第7講-題課1模n剩余類加群課件

1、 2022-3-23 18:32：我們知道整數(shù)集合Z對于加法+而言作成整數(shù)加群；所有模n剩余類構(gòu)成的集合是整數(shù)集合的一個分類（對應(yīng)的是整數(shù)集合上的同余關(guān)系），我們的目的是規(guī)定由所有模n剩余類構(gòu)成的分類上的一個代數(shù)運(yùn)算，使其為一個群。 2022-3-23 18:32所有模n剩余類構(gòu)成集合記作nZ1, 1 , 0| nrrZn, 2, 1, 0|qrqmr即其中規(guī)定代數(shù)運(yùn)算nnnZZZ),(baba因?yàn)槎x是用剩余類代表規(guī)定的象，而一個類中的代表很多，需要證明該對應(yīng)與代表的選取無關(guān)。 2022-3-23 18:32,)(mod cnqcqncccccc設(shè) ,bbaa則 bababnqbanqaqq

2、2121,baqqnba)(21稱此運(yùn)算為模n剩余類加法，記 babanZ模n剩余類加法模n剩余類集合 2022-3-23 18:32nZ對于模n剩余類加法模n剩余類集合構(gòu)成一個群。證明（定義法） 非空；封閉。結(jié)合律)()(cbacbacba)()(cbacbacba左單位元000aaaa的左逆元-a0aaaa 2022-3-23 18:32nZ對于模n剩余類加法模n剩余類集合構(gòu)成一個群。證明（同態(tài)法）整數(shù)集合Z對于加法+構(gòu)成整數(shù)加群。建立映射：nZZ :aa )()()(babababa是同態(tài)滿射。所以是群。 2022-3-23 18:32例2：求模12剩余類加群中每一個元的逆元和階。11,

3、10,9,8,7,6,5,4,3,2,112Z1單位元，階為1，逆元是其本身1。2 逆元是 10，階為6；3 逆元是 9，階為4；4 逆元是 8，階為3；5 逆元是 7，階為12；6 逆元是其本身 6，階為2。 2022-3-23 18:32例3：設(shè)S=1,2,3,4。規(guī)定SS上的一個二元關(guān)系R：cbdadcRba),(),(則R是一個等價關(guān)系。試給出其確定的分類。分析：(a,b)和(c,d)有關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)a-b=c-d當(dāng)且僅當(dāng)差是相同的。從而確定7個類。 2022-3-23 18:32差為0 0 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) 差為1 1 (2,1), (3,2), (

4、4,3) 差為2 2 (3,1), (4,2) 差為3 3 (4,1) 差為-1 -1 (1,2), (2, 3), (3, 4) 差為-2 -2 (1,3), (2,4) 差為-3 -3 (1,4) 2022-3-23 18:32011,(1)(0)(1)mnm, 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1 , 0NN(,),)NN 與與( (設(shè)設(shè)試證明試證明不同構(gòu)不同構(gòu). .NN(0), (1),nNm 證明：（反證法）如果證明：（反證法）如果設(shè)設(shè)0n0不在不在N中，矛盾。中，矛盾。(, ), )NN 與與( (不同構(gòu)不同構(gòu). . 2022-3-23 18:321：求模：求模24剩余類加群中

5、每一個元的逆元和剩余類加群中每一個元的逆元和階。階。課堂練習(xí)2：設(shè)：設(shè)G是全體是全體n階可逆方陣集合，設(shè)階可逆方陣集合，設(shè)N是一個是一個可逆可逆n階方陣。設(shè)階方陣。設(shè)G上帶有如下代數(shù)運(yùn)算上帶有如下代數(shù)運(yùn)算 ：任取方陣任取方陣A ，B。令。令A(yù)NBBA 試用定義法和同態(tài)法證明試用定義法和同態(tài)法證明G對于上述運(yùn)算構(gòu)成對于上述運(yùn)算構(gòu)成群。群。 2022-3-23 18:323：在非零復(fù)數(shù)集合：在非零復(fù)數(shù)集合C*中規(guī)定下面兩個關(guān)系。中規(guī)定下面兩個關(guān)系。的模相同babaR,1的幅角相同babaR,2試證明試證明R1，R2是等價關(guān)系，分別給出相應(yīng)是等價關(guān)系，分別給出相應(yīng)的分類，并且給出一個全體代表團(tuán)。的分類，并且給出一個全體代表團(tuán)。0,1,2,3,1,2,3,NN , , NN 與與4：設(shè)設(shè)那么，那么，不可能同構(gòu)。不可能同構(gòu)。 2022-3-23 18:32精品課件精品課件！ 2022-3-23 18:32精品課件精品課件！ 2022-3-23 18:325：試分別列舉滿足下面條件的關(guān)系。：試分別列舉滿足下面條件的關(guān)系。 (1)：滿足對稱律推移律，不滿足反射律；：滿足對稱