第5章濾波器m與實(shí)現(xiàn)6

1、第6章 無限沖激響應(yīng)(IIR） 濾波器設(shè)計(jì)6.1 濾波器的基本概念；6.2 模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；6.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計(jì)；6.4 沖激響應(yīng)不變法；6.5 雙線性Z變換法；6.6 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計(jì)；| )(| )(|;)(| )(|;)(| )(jjjeYceHbeXa( )( )( )|,|ccx nh ny n通過系統(tǒng)后使輸出中不再含有的頻率成分 而使的成分不失真的通過.1. 濾波原理6.1 濾波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶, 通過一個(gè)線性系統(tǒng)可將 有效去除. 分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS)

2、 2. 濾波器的分類( )x n( )( )( )x ns nu n加法性噪聲( )u n( )s n( )u n每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對數(shù)字濾波器, 從實(shí)現(xiàn)方法上, 有IIR濾波器和FIR濾波器之分, 轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:NkkkMrrrzazbzH101)(10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù) 測、自適應(yīng)濾波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪聲( )( )* ( )x ns nu n卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時(shí)間序列

3、)中估計(jì)出信號的某些特征或信號本身。阻帶下限截止頻率又稱通帶上限頻率通帶截止頻率:)(:sp3. 濾波器的技術(shù)要求低通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減| )(|lg20| )(| )(|lg20| )(|lg20| )(| )(|lg2000ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH單位 (dB)若幅度下降到 0.707, 則幅平方下降 0.5 （半功率點(diǎn)）：0|()|120lg20lg3dB0.707|()|pjpjH eH e若幅度下降到 0.01：0|()|120lg20lg40dB0.01|()|pjsjH eH e高通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)

4、到的最小衰減帶通：p：通帶允許的最大衰減；s ： 阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減帶阻：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減1. 給定所設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,pspssfLP, HP13,slshpssfBP, BS 2. 設(shè)計(jì)出一個(gè) ，使( )H z()jH e滿足給定的技術(shù)要求沒有考慮相位給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps 得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器( )H z得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器( )H s轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo),psps 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器( )G p轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps,( ):ppssG s給定模擬低通濾

5、波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器NNNNNNNNscscsccsdsdsddsG 11101110)(210lg|()|,.pspsG j使其對數(shù)幅頻響應(yīng)在處分別達(dá)到的要求6.2 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)一、概述10/ )(210| )(|jG22()1( )10lg10lg()|()|X jY jG j )(定義衰減函數(shù)22()10lg|()|()10lg|()|pppsssG jG j 上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯(lián)系了起來。注意，由于衰減指標(biāo)只有兩個(gè)，因此也只能和幅平方特性的兩個(gè)特殊頻率相聯(lián)系。 我們的目的是由幅平方特性 求出模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) ，如何將二者聯(lián)系起來( )G s

6、2|()|G j*2( )( )( ) ()|()|sjG s G sG s GsG j 因?yàn)?|()|( )G jG s就很容易得到所需要的所以，由 注意，由于由于衰減指標(biāo)只有兩個(gè)，只能和幅平方特性的兩個(gè)特殊頻率相聯(lián)系，因此，幅平方特性的表達(dá)式必須簡化。2| )(|jG將 按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的 表達(dá)式：( )G s.,)(11| )(|222為待定的濾波器階次為待定常數(shù) NCCjGN1. 巴特沃思(Butterworth)濾波器221( )cos ( cos)nCn 定義)(11| )(|222nCjG2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器22222

7、1|()|()1(/)nsnsG jCC3. 切比雪夫II型濾波器)(11| )(|222nUjG2( )nU：Jacobian 函數(shù)本課程只討論 Butterworth 和 Chebyshev-I 濾波器的設(shè)計(jì)4. 橢圓濾波器1. 將實(shí)際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性2221|()|,1NpG jC2. 求 和 CN2221( )10lg10lg1|()|NCG j 由：22( )/10101NC 有：/1022/ 0221101101psNpNsCC/102101pC求出C二式相比二、Butterworth濾波器的設(shè)計(jì),1p1,p/10/10101lg/lg101spsN對Butterwo

8、rth濾波器，通常 ，所以3dBp/1020.31011011pC /10lg 101 lgssN22211|()|11(/)NNpG j 如何由上述的幅平方特性得到 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)( )G p3. 確定( )G p/psjpj /pppjjs 221|()|1NG j/pj2211( ) ()1 (/ )1 ( 1)NNNG p Gppjp 21 ( 1)0NNp 21exp2kkNpjNNk2 , 2 , 1 即 個(gè)極點(diǎn)均勻分布在 平面半徑為 1的圓上，應(yīng)取左半平面的 個(gè)予 ，右半平面的 個(gè)賦予 2N( )s pN( )G pN()Gp( ) ()G p GpNk, 2 , 1 則：則：)

