逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)

1、精品文檔2 1逐點(diǎn)比較法逐點(diǎn)比較法是我國數(shù)控機(jī)床中廣泛采用的一種插補(bǔ)方法， 它能實(shí)現(xiàn)直線、 圓弧和非圓二次曲線的插補(bǔ)，插補(bǔ)精度較高。逐點(diǎn)比較法，顧名思義，就是每走一步都要將加工點(diǎn)的瞬時(shí)坐標(biāo)同規(guī)定的圖形軌跡相比較， 判斷其偏差， 然后決定下一步的走向， 如果加工點(diǎn)走到圖形外面去了，那么下一步就要向圖形里面走； 如果加工點(diǎn)在圖形里面， 那么下一步就要向圖形外面走， 以縮小偏差。 這樣就能得出一個(gè)非常接近規(guī)定圖形的軌跡， 最大偏差不超過一個(gè)脈沖當(dāng)量。在逐點(diǎn)比較法中， 每進(jìn)給一步都須要進(jìn)行偏差判別、 坐標(biāo)進(jìn)給、新偏差計(jì)算和終點(diǎn)比較四個(gè)節(jié)拍。下面分別介紹逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的原理。一、 逐點(diǎn)比較

2、法直線插補(bǔ)如上所述，偏差計(jì)算是逐點(diǎn)比較法關(guān)鍵的一步。 下面以第象限直線為例導(dǎo)出其偏差計(jì)算公式。YA(xe,ye)P(xi,yi)F0F0 時(shí)，點(diǎn) P(x i ,y j ) 落在直線的上方；當(dāng) Fij 0）時(shí)，應(yīng)該向 +x 方向發(fā)一個(gè)脈沖，使機(jī)床刀具向 +x 方向前進(jìn)一步，以接近該直線；當(dāng)點(diǎn) P 在直線下方（即 Fij 0 和 Fij =0 歸于一類，即 Fij 0。這樣從坐標(biāo)原點(diǎn)開始， 走一步，算一次，判別 Fij ，再趨向直線，逐點(diǎn)接近直線 OA ，步步前進(jìn)。當(dāng)兩個(gè)方向所走的步數(shù)和終點(diǎn)坐標(biāo) A（ xe,ye ）值相等時(shí)，發(fā)出終點(diǎn)到達(dá)信號，停止插補(bǔ)。對于圖 21 的加工直線 OA，我們運(yùn)用上述

3、法則，根據(jù)偏差判別函數(shù)值，就可以獲得如圖中折線段那樣的近似直線。但是按照上述法則進(jìn)行 Fij 的運(yùn)算時(shí)，要作乘法和減法運(yùn)算，這對于計(jì)算過程以及具體電路實(shí)現(xiàn)起來都不很方便。 對于計(jì)算機(jī)而言， 這樣會影響速度； 對于專用控制機(jī)而言，會增加硬件設(shè)備。因此應(yīng)簡化運(yùn)算，通常采用的是迭代法，或稱遞推法，即每走一步后新加工點(diǎn)的加工偏差值用前一點(diǎn)的加工偏差遞推出來。2歡迎下載精品文檔下面推導(dǎo)該遞推式：已經(jīng)知道，加工點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi ,yj ）時(shí)的偏差為：Fij x e y j - x i ye若 Fij 0 時(shí)，則向 x 軸發(fā)出一進(jìn)給脈沖，刀具從這點(diǎn)即（x i ,y j ）點(diǎn)向 x方向前進(jìn)一步，到達(dá)新加工點(diǎn)P

4、（ xi+1 ,y j ）， xi+1 =xi +1，因此新加工點(diǎn) P（ xi+1 ,y j ）的偏差值為Fi 1,j x e y j -x i+1 yex e y j(x i +1)y e =x ey j -xi yeye Fij ye即:Fi+1,j Fijye(2-1)如果某一時(shí)刻，加工點(diǎn) P（ xi ,y j ）的 Fij 0，則向 y 軸發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，刀具從這一點(diǎn)向 y 方向前進(jìn)一步，新加工點(diǎn) P（ xi ,y j+1 ）的偏差值為Fi,j+1x e y j+1 -x i yexe (y j1)xi ye =x e yj - xi yexeFi,j xe即 :Fi,j+1 Fij

5、 x e(2-2)根據(jù)式（ 21）及式（ 22）可以看出，新加工點(diǎn)的偏差完全可以用前一加工點(diǎn)的偏差遞推出來。綜上所述，逐點(diǎn)比較法的直線插補(bǔ)過程為每走一步要進(jìn)行以下4 個(gè)節(jié)拍（步驟），即判別、進(jìn)給、運(yùn)算、比較。（1） 判別。根據(jù)偏差值確定刀具位置是在直線的上方（或線上），還是在直線的下方。（2） 進(jìn)給。根據(jù)判別的結(jié)果，決定控制哪個(gè)坐標(biāo)（x 或 y）移動一步。（3） 運(yùn)算。計(jì)算出刀具移動后的新偏差，提供給下一步作判別依據(jù)。根據(jù)式（2 1）及式（ 22）來計(jì)算新加工點(diǎn)的偏差，使運(yùn)算大大簡化。但是每一新。3歡迎下載精品文檔加工點(diǎn)的偏差是由前一點(diǎn)偏差Fij 推算出來的，并且一直遞推下去，這樣就要知道開始

