如何處理棘手的非線性問題

1、.如何處理棘手的非線性問題最近，我的工程師團(tuán)隊(duì)遭遇到了一個(gè)真正棘手的的問題。這是那種正在變得越來越典型的問題，它真真切切地反映出現(xiàn)今來自于實(shí)際問題的挑戰(zhàn)和復(fù)雜性。為了設(shè)計(jì)出了一種可膨脹的防泄漏系統(tǒng)，我們需要采用某種非紡織聚合材料作為氣囊結(jié)構(gòu)，這種氣囊材料像紙一樣具有高度的柔韌性，但在特殊的應(yīng)用中，它會(huì)更堅(jiān)韌，并且具有更多的功能。我們的任務(wù)在于：對于某個(gè)給定的氣囊尺寸，挑選出最優(yōu)秀地非紡織聚合材料，保證防泄漏系統(tǒng)可以承受14 psi的內(nèi)壓而不破裂。盡管我們解決過一些其他的高度非線性問題，例如，減少復(fù)印機(jī)中紙張阻塞的問題，改進(jìn)手機(jī)在嚴(yán)重沖擊情況下（如跌落）的堅(jiān)固性問題，以及分析可以承受100 mp

2、h風(fēng)暴襲擊的房屋狀況，氣囊是個(gè)棘手的非線性問題。第一步：搞明白我們到底知道什么 首先，我們從已知的事情開始。我們知道氣囊結(jié)構(gòu)在未膨脹之前的尺寸，我們有若干種候選材料的數(shù)據(jù)，包括薄片厚度，以及標(biāo)準(zhǔn)失效實(shí)驗(yàn)的單向應(yīng)力應(yīng)變曲線。通過一些測試，我們觀察到，這些氣囊結(jié)構(gòu)會(huì)顯著地伸長，當(dāng)壓力接近破裂值時(shí)，氣囊結(jié)構(gòu)大約伸長了20。這個(gè)結(jié)果是令人迷惑的，因?yàn)楦鶕?jù)單方向測試獲得的極限失效數(shù)據(jù)顯示，我們本應(yīng)該觀察到相對較低的破裂應(yīng)力。此外，我們發(fā)現(xiàn)對于這種材料，得到的Mullen破裂壓力（片狀結(jié)構(gòu)失效行為TAPPI工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)）顯示出大約100的可變性，然而，當(dāng)實(shí)際氣囊充氣達(dá)到破裂的時(shí)候，我們觀察到的可變性要低很多。

3、結(jié)論是，經(jīng)典壓力容器計(jì)算方程對于這種氣囊結(jié)構(gòu)的分析是過于簡單了它低估了應(yīng)力和應(yīng)變的作用，誤差甚至達(dá)到300的程度！第二步：判斷建模是否會(huì)起作用使用吸管向一個(gè)樣本氣囊結(jié)構(gòu)內(nèi)吹氣，這就可以實(shí)際觀察到我們所要面對的挑戰(zhàn)，包括褶皺在內(nèi)的膨脹后復(fù)雜的形狀表明。我們成功分析的最佳方法是采用顯式動(dòng)態(tài)方法（Explicit Dynamics）。這是一種特殊的非線性有限元分析方法，汽車設(shè)計(jì)工程師們常用這種方法對汽車碰撞過程中安全氣囊的展開過程進(jìn)行模擬分析。首先：判斷我們是否可以作出一個(gè)有限元模型，這個(gè)模型可以模擬類似吸管實(shí)驗(yàn)中的氣囊結(jié)構(gòu)的膨脹過程。根據(jù)單向材料數(shù)據(jù)，我們建立了一個(gè)未充氣的氣囊結(jié)構(gòu)的ABAQUS/

4、Explicit FEA模型，然后分析當(dāng)其內(nèi)壓達(dá)到1 psi的情況（1 psi是我們估計(jì)我們可以加于測試氣囊內(nèi)的壓強(qiáng)）。FEA模型的膨脹與真實(shí)氣囊的膨脹非常相像，甚至模擬了包括所有的復(fù)雜褶皺和凸出部位在內(nèi)的情況。這個(gè)初步的努力花費(fèi)了好幾天時(shí)間，“是的，這的確可以建模?！蹦軌蚪幔吭诠ぷ鏖g內(nèi)，我們用吸管向一個(gè)樣本氣囊結(jié)構(gòu)內(nèi)充氣，令其膨脹，與最初有限元分析預(yù)計(jì)相比，這些模型清楚的表明，動(dòng)態(tài)有限元分析可以預(yù)計(jì)氣囊結(jié)構(gòu)的膨脹過程，甚至包括復(fù)雜的起皺現(xiàn)象。第三步： 描述材料特征我們需要說明與材料行為有關(guān)的兩個(gè)令人迷惑的矛盾：1. 軸向拉伸測試中的失效應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于在氣囊破裂測試中的失效應(yīng)力。 2. 對比

