液面足夠高時(shí)，流動(dòng)會(huì)中斷。試問中斷的原因。若已知液體的飽和蒸汽壓力為 ，試確定保持流動(dòng)的最高可能位置h。 vp 例：已知虹吸管的直徑 d=150mm，噴

20、嘴出口直徑 d2=50mm，不計(jì)損失，求虹吸管的輸水流量及管中A、B、C、D各點(diǎn)的壓強(qiáng)值。2m3m4mABCD112d2pa 例：簡單化油器原理如圖，已知喉部壓力（真空） ，求此時(shí)喉部速度 V=? (液油、氣流）31.16/,0.7,2kg m Shcm空油421.14 10/pN mht汽油汽油空氣空氣混合氣MHspa12z例：水泵的進(jìn)口管徑d1=100mm，斷面1的真空計(jì)讀數(shù)為300mm汞柱，出口管徑 d2=50mm，端面2的壓力計(jì)讀數(shù)為29.42/kN m兩儀表高差Z=0.3m，管內(nèi)流量10 /Ql s不計(jì)水頭損失，求水泵所能提供的揚(yáng)程和功率及水泵的安裝高度Hs.揚(yáng)程單位總量流體從泵中所

21、獲的能量安裝高度水泵進(jìn)口軸線距液面的距離d1d2d3M12h基準(zhǔn)例：瀉水管路d1=125mm， d2=100mm d3=75mm,汞壓差計(jì)讀數(shù) h=175mm ，不計(jì)阻力，求流量Q和壓力計(jì)讀數(shù)。11動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用一.動(dòng)量方程：nAdddv dAdtt 由前面導(dǎo)出的流體的物理量對(duì)時(shí)間的變化率公式：在此用單位體積的動(dòng)量表示：muu()nAduudduv dAdtt 由理論力學(xué)知識(shí)：系統(tǒng)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力和。有dudFdt ()nAuFduv dAt 即瞬態(tài)力穩(wěn)態(tài)力F包括壓力、重力等，為控制體上的合力 簡化：取管內(nèi)流體為控制體1.定常流， 只有穩(wěn)態(tài)力nAFuv

22、dA2.一元管流,不計(jì)質(zhì)量力22211121nAAAFuv dAu dQu dQ 3.流體不可壓，并用斷面平均速度代入 212122211122221111AAAAFu dQu dQV dQVdQ 密度在各斷面上均布，積分上式：22221111FV QVQ 1212QQ動(dòng)量修正系數(shù)21AudAAV不可壓：且取121在定常流動(dòng)中，單位時(shí)間內(nèi)，從控制面流出、流入的動(dòng)量差，等于作用在控制體上的和外力。21()FQ VV 有：應(yīng)用時(shí)，采用分量形式：2121()()xxxyyyFQ VVFQ VV方程的物理意義：2.在計(jì)算過程中所涉及的壓力項(xiàng)要用相對(duì)壓力。應(yīng)用動(dòng)量方程時(shí)要注意：1. 為和外力，在計(jì)算時(shí)要

23、分別寫出各項(xiàng)力。F二.動(dòng)量矩方程可采用推導(dǎo)動(dòng)量方程的方法導(dǎo)出動(dòng)量矩方程。 ()()nAurFRTdur v dAt 進(jìn)行化簡，得到適用式子。也可利用動(dòng)量方程，直接導(dǎo)出結(jié)果。1221()FRQ VRVR 標(biāo)量形式：2211()uuTQ V RV RV1V2R1R221.uuV V分別與 R2、R1垂直。v2uv1u例1. 水流對(duì)彎管的作用力 密度為 的不可壓流體定常地在圖示水平安裝的收縮彎管中流動(dòng)，流體出口速度方向與進(jìn)口速度方向夾角為 。 已知進(jìn)口物理量為 出口物理量為求流體對(duì)彎管在水平面內(nèi)的作用力。111,VpA22,VA 解：首先取控制體蘭色虛線所示，求出控制體上受到管壁的作用力，管壁受力與此大小相等，方向相反。1122p1p2RRxRy控制體例2. 水流對(duì)于噴嘴的作用力 如圖，消防管路直徑 D=200mm，末端噴嘴的出口直徑 d=50mm，噴嘴和管路用法蘭盤連接，其上裝有四個(gè)螺栓，求當(dāng)流量 時(shí)，螺栓上所受到的拉力。30.1/Qmsp1RRyRx取噴嘴內(nèi)流體為控制體例3. 射流對(duì)平板和葉片的作用力Q.a，垂直與紙面方向厚度取1求：1）分流量Q1和Q2;2)射流對(duì)平板的