6、加工時(shí)那一點(diǎn)的偏差是多少。當(dāng)開始加工時(shí)， 我們是以人工方式將刀具移到加工起點(diǎn)，即所謂“對刀” ，這一點(diǎn)當(dāng)然沒有偏差，所以開始加工點(diǎn)的Fij =0。（4） 比較。在計(jì)算偏差的同時(shí)，還要進(jìn)行一次終點(diǎn)比較，以確定是否到達(dá)了終點(diǎn)。若已經(jīng)到達(dá)，就不再進(jìn)行運(yùn)算，并發(fā)出停機(jī)或轉(zhuǎn)換新程序段的信號。下面以實(shí)例來驗(yàn)證圖 21。設(shè)欲加工直線 OA，其終點(diǎn)坐標(biāo)為 xe =5*, ye =3*，則終點(diǎn)判別值可取為 E8 =xe +ye =5+3=8（終點(diǎn)判別方法詳見下述） 。開始時(shí)偏差 F =0，加工過程的運(yùn)算節(jié)拍如表 2 1 所示。圖 2-2 逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)過程表 2-1 逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)運(yùn)算舉例。4歡迎下載精

7、品文檔工作序號節(jié)拍第1拍:判別第 2拍:進(jìn)給第 3拍:運(yùn)算第4拍:比較1F00=0+?xF10= F 00-y e=0-3= -3E7= E 8-1=72F (= -3)0+?xF = F11-y =2-3= -1E= E -1=51121e564F21(= -1) 0+?xF32= F 22-y e=4-3= 1E3= E 4-1=36F (= 1)0+?xF= F32-y =1-3= -2E= E -1=23242e237F42(= -2)0+?xF53= F 43-y e=3-3=0E0=E1-1=0到達(dá)終點(diǎn)二、 逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)加工一個(gè)圓弧，很容易聯(lián)想到把加工點(diǎn)到圓心的距離和該圓的名

8、義半徑相比較來反映加工偏差。 這里，我們以第象限逆圓弧為例導(dǎo)出其偏差計(jì)算公式。設(shè)要加工圖 23 所示第象限逆時(shí)針走向的圓弧，半徑為 R，以原點(diǎn)為圓心，起點(diǎn)坐標(biāo)為 A( x 0 ,y0 ) ，對于圓弧上任一加工點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為P( xi ,y j ) ，P 點(diǎn)與圓心的距離 RP 的平方為 RP2 =xi2 +y j2，現(xiàn)在討論這一加工點(diǎn)的加工偏差。YEP(x i ,y i )R pF 0OX圖2-2 圓弧差補(bǔ)過程圖 2-3 圓弧插補(bǔ)過程點(diǎn)擊進(jìn)入動畫觀看逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)若點(diǎn) P( xi ,y j ) 正好落在圓弧上，則下式成立：。5歡迎下載精品文檔xi 2 +y j 2 =x 0 2 +y 02 =

9、R 2若加工點(diǎn) P(xi ,y j) 在圓弧外側(cè)，則RP R，即：x i 2 +y j2 x 02 +y 02若加工點(diǎn) P(xi ,y j ) 在圓弧內(nèi)側(cè)，則 RP x 02 +y 02將上面各式分別改寫為下列形式：(x i2 -x02 )+(y j2 -y02 )=0 ( 加工點(diǎn)在圓弧上 )(x i2 -x02 )+(y j2 -y 02 )0 ( 加工點(diǎn)在圓弧外側(cè) )(x i2 -x 02 )+(y j2 -y 02 )0 (加工點(diǎn)在圓弧內(nèi)側(cè) )取加工偏差判別式為：Fij =(x i2 -x 02 )+(y j2 -y02 )運(yùn)用上述法則，利用偏差判別式，即獲得圖22 折線所示的近似圓弧。

10、若 P( xi ,y j ) 在圓弧外或圓弧上，即滿足Fij0 的條件時(shí)，應(yīng)向 x 軸發(fā)出一個(gè)負(fù)向運(yùn)動的進(jìn)給脈沖 ( x) ，即向圓內(nèi)走一步。 若 P(xi ,y j ) 在圓弧內(nèi)側(cè)， 即滿足 Fij 0 的條件，則向 y軸發(fā)出一個(gè)正向運(yùn)動的進(jìn)給脈沖(+ y) ，即向圓弧外走一步。為了簡化偏差判別式的運(yùn)算，仍用遞推法來推算下一步新的加工偏差。設(shè)加工點(diǎn) P( xi ,y j ) 在圓弧外側(cè)或圓弧上，則加工偏差為Fij =(x i 2 -x 02 )+(y j 2 -y 02 )0x 坐標(biāo)需向負(fù)方向進(jìn)給一步 ( x) ，移到新的加工點(diǎn) P( xi+1 ,yj ) 位置，此時(shí)新加工點(diǎn)的 x 坐標(biāo)值為

