第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值一、選擇題1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是()Ayx2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析對(duì)于C中函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，ylg x，故為(0，)上的減函數(shù)，且ylg |x|為偶函數(shù)答案C2已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f(|x|)f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析f(x)在R上為減函數(shù)且f(|x|)f(1)，|x|1，解得x1或x1.答案D3若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C先增后減 D先減后增解析

2、yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，a<0，b<0，yax2bx的對(duì)稱軸方程x<0，yax2bx在(0，)上為減函數(shù)答案 B4設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是 ()A(，0 B0,1)C1，) D1,0解析g(x)如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)故選B.答案B5函數(shù)yx22x3(x0)的單調(diào)增區(qū)間是()A(0，) B(，1C(，0) D(，1解析二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x1，又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸在定義域的右側(cè)，所以其單調(diào)增區(qū)間為(，0)答案C6設(shè)函數(shù)yf(x)在(，)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)取函數(shù)f(x)2

3、|x|，當(dāng)K時(shí)，函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()A(，0) B(0，) C(，1) D(1，)解析f(x)f(x)f(x)的圖象如右圖所示，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)答案C二、填空題7設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，若函數(shù)的最小值為g(a)，則g(a)_.解析函數(shù)yx22x(x1)21，對(duì)稱軸為直線x1.當(dāng)2a<1時(shí)，函數(shù)在2，a上單調(diào)遞減，則當(dāng)xa時(shí)，ymina22a；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時(shí)，ymin1.綜上，g(a)答案8函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_解析 y(x3)|x|作出該函數(shù)的圖像，觀察圖像知遞增區(qū)間為.答案 9已知函數(shù)

4、f(x)2ax24(a3)x5在區(qū)間(，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_解析當(dāng)a0時(shí)，f(x)12x5在(，3)上為減函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，要使f(x)2ax24(a3)x5在區(qū)間(，3)上是減函數(shù)，則對(duì)稱軸x必在x3的右邊，即3，故0a；當(dāng)a0時(shí)，不可能在區(qū)間(，3)上恒為減函數(shù)綜合知：a的取值范圍是.答案10已知函數(shù)f(x)(a是常數(shù)且a>0)對(duì)于下列命題：函數(shù)f(x)的最小值是1；函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)；若f(x)>0在上恒成立，則a的取值范圍是a>1；對(duì)任意的x1<0，x2<0且x1x2，恒有f<.其中正確命題的序號(hào)是_解析根據(jù)題意可畫出草圖，由圖

5、象可知，顯然正確；函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)，故錯(cuò)誤；若f(x)>0在上恒成立，則2a×1>0，a>1，故正確；由圖象可知在(，0)上對(duì)任意的x1<0，x2<0且x1x2，恒有f<成立，故正確答案三、解答題11求函數(shù)ya1x2(a>0且a1)的單調(diào)區(qū)間解 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)ya1x2在區(qū)間0，)上是減函數(shù)，在區(qū)間(，0上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)ya1x2在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，在區(qū)間(，0上是減函數(shù)12已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的

6、取值范圍解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2(x0)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)設(shè)x2>x12，則f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2>x12，得x1x2(x1x2)>16，x1x2<0，x1x2>0.要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需f(x1)f(x2)<0，即x1x2(x1x2)a>0恒成立，則a16.13已知函數(shù)f(x)a·2xb·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab0.(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若ab<0，求f(x

7、1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍解(1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，因?yàn)閍·2x，b·3x都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，因?yàn)閍·2x，b·3x都單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減(2)f(x1)f(x)a·2x2b·3x>0.(i)當(dāng)a<0，b>0時(shí)，x>，解得x>log；(ii)當(dāng)a>0，b<0時(shí)，x<，解得x<log.14函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)<3.解 (1)證明設(shè)x1，x2R，且x1<x2，則x2x1>0，f(x2x1)>1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)1>0.f(