2012電磁場與電磁波08靜電場2-電位

1、Research Institute of RF & Wireless TechniquesSouth China University of Technology電磁場與電磁波電磁場與電磁波Electromagnetic Fields and Waves 靜電場靜電場22電位電位Email:School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology內(nèi)容內(nèi)容n電位n導(dǎo)體對靜電場的影響n電位的帕松方程和拉普拉斯方程School of Electronics and Inform

2、ation EngineeringSouth China University of Technology電位電位-靜電場的輔助函數(shù)靜電場的輔助函數(shù)n 靜電場無旋性（靜電場無旋性（ ）告訴我們，電）告訴我們，電場可用一個標量函數(shù)的梯度表示場可用一個標量函數(shù)的梯度表示 稱為電場的位函數(shù)（電位）。稱為電場的位函數(shù)（電位）。n 電場電場 為矢量，對應(yīng)三個標量函數(shù)，而電為矢量，對應(yīng)三個標量函數(shù)，而電位位 為一標量函數(shù)。顯然，計算電位更容為一標量函數(shù)。顯然，計算電位更容易。易。0EE E 借助電位求電場的方法，稱為借助電位求電場的方法，稱為輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法，廣泛應(yīng)用于電磁場理論。廣泛應(yīng)用于電磁場理論

3、。School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn 從靜電場公式n 不能看出，點電荷的電位為 為滿足 的任意標量函數(shù)。2300011444RqqqEaRRrr 04qCrrC0C 直接從直接從 不能唯一確定電位。實際中，不能唯一確定電位。實際中，常通過選取電位參考點消除不唯一性。常通過選取電位參考點消除不唯一性。0ESchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Tech

4、nologyn 體分布的電位n 面分布的電位n 線分布的電位01( )4VrdVR0( )14SSrdSR0( )14llrdlRxPzyr0Vd)(rrrrSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【電壓】【電壓】兩點間電場的線積分兩點間電場的線積分( )( )QQQPPPQPE dldldlldPQ v可見，兩點間的電壓等于兩點的電位差，且與可見，兩點間的電壓等于兩點的電位差，且與積分路徑無關(guān)；積分路徑無關(guān)；v如果選取某點如果選取某點Q為電位參考點（電位零點），為

5、電位參考點（電位零點），那么任一場點那么任一場點P的電位就等于該點與參考點之的電位就等于該點與參考點之間的電位差：間的電位差：( )( )( )QPE dlPQPPQEdlSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn參考點選取具有任意性。實際中，常選擇無參考點選取具有任意性。實際中，常選擇無限遠、大地表面或接地導(dǎo)體為電位參考點。限遠、大地表面或接地導(dǎo)體為電位參考點。n電壓和電位的物理意義電壓和電位的物理意義電壓為把單位正的點電荷從一點到另一點電場力電壓為把單位正的點電

6、荷從一點到另一點電場力做的功做的功電位是把單位正的點電荷從場點移到參考點電場電位是把單位正的點電荷從場點移到參考點電場力做的功力做的功QQPPQpqdWdUqqElElPQEdlQQPPQPpqdWdUqq ElElSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【電力線】【電力線】兩點間電場的線積分兩點間電場的線積分v電力線方程電力線方程v電力線的特點電力線的特點：0Edl始于正電荷，終于負電荷；始于正電荷，終于負電荷；線的疏密對應(yīng)電場的強弱；線的疏密對應(yīng)電場的強弱；垂直

7、于等位面；垂直于等位面；互不相交。互不相交。正電荷正電荷 負電荷負電荷 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology點電荷與不接地導(dǎo)體的電場點電荷與不接地導(dǎo)體的電場帶電平行板帶電平行板 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology問題問題v(1) 電力線是不是點電荷在電場中的運動軌跡電力線是不是點電荷在電場中的運動軌跡（設(shè)此點電荷電場力外不受其它

8、力的作用）？（設(shè)此點電荷電場力外不受其它力的作用）？v(2) 兩條電力線能否相切？同一條電力線上任兩條電力線能否相切？同一條電力線上任意兩點的電位能否相等？意兩點的電位能否相等？v(3) 不同電位的兩個等位面能否相交或相切？不同電位的兩個等位面能否相交或相切？同一等位面任意兩點的場強是否一定相等？同一等位面任意兩點的場強是否一定相等？場強在等位面上的切向分量是否一定等于場強在等位面上的切向分量是否一定等于0？電位在帶電面兩側(cè)會不會突變？電位在帶電面兩側(cè)會不會突變？School of Electronics and Information EngineeringSouth China Unive