5、在實(shí)際氣囊破裂測試中觀察到的情況，Mullen破裂數(shù)據(jù)顯示，在氣囊破裂測試方面，材料表現(xiàn)出更大的可變性。 非紡織材料的表面的是無規(guī)律的，導(dǎo)致材料具有薄弱點(diǎn)和堅(jiān)固點(diǎn)。在單向測試中，就像眾所周知的鏈條上的脆弱環(huán)節(jié)一樣，一個(gè)長而細(xì)的測試棒總在其薄弱點(diǎn)發(fā)生破壞。然而，在膨脹時(shí)，片狀結(jié)構(gòu)加載的二維特性允許在片狀結(jié)構(gòu)表面存在多種加載路徑，這使片狀結(jié)構(gòu)不像“最脆弱環(huán)節(jié)問題”那樣易于破壞。在氣囊形式中，材料的薄弱區(qū)域會(huì)獲得來自臨近堅(jiān)固區(qū)域的支持。這可以解釋為什么在氣囊膨脹時(shí)，單向失效應(yīng)變數(shù)據(jù)往往低于材料的實(shí)際失效應(yīng)變極限。我們根據(jù)Mullen測試數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了一個(gè)直徑一英寸的測試樣本，對于我們的材料而言，這大致相

6、當(dāng)于表面情況變化（薄弱點(diǎn)或堅(jiān)固點(diǎn)）的尺寸。所以，在Mullen破裂實(shí)驗(yàn)中，我們能夠很容易地獲得完全是薄弱區(qū)或完全是堅(jiān)固區(qū)的樣本，這樣可以得到觀察時(shí)劇烈變化時(shí)的Mullen破裂值。然而，當(dāng)我們采用典型的氣囊時(shí)，例如1010英寸，氣囊已經(jīng)足夠大，使它上邊地堅(jiān)固區(qū)域能夠分擔(dān)薄弱區(qū)域的載荷，從而顯著的降低了所觀測到的破裂情況的變化過程。這些觀察導(dǎo)致我們采用我們自己的“起泡檢測器” 一個(gè)大尺寸版本的Mullen監(jiān)測器來獲取破裂數(shù)據(jù)。起泡檢測器的直徑設(shè)置為六英寸，可在氣囊材料中產(chǎn)生足夠的“周邊支持”，并使材料的尺寸處于有實(shí)用性的氣囊尺寸范圍以內(nèi)。不幸的是，無論是對于起泡檢測還是Mullen檢測，直接得到材

7、料的極限應(yīng)力都是不可能的。這些檢測僅僅能記錄測試樣本的應(yīng)變，以及所加的壓力。改進(jìn)材料的失效特性起泡檢測數(shù)據(jù)與非線性FEA模型相結(jié)合，用于對材料最終應(yīng)力極限和統(tǒng)計(jì)偏差進(jìn)行評估。在起泡檢測中，針對某一材料要進(jìn)行無數(shù)次的樣本測試試驗(yàn)，記錄每一個(gè)樣本的實(shí)際破裂壓力。通過計(jì)算起泡檢測的非線性FEA模型，獲得實(shí)際起泡檢測壓力與材料應(yīng)力的關(guān)系。這種離散的FEA數(shù)據(jù)輸入到Mathcad軟件中，采用樣條插值和曲線擬合的計(jì)算方法，擬合出膨脹壓力對材料應(yīng)力的非線性傳遞函數(shù)。最后，通過非線性傳遞函數(shù)，將實(shí)物起泡檢測中所有的破裂壓力值都轉(zhuǎn)換為極限材料應(yīng)力值（每個(gè)樣本有一個(gè)極限應(yīng)力值）。在文中所述的例子中，為了評估極限應(yīng)

8、力的偏差，我們測試了12個(gè)樣本，并算出了12個(gè)極限應(yīng)力值。在Mullen破裂測試和我們的起泡檢測中，我們夾緊扁平的圓片的圓周，并加壓充氣至鼓泡的形狀。這種變形的特點(diǎn)在于，對于任何一個(gè)給定的氣壓，應(yīng)變以及應(yīng)力在鼓泡的表面不同區(qū)域是不同的，這與理想的單向拉伸測試或理想的球面膨脹測試不同，因?yàn)檫@兩種理想測試在給定負(fù)載下具有均布的應(yīng)力狀態(tài)。對于均勻材料，鼓泡的最大應(yīng)變出現(xiàn)在鼓泡上表面的中心點(diǎn)。對于非紡織品這樣的表面不均勻材料，最大應(yīng)變點(diǎn)出現(xiàn)在鼓泡上表面中心點(diǎn)的附近。通過將單向拉伸數(shù)據(jù)以及起泡檢測數(shù)據(jù)一起分析，并結(jié)合針對起泡檢測的非線性FEA模型，我們能夠得出一個(gè)實(shí)用的方法，模擬材料行為的統(tǒng)計(jì)偏差。我們