11、 xi -1，y 坐標(biāo)值仍為 yi ，新加工點(diǎn) P( xi+1 ,y j ) 的加工偏差為：Fi+1,j =(x i 2 -1)2 -x 02 +y j2 -y0 2經(jīng)展開并整理，得：。6歡迎下載精品文檔Fi+1,j =Fij2xi1(2-3)設(shè)加工點(diǎn) P( xi ,y j ) 在圓弧的內(nèi)側(cè)，則：Fij 0那么，y 坐標(biāo)需向正方向進(jìn)給一步 (+y) ，移到新加工點(diǎn) P( xi ,y j+1 ) ，此時(shí)新加工點(diǎn)的 x 坐標(biāo)值仍為 x i ，y 坐標(biāo)值則改為 y j 1，新加工點(diǎn) P(xi ,y j+1) 的加工偏差為 :Fi,j+1 =x i2 -x 02 +(y j +1)2y02，展開上式，

12、并整理得 :Fi,j+1 =Fij2 yi 1綜上所述可知：當(dāng) Fij 0時(shí)，應(yīng)走 x，新偏差為 Fi+1,j =Fij2xi1，動點(diǎn) ( 加工點(diǎn) ) 坐標(biāo)為 xi+1 =xi -1， yjyj ；當(dāng) Fij 0 時(shí)，應(yīng)走 +y ，新偏差為F=F 2 yi1，動點(diǎn)坐標(biāo)為yjyj , yi+1 =yi +1。i,j+1ij下面舉例說明插補(bǔ)過程。設(shè)欲加工第象限逆時(shí)針走向的圓弧(見圖 2 4) ，起點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 x 0 =4,y0 =3，終點(diǎn) E 的坐標(biāo)是 x e =0,ye =5 ，終點(diǎn)判別值：E=（x 0 -xe）+（ ye -y0）（40）（53）=6YE(0,5)A(4,3)OX圖2-3

13、 圓弧實(shí)際軌跡圖 2-4 圓弧實(shí)際軌跡。7歡迎下載精品文檔圖 2-5逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)過程加工過程的運(yùn)算節(jié)拍見表2 3，插補(bǔ)后獲得的實(shí)際軌跡如圖23 折線所示?？梢?，圓弧插補(bǔ)偏差計(jì)算的遞推公式也是比較簡單的。但計(jì)算偏差的同時(shí)，還要對動點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加1、減 1 運(yùn)算，為下一點(diǎn)的偏差計(jì)算做好準(zhǔn)備。和直線插補(bǔ)一樣，除偏差計(jì)算外，還要進(jìn)行終點(diǎn)判別計(jì)算。每走一步，都要。8歡迎下載精品文檔序號工作節(jié)拍第 1 拍：判別第 2 拍：進(jìn)給第 3 拍：運(yùn)算第 4 拍：比較1F=0- xF=0-2*4+1=7E=6-1=5( 0)2F(=-7)0+yF=-7+2*3+1=0E=5-1=4( 0)x=3,y=3+1=

14、43F=0- xF=0-2*3+1=-5E=4-1=3( 0)x=3-1=2,y=44F(=-5)0- xF=4-2*2+1=1E=2-1=1 0)x=2-1=1,y=56F(=1)0- xF=1-2*1+1=0E=1-1=0(終止 )x=1-1=0,y=5從兩坐標(biāo)方向總步數(shù)中減去1，直至總步數(shù)被減為零 ( 發(fā)終點(diǎn)到達(dá)信號 ) 時(shí)為止，才終止計(jì)算。表 2-3逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)運(yùn)算舉例逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)第象限直線和第象限逆圓弧的計(jì)算流程圖分別見圖24和圖 25。9歡迎下載精品文檔。10歡迎下載精品文檔圖 2-4直線插補(bǔ)計(jì)算流程圖圖 2-5圓弧插補(bǔ)計(jì)算流程圖三、 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和終點(diǎn)判別問題1象限與坐標(biāo)變換