9、rsity of Technology【例【例5-1】在真空中】在真空中xoy平面上有一半徑為平面上有一半徑為a的圓形的圓形線電荷，其線密度為線電荷，其線密度為 ，求軸線上離圓心，求軸線上離圓心z處點處點P(0,0,z)的電位和電場強度。的電位和電場強度。ln 解：在圓上取一線元 ，其上所帶電荷為ldqdldlSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology22azRllazdl21220413 22202lzzazzza Eaa由于電荷分布的對稱性，該處的電場強度僅有由于

10、電荷分布的對稱性，該處的電場強度僅有 z z 方向的分方向的分量，即量，即應(yīng)用圓柱坐標系，應(yīng)用圓柱坐標系，P P點電位為點電位為解：取一線元，其上所帶電荷量解：取一線元，其上所帶電荷量為為 ，源點到場點，源點到場點P P的距離為的距離為dldldql2322020212204241azaazadll232202azalSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【例【例5-2】求電荷密度】求電荷密度 ，半徑為，半徑為a的均勻帶電圓的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度。盤軸線上

11、的電場強度。SSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology利用前例中圓形線電荷在軸線上產(chǎn)生的電位的利用前例中圓形線電荷在軸線上產(chǎn)生的電位的公式，將公式，將 d dr r 很小形成的圓環(huán)看成是圓形線電很小形成的圓環(huán)看成是圓形線電荷，其相應(yīng)的線電荷密度荷，其相應(yīng)的線電荷密度 滿足：滿足：解：在圓盤上取一半徑為解：在圓盤上取一半徑為r r、寬為、寬為d dr r的圓環(huán)，的圓環(huán)，由 于由 于 d dr r很 小 ， 源 點 到 場 點很 小 ， 源 點 到 場 點 P P 的

12、距 離 即的 距 離 即為為 ，22rzRdrrrdrldqssl 2/2 /212202rzdrrds并代入并代入 a a= =r r ，則同樣可得，則同樣可得l232202azal整個圓盤上的電荷在整個圓盤上的電荷在 P P點的點的電位（電位（z 0z 0）zazrzrdrsas212200212202 2School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of TechnologyzszaazzazE2122012當當 時，相當與無限大帶電荷平面在其一側(cè)時，相當與無限大帶電荷平面在其一側(cè)（ z 0

13、z 0）附近產(chǎn)生的場：）附近產(chǎn)生的場：a0 20zaEzs可見，只要可見，只要 z z 有限，則有限，則 E E 是均勻的，且與是均勻的，且與 z z 無關(guān)。無關(guān)。應(yīng)用圓柱坐標系中的梯度表達式，可得到電場強度為應(yīng)用圓柱坐標系中的梯度表達式，可得到電場強度為School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology靜電場中的導(dǎo)體靜電場中的導(dǎo)體v 導(dǎo)體中帶有可以自由移動的電荷（自由電子、自由導(dǎo)體中帶有可以自由移動的電荷（自由電子、自由離子）；離子）；v 有外靜電場時，導(dǎo)體中的自由電荷受電

14、場力作用移有外靜電場時，導(dǎo)體中的自由電荷受電場力作用移動，積累在導(dǎo)體表面；動，積累在導(dǎo)體表面；v 積累在表面的電荷產(chǎn)生附加電場，在導(dǎo)體內(nèi)與外電積累在表面的電荷產(chǎn)生附加電場，在導(dǎo)體內(nèi)與外電場相抵消；場相抵消；v 達到平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電場為零，電荷不再移動，稱達到平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電場為零，電荷不再移動，稱為靜電平衡狀態(tài)。為靜電平衡狀態(tài)?！眷o電平衡過程】【靜電平衡過程】School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology靜電場中不接地導(dǎo)體的電場靜電場中不接地導(dǎo)體的電場靜電場中接地導(dǎo)體的電

15、場靜電場中接地導(dǎo)體的電場School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【導(dǎo)體的靜電特性】【導(dǎo)體的靜電特性】v靜電平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電場強度為靜電平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電場強度為0；v靜電平衡后，導(dǎo)體是等位體，表面為等位面；靜電平衡后，導(dǎo)體是等位體，表面為等位面；v靜電平衡后，導(dǎo)體表面的電場強度垂直于導(dǎo)體靜電平衡后，導(dǎo)體表面的電場強度垂直于導(dǎo)體表面；表面；v靜電平衡后，導(dǎo)體的電荷只分布在表面。靜電平衡后，導(dǎo)體的電荷只分布在表面。靜電場中的導(dǎo)體School of Electronics