9、使用單向拉伸數(shù)據(jù)得到非線性應(yīng)力/應(yīng)變曲線的形狀，采用起泡檢測的破裂測試結(jié)果獲得材料的失效應(yīng)變以及應(yīng)力的極限值。由于在起泡檢測中觀察到的失效極限高于單向拉伸數(shù)據(jù)，我們簡單的利用二階曲線擬合，外推了單向拉伸數(shù)據(jù)。之后用實(shí)際起泡測試的非線性FEA模型驗(yàn)證這一擬合。我們通過以下方法描述某個(gè)給定材料的特性：采用經(jīng)過外推的單向材料數(shù)據(jù)，運(yùn)用起泡膨脹測試單一的非線性FEA模型，設(shè)置模型使其不至于失效。這樣可以得到起泡膨脹壓力和預(yù)計(jì)的在鼓泡中心的材料應(yīng)變/應(yīng)力之間的一般關(guān)系。來自于模型的離散數(shù)據(jù)，即鼓泡中心的應(yīng)力/應(yīng)變數(shù)據(jù)，被輸入到Mathcad工程計(jì)算程序中。在Mathcad中，采用三次樣條插值以及曲線擬合

10、，可以很容易獲得這個(gè)非線性傳遞函數(shù)的虛擬解析形式。之后，可以通過起泡檢測獲得一系列實(shí)驗(yàn)樣本的破裂壓力值，然后輸入到Mathcad的工作表中，使用非線性傳遞函數(shù)，繪制破裂壓力相對極限應(yīng)力估計(jì)值變化的曲線。使用這一方法，材料失效行為以及它們的變差的實(shí)測觀察值被轉(zhuǎn)換為在近似于真實(shí)氣囊材料的加載狀態(tài)下的單獨(dú)樣本的極限應(yīng)力值。方法的主要特點(diǎn)在于，所有的材料變化特性都被匯總到失效行為之中，基本的應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀代表了通常的情況，無論對材料特性的分析還是氣囊特性的分析，這種方法都顯著簡化了分析過程，提高了分析的效率。相對于下面這種方法即生成眾多FEA模型，每一個(gè)模型都是由隨機(jī)分布的薄弱材料或堅(jiān)固材料塊組成，

11、之后采用蒙特卡羅方法進(jìn)行分析我們的非線性傳遞函數(shù)方法，對每種材料僅采用了一個(gè)單獨(dú)的FEA模型，是一種更加可行、更有效的方法。不停地充氣，直到破裂我們對氣囊不停地充氣，直到它們漲破為止，將氣囊的形狀以及應(yīng)變的情況與FEA模型相對比。在低壓及適度的壓力下，邊緣附近的褶皺是可見的。在高壓下，這些褶皺消失。非接觸式激光變形測量計(jì)會(huì)記錄整個(gè)膨脹測試過程中多個(gè)樣本的應(yīng)變，幫助進(jìn)行數(shù)值上的模型驗(yàn)證。FEA模型對數(shù)值的預(yù)計(jì)是非常出色的。需要注意的是，這種預(yù)計(jì)是來自于FEA模型，而不是根據(jù)氣囊應(yīng)變測量數(shù)據(jù)而擬合得到的曲線。第四步：驗(yàn)證模型為了進(jìn)一步驗(yàn)證我們的氣囊膨脹模型，我們將氣囊膨脹實(shí)驗(yàn)與我們的FEA模型進(jìn)行了對比，不過這個(gè)FEA模型是基于我們改進(jìn)后的材料性能設(shè)計(jì)的。在膨脹過程中，我們的對比著眼于氣囊的形狀、氣囊中心的局部應(yīng)變以及破裂壓力這幾個(gè)方面。Gotcha! 當(dāng)使用三次樣條插值和曲線擬合方法從離散數(shù)據(jù)中產(chǎn)生虛擬分析函數(shù)時(shí)，我們需要格外小心。上圖顯示了三次樣條插值如何在外推的過程中溢出原始數(shù)據(jù)的情景。以及僅使用最后的幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算曲線擬合系數(shù)的二階擬合曲線。在Mathcad中，可以采用“if”邏輯將這兩種曲線結(jié)合起來。FEA模型采用了和起泡分析方法中