15、前面所討論的用逐點(diǎn)比較法進(jìn)行直線及圓弧插補(bǔ)的原理和計(jì)算公式， 只適用于第象限直線和第象限逆時(shí)針圓弧那種特定的情況。 對于不同象限的直線和不同象限、不同走向的圓弧來說，其插補(bǔ)計(jì)算公式和脈沖進(jìn)給方向都是不同的。為了將各象限直線的插補(bǔ)公式統(tǒng)一于第象限的公式， 將不同象限、 不同走向的 8 種圓弧的插補(bǔ)公式統(tǒng)一于第象限逆圓的計(jì)算公式， 就需要將坐標(biāo)和進(jìn)給方向根據(jù)象限等的不同而進(jìn)行變換， 這樣，不管哪個(gè)象限的圓弧和直線都按第象限逆圓和直線進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算。 而進(jìn)給脈沖的方向則按實(shí)際象限和線型來決定， 采用邏輯電路或程序?qū)⑦M(jìn)給脈沖分別發(fā)到 +X,-X,+Y,-Y 四個(gè)通道上去， 以控制機(jī)床工作臺沿 X 和 Y

16、 向的運(yùn)動。11歡迎下載精品文檔我們用 SR1，SR2，SR3，SR4分別表示第，象限的順時(shí)針圓弧，用 NR1，NR2， NR3，NR4分別表示第，象限的逆時(shí)針圓弧，如圖2 6（ a）所示；用 L1， L2，L3，L4 分別表示第，象限的直線，如圖 26（b）所示。由圖26 可以看出：按第象限逆時(shí)針走向圓弧NR1線型插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，如將x 軸的進(jìn)給反向，即走出第象限順時(shí)針走向圓弧SR2；將 y軸的進(jìn)給反向 , 即走出 SR4；將 x 和 y 軸兩者進(jìn)給都反向， 即走出 NR3。此時(shí) NR1，NR3， SR2，SR4四種線型都取相同的偏差運(yùn)算公式，無須改變。y(Y)y(Y)NR2SR1yyL2yL1

17、xxxxSR2 xNR1yxxOxx(X)xOx(X)NR3SR4yyxxyyxL4yyL3SR3NR4(a)(b)圖 2-6 直線和圓弧不同象限的走向還可以看出，按 NR1線型插補(bǔ)時(shí)，把運(yùn)算公式的坐標(biāo)x 和 y 對調(diào)，以 x 作 y，圖2-6 直線和圓弧不同象限的走向以 y 作 x，那么就得到 SR1的走向。按上述原理，應(yīng)用 SR1同一運(yùn)算公式，適當(dāng)改變進(jìn)給方向也可獲得其余線型 SR3，NR2， NR4的走向。這就是說，若針對不同象限建立類似于第象限的坐標(biāo)， 就可得到與第象限直線和第象限逆圓的類似情況， 從而可以用統(tǒng)一公式作插補(bǔ)計(jì)算， 然后根據(jù)象限的不同發(fā)出不同方向的脈沖。圖 2 6（ a）

18、、（b）分別為 8 種圓弧和 4 種直線的坐標(biāo)建立情況，據(jù)此可以得到表 2 3 的進(jìn)給脈沖分配類型。表 2-3 x, y 脈沖分配的12 種類型圖形脈沖象限G03x-X-Y+X+X。12歡迎下載精品文檔y+Y+X-Y+Yx-Y+X+Y-XG02+X+Y-X-Yyx+X+Y-X-YG01+Y-X-Y+Xy從表 23 可以看出，對于直線（ G01）來說，按照第象限直線偏差計(jì)算公式得到的 x 和 y 脈沖，根據(jù)不同的象限，分配到機(jī)床不同坐標(biāo)（ X，Y）的正負(fù)方向上。即若是第象限直線，則x 應(yīng)發(fā)往 +Y坐標(biāo)；若是第象限直線，則x 應(yīng)發(fā)往X 坐標(biāo)，等等。由此表可以得到發(fā)往X, Y 坐標(biāo)方向的脈沖分配邏輯

19、式為+X=G02 y +G01 x +G02 x +G03 x +G03 y +G01 yX=G03x +G03 y +G01y+G02y+G01 x +G02 x+Y=G03y+G01y+G02y +G01 x +G02 x +G03 xY=G02 x+G03 x +G03 y +G01 y +G02 y +G01 x2逐點(diǎn)比較法的終點(diǎn)判別逐點(diǎn)比較法的終點(diǎn)判別方法大致有下列幾種：（1） 設(shè)置一個(gè)終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器 JE，插補(bǔ)運(yùn)算開始前記入該程序 x 及 y 坐標(biāo)的加工總長（即 x 和 y 的位移總步數(shù)），在插補(bǔ)過程中， x 或 y 向每走一步，就從總步數(shù)中減去 1，直至 JE 中存數(shù)被減為零，表