16、and Information EngineeringSouth China University of Technology例例: :真空中有電荷以體密度真空中有電荷以體密度 均勻分布于一半徑為均勻分布于一半徑為R的球中，如圖所示。求的球中，如圖所示。求球內(nèi)、外的電場強度及電位。球內(nèi)、外的電場強度及電位。 rErrEaEr2S4dSE , rarErqrErdSERr00302S3 344 即處 rarRERqrErdSERr2030302S3 344 即處 OR帶電球 應(yīng)用高斯通量定理，有應(yīng)用高斯通量定理，有解解：（：（1）求電場強度。以球心為球坐標系原點，）求電場強度。以球心為球坐標系原

17、點，因為因為 分布僅與球坐標系變量分布僅與球坐標系變量r有關(guān)，故電場強度也有關(guān)，故電場強度也僅是僅是r的函數(shù)，且方向應(yīng)是的函數(shù)，且方向應(yīng)是ar方向。選某方向。選某r半徑球面半徑球面為閉合面為閉合面 S（也稱高斯面），則在此球面上，（也稱高斯面），則在此球面上，School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology如果用球內(nèi)全部電荷如果用球內(nèi)全部電荷 Q 來表示，以來表示，以 代入可得代入可得334RQ, 4 30raRQrERrrarQERr204 rQdrrQrr02044 R

18、QR04 220203025 . 1444RrRQdrrQdrRQrrRRr球內(nèi)任意點的電位為球內(nèi)任意點的電位為當當 r = R 時為球面電位時為球面電位（2）求電位。選無窮遠處為電位參考點，則球外任一點的電位為）求電位。選無窮遠處為電位參考點，則球外任一點的電位為School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology例：兩無限大平行板電極，板間距離為例：兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為，電壓為U0 ，并充滿密度為，并充滿密度為 0 x/d的體電荷。求板間電場強度和極板面

19、上的電荷面密度。的體電荷。求板間電場強度和極板面上的電荷面密度。xsSSxxdxdxSSqSxEdSxEdSE0000/)0(1/)()(aa0020)0(2)(sdxxEdUdlE00000200003000020)0(6)0(6)0(2Uddxdxdxdxsdsds解解 因為因為 (x)= 0 x/d ，僅是，僅是x的函數(shù)，故可設(shè)電場強度為的函數(shù)，故可設(shè)電場強度為 E=axE(x),也僅也僅是是x的函數(shù)。再設(shè)的函數(shù)。再設(shè)x=0處電位為處電位為0，極板上面電荷密度為，極板上面電荷密度為 s(0)；在；在x=d處，處，電位為電位為U0，極板面電荷密度為，極板面電荷密度為 s(d)。顯然，由于兩

20、極板面無限大，板間。顯然，由于兩極板面無限大，板間電場為均勻場，故電場為均勻場，故 s(0) 、 s(d) 均為常數(shù)。作一柱形閉合面，底面積為均為常數(shù)。作一柱形閉合面，底面積為 S，下底在，下底在x=0的極板內(nèi)，上底在的極板內(nèi)，上底在x處，側(cè)柱面與處，側(cè)柱面與ax平行。在此閉合面上平行。在此閉合面上應(yīng)用高斯通量定理，有應(yīng)用高斯通量定理，有由：又因為：即：0/qdSES ddx/00)0(s)(ds)(xEx00UxsdxdxSSSxE000/)0(1)(School of Electronics and Information EngineeringSouth China University

21、 of Technology若將閉面若將閉面S在在x 處的上底面放到處的上底面放到xd的極板內(nèi)的極板內(nèi)再用高斯通量定理，則有再用高斯通量定理，則有010dSEqS0)(/)0(1000dssSddxdxSS3/)0()(00000ddUdxdxddss可得可得即：即：xddUdxxEa00002062)(代入代入 E(x)表達式，有表達式，有6)0(000ddUs故：故： ddx/00)0(s)(ds)(xEx00USchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology電位的帕松

22、方程和拉普拉斯方程n帕松方程和拉普拉斯方程是電位滿足的微分帕松方程和拉普拉斯方程是電位滿足的微分方程。方程。帕松方程帕松方程若無源，則演化為拉普拉斯方程若無源，則演化為拉普拉斯方程0/E E 0/ 20 Possion方程方程Laplace方程方程20School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology2 【拉普拉斯算子】【拉普拉斯算子】2222222xyz 直角坐標系直角坐標系22222211rrrrrz 圓柱坐標系圓柱坐標系22222222111sinsinsinrrrrrr 球坐標系球坐標系School of Electronics and Information Engine