9、()(1)(21NpppppppG 1,.kNkNpp 若為偶數(shù)及這對共軛極點(diǎn) 構(gòu)成一個(gè)二階系統(tǒng)121( )()()1212 cos() 12kkNkGpppppkNppN 2/1)()(NkkpGpG為偶數(shù)N21exp2kkNpjN,( )(1)/2.NG pN 若 為奇數(shù)由一個(gè)一階系統(tǒng)和 個(gè)二階系統(tǒng)相級聯(lián)2/ )1(1)(11)(NkkpGppG為奇數(shù)N又因?yàn)楹蟮玫?)(pGppsjjp/,( ).pspG s用代替即得實(shí)際需要的/( )( )pp sG sG p 反映了實(shí)際頻率p20,0, |()|1,(0)0,0G j (1) 當(dāng)時(shí)即在處無衰減;4.巴特沃思濾波器幅頻響應(yīng)的特點(diǎn):2,1

10、, |()|0.5, |()| 0.707,3dB;pppppG jG j (2) 當(dāng)即時(shí)2221, |()|,(), |()|,|()|G jNG jG j(3) 當(dāng) 由零增加到 時(shí)單調(diào)減小單調(diào)增加越大減小的越慢 即在通帶內(nèi)越平；2,1, |()|,1,ppG jN (4) 當(dāng)即時(shí)也是隨著的增加而單調(diào)減少 但因所以這時(shí)比通帶內(nèi)衰減速度加快越大 衰減速度越大;22(5) |()|0, 1G jN 在處對的一階 二階 直至階導(dǎo)數(shù)皆為零.例：給定 如下技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬低通 Butterworth濾波器5000Hz,10000Hz,3dB,30dB,pspsffStep1. 1,2,3dB,30d

11、B,pspsStep2. 30/101;lg 101 lg25CNStep3. exp (2)5,1,2,3,4,5kpj kkStep4. 12345( )1 ()()()()()G pppppppppppStep5. 20542500010( )( )(10)()()spG sG psss 格式格式1： b,a=butter(n,Wn);lBb,Ba=butter(N,fp*2/fs); %巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器Eb,Ea=ellip(N,Rp,Rs,fp*2/fs); %橢圓濾波器橢圓濾波器lEb,Ea=ellip(N,Rp,Rs,fp*2/fs); %橢圓濾波器橢圓濾波器lC1b

12、,C1a=cheby1(N,Rp,fp*2/fs); %切比雪夫切比雪夫IlC2b,C2a=cheby2(N,Rs,fp*2/fs); %切比雪夫切比雪夫II 格式格式2：b,a=butter(n,Wn,ftype); 畫出頻率響應(yīng)圖：畫出頻率響應(yīng)圖：freqz(b,a,128,1000;切比雪夫多項(xiàng)式的特點(diǎn)：221( )cos ( cos)nCn 1coscos( )cos()nCn )(11| )(|222nCjG三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設(shè)計(jì)1112( )2( )( )( )2( )( )nnnnnnCCCCCC 的多項(xiàng)式11( )cos(1)cos()cos( )sin()sin(

13、 )( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )nnCnnnCnnn 012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CCCCCCCCCCC 的確是 的多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)是12n(1)1nC,1. 將頻率歸一化 得歸一化的幅平方特性 即)(11| )(|222nCjG1設(shè)計(jì)步驟：)(1lg10)(22nC110) 1 (10/22pnC2(1)1nC/102101p2. 求 和n為求濾波器的階次，還要利用另外的條件：注意：21( )10lg|()|G j /1022221()101cos

14、h cosh ()snssCn因此： 時(shí)，切比雪夫多項(xiàng)式要重新定義，采用雙曲函數(shù)：利用另外的條件：,:1sssNote 1( )cos( cos)nCn必須不大于11cosh/2sinh/2xxxxxeexee/10212/10101cosh cosh ()101spsna11cosh ( )cosh ()san3.( )G s確定221( ) ()1(/ )nG p GpCpj221(/ )0nCpj求根1coscosh()n arjpj 則22(21)sinsinh()2(21)coscosh()2kkpnkjn2,( ),(),( ),1,2,knpG pGpG pkn此式求出的個(gè)極點(diǎn)一

15、半屬于一半屬于把左半平面的極點(diǎn)賦于即nk2 , 2 , 1 最后導(dǎo)出：切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布實(shí)際轉(zhuǎn)移函數(shù)為111( )( )2()pnpnpnkpkG sG psp 反映了實(shí)際頻率nkknpppG11)(21)(最后：p6.4 6.4 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR DFIIR DF給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps 轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,psps轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo),psps 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器( )G p得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器( )H s得到數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器( )H zsz,psps ,.ps.,不變ps利用上一節(jié)的