20、示到達(dá)終點(diǎn)。這種方法，前例已作介紹。（2） 設(shè)置兩個(gè)計(jì)數(shù)器 JEX及 JEY，分別控制兩個(gè)坐標(biāo)軸的加工長度。若沿 x 軸移動一步，從 JEX 中減 1；同樣，若沿 y 軸移動一步，從 JEY 中減 1。當(dāng) JEX及 JEY 中存數(shù)均被減為零時(shí)，表示到達(dá)終點(diǎn)。（3）設(shè)置一個(gè)終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器JE，插補(bǔ)運(yùn)算開始前記入該程序x 坐標(biāo)軸（或。13歡迎下載精品文檔y 軸）上的投影加工總長度Ex（或 Ey）應(yīng)選取 Ex 和 Ey 中較大的坐標(biāo)值作為終點(diǎn)判別坐標(biāo)。在插補(bǔ)過程中，若JE 中寄存的是Ex，則每當(dāng)沿x 軸走一步，即從JE存數(shù)中減去 1（若 JE 中寄存 Ey ，則每當(dāng)沿 y 軸走一步，即從JE 中減去

21、 1），直至 JE 存數(shù)被減為零，表示到達(dá)終點(diǎn)。逐點(diǎn)比較法除能插補(bǔ)直線和圓弧之外，還能插補(bǔ)橢圓、 拋物線和雙曲線等二次曲線。此法進(jìn)給速度平穩(wěn)，精度較高，無論是在普通NC系統(tǒng)還是在 CNC系統(tǒng)中都有著非常廣泛的應(yīng)用。下面就來分析逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)時(shí)的進(jìn)給速度問題。四、逐點(diǎn)比較法的合成進(jìn)給速度從前面的討論知道， 插補(bǔ)器向各個(gè)坐標(biāo)分配進(jìn)給脈沖，這些脈沖造成坐標(biāo)的移動。因此，對于某一坐標(biāo)而言，進(jìn)給脈沖的頻率就決定了進(jìn)給速度。以x 坐標(biāo)為例，設(shè) fx 為以“脈沖 /s ”表示的脈沖頻率， vx 為以“ mm/min”表示的進(jìn)給速度，它們有如下的比例關(guān)系：vx60 fx式中為脈沖當(dāng)量，以“mm/脈沖”表示。各

22、個(gè)坐標(biāo)進(jìn)給速度的合成線速度稱為合成進(jìn)給速度或插補(bǔ)速度。對三坐標(biāo)系統(tǒng)來說，合成進(jìn)給速度v 為v vx 2 vy2 vz 2式中 vx，vy， vz 分別為x， y ， z 三個(gè)方向的進(jìn)給速度。合成進(jìn)給速度直接決定了加工時(shí)的粗糙度和精度。我們希望在插補(bǔ)過程中，合成進(jìn)給速度恒等于指令進(jìn)給速度或只在允許的范圍內(nèi)變化。但是實(shí)際上，合成進(jìn)給速度 v 與插補(bǔ)計(jì)算方法、 脈沖源頻率及程序段的形式和尺寸都有關(guān)系。也就是說，不同的脈沖分配方式，指令進(jìn)給速度F 和合成進(jìn)給速度v之間的換算關(guān)系各不相同?，F(xiàn)在，我們來計(jì)算逐點(diǎn)比較法的合成進(jìn)給速度。我們知道，逐點(diǎn)比較法的特點(diǎn)是脈沖源每產(chǎn)生一個(gè)脈沖，不是發(fā)向x 軸（ x ）

23、，就是發(fā)向 y 軸（ y ）。令 f g 為脈沖源頻率，單位為“個(gè)脈沖 /s ”，則有fgf xf y。14歡迎下載精品文檔從而 x 和 y 方向的進(jìn)給速度 vx 和 vy （單位為 mm/min）分別為v 60 fxvy 60 f yx合成進(jìn)給速度 v 為vvx 2vy 260fx 2f y 2當(dāng)f x 0（或 f y 0 ）時(shí)，也就是進(jìn)給脈沖按平行于坐標(biāo)軸的方向分配時(shí)有最大速度，這個(gè)速度由脈沖源頻率決定，所以稱其為脈沖源速度vg （實(shí)質(zhì)是指循環(huán)節(jié)拍的頻率，單位為mm/min）。vg60fg合成進(jìn)給速度 v 與 vg 之比為vf x2f y 2x2y2vgfgxy其插補(bǔ)速度 v 的變化范圍為

24、 v1 : 0.707vg ，最大速度與最小速度之比為vmaxkv1.414vmin這樣的速度變化范圍， 對一般機(jī)床來說已可滿足要求， 所以逐點(diǎn)比較法的進(jìn)給速度是較平穩(wěn)的。2 3數(shù)字積分法一、 DDA的基本原理由高等數(shù)學(xué)可知，求函數(shù)yft 對 t 的積分運(yùn)算，從幾何概念上講，就是求此函數(shù)曲線所包圍的面積 F （圖 27），即bn 1Fydtlim y ti 1 tiani 0。15歡迎下載精品文檔Yy=f(t)yii+1Y it=t i+1 -t iOt0=at iti+1ttn=b圖2-7 函數(shù)的積分若把自變量的積分區(qū)間 a , b 等分成許多有限的小區(qū)間t （其中Vtti 1 ti ），這

25、樣，求面積可以轉(zhuǎn)化成求有限個(gè)小區(qū)間面積之和，即n 1n 1FVVFiyi ti 0i 0數(shù)字運(yùn)算時(shí)，t 一般取最小單位“ 1”，即一個(gè)脈沖當(dāng)量，則n 1Fyii 0由此可見，函數(shù)的積分運(yùn)算變成了變量的求和運(yùn)算。當(dāng)所選取的積分間隔t足夠小時(shí)，則用求和運(yùn)算代替求積運(yùn)算所引起的誤差可以不超過允許的值。二、DDA直線插補(bǔ)設(shè)我們要對 xy 平面上的直線進(jìn)行脈沖分配，直線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O ，終點(diǎn)為E xe，ye ，如圖 2-8 所示。YE(x e ,y e )vyvvxOX圖2-8 合成速度與分速度的關(guān)系圖 2-8合成速度與分速度的關(guān)系。16歡迎下載精品文檔假定 vx 和 vy 分別表示動點(diǎn)在 x 和 y

26、 方向的移動速度， 則在 x 和 y 方向上的移動距離微小增量 x 和 y 應(yīng)為Vx vx VtVy vy Vt（25）對直線函數(shù)來說，vx 和 vy 是常數(shù)，則下式成立：vxvyKxeye（26）式中 K 為比例系數(shù)。在 t 時(shí)間內(nèi)， x 和 y 位移增量的參數(shù)方程為Vxvx Ve VtKx tVyvy VtKye Vt（27）動點(diǎn)從原點(diǎn)走向終點(diǎn)的過程， 可以看作是各坐標(biāo)每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間間隔t 分別以增量 Kxe 和 Kye 同時(shí)累加的結(jié)果。經(jīng)過 m次累加后， x 和 y 分別都到達(dá)終點(diǎn) E xe，ye ，即下式成立：mxKxe VtmKxexei1myKye VtmKyeyei 1（ 2

27、 8）則mK1m1或 9）K（2。17歡迎下載精品文檔上式表明，比例系數(shù)K 和累加次數(shù)m的關(guān)系是互為倒數(shù)。因?yàn)閙必須是整數(shù)，所以K 一定是小數(shù)。在選取 K 時(shí)主要考慮每次增量x 或y 不大于，1以保證坐標(biāo)軸上每次分配進(jìn)給脈沖不超過一個(gè)單位步距，即x = Kxe 1y = Kye 1式中 xe 和 ye 的最大容許值受控制機(jī)的位數(shù)及用幾個(gè)字節(jié)存儲坐標(biāo)值所限制。如用 TP801（Z80）單板機(jī)作控制機(jī)，用兩個(gè)字節(jié)存儲坐標(biāo)值，因該單板機(jī)為 8 位機(jī)，故 xe 和 ye 的最大容許寄存容量為 216-1=65 535 。為滿足 Kxe 1 及 Kye 1 的條件，即Kxe = K （2-1 ）116K

28、ye = K （216-1 ）1K1則2161K1VxKxe21611，即滿足 Kxe 1 的條件。216216如果取，則這時(shí)累加次數(shù)為1216mK次一般情況下，若假定寄存器是n 位，則 xe 和 ye 的最大允許寄存容量應(yīng)為2n-1 （各位全 1 時(shí)），若取1K2n則Kxe1(2 n1)2n12n2nKye1(2 n1)2n12n2n18。歡迎下載精品文檔顯然，由上式?jīng)Q定的Kxe 和 Kye 是小于1 的，這樣，不僅決定了系數(shù)K (K1n )x 和y 小于 1 的條件。因此，刀具從原點(diǎn)到達(dá)終2，而且保證了點(diǎn)的累加次數(shù) m就有m12nKK1Kxe 與 xe 的差別只在于小數(shù)點(diǎn)的位置不當(dāng)2n 時(shí)

29、，對二進(jìn)制數(shù)來說，同，將xe 的小數(shù)點(diǎn)左移 n 位即為 Kxe 。因此在 n 位的內(nèi)存中存放 xe（ xe 為整數(shù)）和存放Kxe 的數(shù)字是相同的，只是認(rèn)為后者的小數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)在最高位數(shù)n 的前面。當(dāng)用軟件來實(shí)現(xiàn)數(shù)字積分法直線插補(bǔ)時(shí)，只要在內(nèi)存中設(shè)定幾個(gè)單元， 分別用于存放 xe 及其累加值xe 和 ye 及其累加值ye 。將xe 和ye 賦一初始值，在每次插補(bǔ)循環(huán)過程中，進(jìn)行以下求和運(yùn)算：xe+xxee ye + ye ye將運(yùn)算結(jié)果的溢出脈沖x 和y 用來控制機(jī)床進(jìn)給，就可走出所需的直線軌跡。綜上所述，可以得到下述結(jié)論：數(shù)字積分法插補(bǔ)器的關(guān)鍵部件是累加器和被積函數(shù)寄存器， 每一個(gè)坐標(biāo)方向就需要一