16、方法，可設(shè)計(jì)出模擬濾波器( ),( )G pG s( )H z最直接到方法，將：sT 利用：1,lnssTszeszT1ln( )( )sszTH zG s但這樣做， 將不再是 的有理多項(xiàng)式，給極零分析帶來困難。( )H zz)(1)()()(0kssjnnsjkjGTeHznThzH0)()(| )()(nsnTtsnTttgtgnThs令：沖激響應(yīng)不變法模擬濾波器的沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)1( )( )1( )()ssTnTtsAAG sH zsezg tAeh nTAe基本轉(zhuǎn)換單元：22( )( )sin() ( )()tG sg tet u tssssTsTsTeTezzTze

17、zH22)cos(2)sin()(1111zessT( ),( )( ),G sG sH z總可由一階和二階系統(tǒng)并聯(lián)或級聯(lián)而成故由上面兩式可實(shí)現(xiàn)由到的轉(zhuǎn)換 該轉(zhuǎn)換所遵循的基本關(guān)系仍是ssTez (1),.spspsT 利用將轉(zhuǎn)換為.,不變ps).()2(sG設(shè)計(jì)低通模擬濾波器).()() 3(zHsG轉(zhuǎn)換為將|()|()|,jH eG j相對于有較大失真 這是因?yàn)槌闃宇l率過小時(shí)，易產(chǎn)生混迭。此外，該方法對高通、帶阻濾波器不適用。線性轉(zhuǎn)換關(guān)系 給出給出數(shù)字高通數(shù)字高通的技術(shù)要求的技術(shù)要求)(zHdhpspsp, 得到得到模擬高通模擬高通的技術(shù)要求的技術(shù)要求)(sHahpspsp,)2tan(1s

18、tep得到得到模擬低通模擬低通的技術(shù)要求的技術(shù)要求)(pGspsp,p12step設(shè)計(jì)出設(shè)計(jì)出)(pG3stepspp4step 得到得到模擬高通轉(zhuǎn)移模擬高通轉(zhuǎn)移函數(shù)函數(shù))(sHahp11zzs5step最后得到最后得到數(shù)字高通轉(zhuǎn)移數(shù)字高通轉(zhuǎn)移函數(shù)函數(shù))(zHdhp數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)步驟6.6 數(shù)字高通, 帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)對 帶通（BP）、帶阻（BS）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，只需改變圖中 Step2 和 Step4：22231BWBW 帶通22231BWBW 帶阻例： 設(shè)計(jì)一 IIR BP DF,要求：通帶頻率范圍： 300Hz 400Hz ;阻帶頻率范圍：200Hz、500Hz2N 121)

19、(2pppG) 1() 1() 1(22222zzzpBW432142641. 0307. 1237. 2637. 11)21 (0201. 0)(zzzzzzzHdbps3dB,18dB,F2000Hzps要求：按上述轉(zhuǎn)換辦法，可以求出：1buttord.m 確定 LP DF、或 LP AF的階次；（1） N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs)；與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件對應(yīng) 數(shù)字濾波器。其中 Wp, Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值在 01 之間，1對應(yīng)抽樣頻率的一半(歸一化頻率)。對低通和高通，Wp, Ws都是標(biāo)量，對帶通和帶阻，Wp, Ws是12的向量

20、。Rp, Rs 分別是通帶和阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應(yīng)低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。（2）N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs,s)： 對應(yīng)模擬濾波器，式中各個(gè)變量的含意和格式（1）相同，但Wp, Ws及Wn的單位為弧度/秒，因此，它們實(shí)際上是頻率。2buttap.m 設(shè)計(jì)模擬低通(Butt)原型濾波器。 z, p, k=buttap(N): N是欲設(shè)計(jì)的低通原型濾波器的階次，z, p, k是設(shè)計(jì)出的極點(diǎn)、零點(diǎn)及增益。 B, A=lp2lp(b, a, Wo), B, A=lp2hp(b, a, Wo) B, A=lp2bp(b, a, Wo, Bw), B, A=lp2bs(b, a, Wo, Bw) b, a 是AF LP 的分子、分母的系數(shù)向量，B, A是轉(zhuǎn)換后的的分子、分母的系數(shù)向量；在（1）中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；在（2）中，Wo是帶通或帶阻濾波器的中心頻率，Bw是其帶寬。3lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m, lp2bs.m將模擬低通原型轉(zhuǎn)換為實(shí)際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器。（1）（2）4bilinear.m ：雙線性變換，由模擬濾波器 得到數(shù)字濾波器。 Bz, Az=bilinear(B, A, Fs) 式中B, A分別是