30、個(gè)累加器和一個(gè)被積函數(shù)寄存器。 一般情況下， 插補(bǔ)開始前， 累加器清零，被積函數(shù)寄存器分別寄存xe 和ye ；插補(bǔ)開始后，每來一個(gè)累加脈沖t ，被積函數(shù)寄存器里的內(nèi)容在相應(yīng)的累加器中相加一次， 相加后的溢出作為驅(qū)動相應(yīng)坐標(biāo)軸的進(jìn)給脈沖 x （或 y ），而余數(shù)仍寄存在累加器中；當(dāng)脈沖源發(fā)出的累加脈沖數(shù) m 恰好等于被積函數(shù)寄存器的容量 2n 時(shí)，溢出的脈沖數(shù)等于以脈沖當(dāng)量為最小單位的終點(diǎn)坐標(biāo)，刀具運(yùn)行到終點(diǎn)。19歡迎下載精品文檔數(shù)字積分法插補(bǔ)第象限直線的程序流程圖如圖2-11 所示。置初值 xe，ye，累加次數(shù) m； xe， ye清零 xe xe+xe ye ye+yeYX 有溢出嗎 ?Ny有

31、溢出嗎 ?N累加次數(shù) m減1+x向走一步Y(jié)+x 向走一步N到終點(diǎn)嗎 ?Y結(jié)束圖 2-11 DDA 直線插補(bǔ)流程圖下面舉例說明 DDA直線插補(bǔ)過程。設(shè)要插補(bǔ)圖212 所示的直線軌跡OA，起點(diǎn)坐標(biāo)為 O （ 0， 0），終點(diǎn)坐標(biāo)為 A （ 7， 10）。若被積函數(shù)寄存器 Jvx 和 Jvy ，余數(shù)寄存器 J Rx 和 JRy，以及終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器 JE 均為四位二進(jìn)制寄存器， 則迭代次4ERxRyvxvy分別存放xe=7數(shù)為 m=2=16次時(shí)插補(bǔ)完成。在插補(bǔ)前，J ，J ，J均為零，J和 J（即二進(jìn)制的0111）， ye =10（即二進(jìn)制的1010）。在直線插補(bǔ)過程中 Jvx 和Jvy 中的數(shù)值始終

32、為 xe 和 ye 保持不變。本例的具體軌跡如圖 2-12 中的折線所示，由此可見，經(jīng)過 16 次迭代之后， x 和 y 坐標(biāo)分別有 7 個(gè)和 10 個(gè)脈沖輸出。直線插補(bǔ)軌跡與理論曲線的最大誤差不超過 1 個(gè)脈沖當(dāng)量。20歡迎下載精品文檔Y108642實(shí)際插補(bǔ)A(7,10)軌跡理論直線O246810X圖2-12 DDA直線差補(bǔ)軌跡圖 2-13DDA 直線插補(bǔ)過程。21歡迎下載精品文檔三、 DDA圓弧插補(bǔ)以第象限逆圓為例，設(shè)刀具沿圓弧移動，半徑為 R，刀具的切向速度為 v , P x, y 為動點(diǎn)（如圖 213），vYBv yv xRP(x,y)AOX圖2-13 DDA圓弧差補(bǔ)圖 2-13 DD

33、A 圓弧插補(bǔ)則有下述關(guān)系：vvxvyRyKx式中 K 為比例常數(shù)。因?yàn)榘霃絉 為常數(shù)，切向速度 v為勻速，所以 K 可認(rèn)為是常數(shù)。在單位時(shí)間增量t 內(nèi)， x 和 y 位移增量的參量方程可表示為Vx vx Vt KyVt（210）Vy vy Vt KxVt（ 211）點(diǎn)擊進(jìn)入動畫觀看 DDA圓弧插補(bǔ)根據(jù)此兩式，仿照直線插補(bǔ)方案用兩個(gè)積分器來實(shí)現(xiàn)圓弧插補(bǔ)，如圖214（ a）所示。圖中系數(shù)K 的省略原因和直線時(shí)類同。但必須指出：第一，坐標(biāo)值x和 y存入寄存器 Jvx 和 Jvy 的對應(yīng)關(guān)系與直線不同，恰好位置互調(diào)，即y 存入Jvx ，而 x 存入 Jvy 中。第二， Jvx 和 Jvy 寄存器中寄存

34、的數(shù)值與直線插補(bǔ)時(shí)還有一個(gè)。22歡迎下載精品文檔本質(zhì)的區(qū)別：直線插補(bǔ)時(shí)Jvx（或 Jvy ）寄存的是終點(diǎn)坐標(biāo)xe （或 ye ），是個(gè)常數(shù)；而在圓弧插補(bǔ)時(shí)寄存的是動點(diǎn)坐標(biāo)，是個(gè)變量。因此在刀具移動過程中必須根據(jù)刀具位置的變化來更改速度寄存器Jvx 和 Jvy 中的內(nèi)容。在起點(diǎn)時(shí)， Jvx 和 Jvy 分別寄存起點(diǎn)坐標(biāo)值y0 和 x0；在插補(bǔ)過程中， JRy 每溢出一個(gè)y 脈沖， Jvx 寄存器應(yīng)該加“ 1”；反之，當(dāng) JRx 溢出一個(gè)x 脈沖時(shí)， Jvy 應(yīng)該減“ 1”。減“1”的原因是刀具在作逆圓運(yùn)動時(shí)x 坐標(biāo)須作負(fù)方向進(jìn)給，動坐標(biāo)不斷減少。圖 214 中用及 ? 表示修改動點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)這種加“

35、 1”或減“ 1”的關(guān)系。圖 214（ b）為第象限逆時(shí)針走向的圓弧插補(bǔ)的數(shù)字積分器符號表示圖。圖 214DDA圓弧插補(bǔ)運(yùn)算框圖及符號圖對于順圓、逆圓及其他象限的插補(bǔ)運(yùn)算過程和積分器結(jié)構(gòu)基本上與第象限逆圓是一致的。其不同在于，控制各坐標(biāo)軸的x 和y 的進(jìn)給方向不同，以及修改 Jvx 和 Jvy 內(nèi)容時(shí)是還是 ? ，要由 y 和 x 坐標(biāo)的增減而定，見表25。表 2-5 DDA 圓弧插補(bǔ)時(shí)的坐標(biāo)修改情況SRSRSRSRNRNRNRNR12341234Jvx （y） 一 +一+ 一+ 一Jvy （x） +一+一 一 一+ +?x+-+?y-+-+-+DDA圓弧插補(bǔ)的終點(diǎn)判別可以利用兩個(gè)終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)

36、器，把x 和 y 坐標(biāo)所。23歡迎下載精品文檔需輸出的脈沖數(shù) | xex0 | 和| ye y0 | 分別存入這兩個(gè)計(jì)數(shù)器中， x 或 y 積分器每輸出一個(gè)脈沖，相應(yīng)的減法計(jì)數(shù)器減1，當(dāng)某一坐標(biāo)計(jì)數(shù)器為零時(shí)，說明該坐標(biāo)已到達(dá)終點(diǎn)，這時(shí)，該坐標(biāo)停止迭代。當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)器均為零時(shí)，圓弧插補(bǔ)結(jié)束。下面舉一個(gè)DDA圓弧插補(bǔ)的具體例子。設(shè)有一個(gè)圓弧，起點(diǎn)為A （ 5,0 ），終點(diǎn)為 B （0，5），即y05xe0y00和ye5見圖 215。圖 2-15 DDA 圓弧插補(bǔ)軌跡。24歡迎下載精品文檔圖 2-16 DDA 圓弧插補(bǔ)過程四、 改進(jìn) DDA插補(bǔ)質(zhì)量的措施使用 DDA法插補(bǔ)時(shí)，其插補(bǔ)進(jìn)給速度v不僅與系統(tǒng)

37、的迭代頻率f g （即脈沖源頻率）成正比，而且還與余數(shù)寄存器的容量N 成反比，與直線段的長度 L（或圓弧半徑 R）成正比。它們之間有下述關(guān)系成立：1v60N f g（ 2-12 ）式中 v 插補(bǔ)進(jìn)給速度；系統(tǒng)脈沖當(dāng)量；L 直線段的長度；N寄存器的容量；fg 迭代頻率。25歡迎下載精品文檔顯然，即使編制同樣大小的速度指令，但針對不同長度的直線段， 其進(jìn)給速度是變化的（假設(shè) fg 和 N 為固定），必須設(shè)法加以改善。常用的改善方法是左移規(guī)格化和進(jìn)給速率編程（ FRN）。由上面 DDA圓弧插補(bǔ)例子可以看出，當(dāng)插補(bǔ)第象限逆圓時(shí)， y 坐標(biāo)率先到達(dá)。這時(shí)若不強(qiáng)制 y 方向停止迭代，將會出現(xiàn)超差，不能到達(dá)正確的終點(diǎn)。為了改善這一情況，常用余數(shù)寄存器預(yù)置數(shù)的辦法來解決。以下就來討論使 DDA法從原理走向?qū)嵱帽仨毥鉀Q的速度和精度控制問題。1進(jìn)給速度的均勻化措施左移規(guī)格化從上述可知，數(shù)字積分器溢出脈沖的頻率與被積函數(shù)寄存器中的存數(shù)成正比。如用 DDA作直線插補(bǔ)時(shí)， 每個(gè)程序段的時(shí)間間隔是固定不變的， 因?yàn)椴徽摷庸ば谐涕L短，都必須同樣完成 m 2n 次的累加運(yùn)算。就是說行程長，走刀快；行程短，走刀慢。所以各程序段的進(jìn)給速度是不一致的。 這樣影響了加工的表面質(zhì)量，特別