第五章：積分方程

1、之之2022-3-232第五章第五章 積分方程積分方程 積分方程是研究數(shù)學(xué)其它學(xué)科和各種物理問題積分方程是研究數(shù)學(xué)其它學(xué)科和各種物理問題的一個重要數(shù)學(xué)工具。它在彈性介質(zhì)理論和流的一個重要數(shù)學(xué)工具。它在彈性介質(zhì)理論和流體力學(xué)中應(yīng)用很廣，也常見于電磁場理論物理體力學(xué)中應(yīng)用很廣，也常見于電磁場理論物理中。本節(jié)將介紹求解積分方程的理論和一般方中。本節(jié)將介紹求解積分方程的理論和一般方法。法。 2022-3-2331、 基本概念；基本概念；2、 迭代法；迭代法；3、 算子的范數(shù)；算子的范數(shù)；4、 巴拿赫空間中的迭代法；巴拿赫空間中的迭代法；5、 非線性方程的迭代法；非線性方程的迭代法；6、 可分核；可分核

2、；7、 普遍的有限秩；普遍的有限秩；8、 全連續(xù)算子；全連續(xù)算子；9、 全連續(xù)厄米算子；全連續(xù)厄米算子；10、全連續(xù)算子的弗雷德霍姆擇一定理；、全連續(xù)算子的弗雷德霍姆擇一定理；11 、積分方程的數(shù)值計(jì)算；、積分方程的數(shù)值計(jì)算；第五章第五章 積分方程積分方程 2022-3-234 5 積分方程法積分方程法 5.1 基本概念基本概念 一、積分方程的定義一、積分方程的定義 在方程中，若未知函數(shù)在積分號下出現(xiàn)，則稱這種方程為在方程中，若未知函數(shù)在積分號下出現(xiàn)，則稱這種方程為積分方程。積分方程。 一般的線性積分方程，可寫為如下的形式一般的線性積分方程，可寫為如下的形式( )( )( , )( )( )b

3、ax f xk x y f y dyg x其中，和其中，和 已知。已知。 ( )x( )f x( )g x是未知函數(shù)，是未知函數(shù)， ( , )k x y積分方程的核，也是已知函數(shù)。積分方程的核，也是已知函數(shù)。 被稱為被稱為本征值的作用）本征值的作用） 是常數(shù)因子（經(jīng)常起一是常數(shù)因子（經(jīng)常起一若未知函數(shù)僅出現(xiàn)在積分號內(nèi)，稱為第一類方程。若未知函數(shù)僅出現(xiàn)在積分號內(nèi)，稱為第一類方程。若未知函數(shù)既出現(xiàn)在積分號內(nèi)，又出現(xiàn)在積分號外稱為第二類方程。若未知函數(shù)既出現(xiàn)在積分號內(nèi)，又出現(xiàn)在積分號外稱為第二類方程。 積分限為常數(shù)的，稱為積分限為常數(shù)的，稱為Fredholm 弗雷德霍姆方程。弗雷德霍姆方程。積分限中

4、有一個是變數(shù)的，稱為積分限中有一個是變數(shù)的，稱為volterra伏特拉方程伏特拉方程 2022-3-235 5 積分方程法積分方程法 5.1 基本概念基本概念 ( , )k x y積分方程的核，積分方程的核， 是是 的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。 或平方可積，稱核或平方可積，稱核為非奇性核或?yàn)榉瞧嫘院嘶騠redholm核。核。此外，還有弱奇性核及此外，還有弱奇性核及Cauchy奇性核奇性核, x y（）二、積分方程的分類二、積分方程的分類 1）按照積分上下限按照積分上下限2）按照未知函數(shù)是否在積分內(nèi)按照未知函數(shù)是否在積分內(nèi)( )0 x第一第一 類類 ( )1x第二第二 類類 3）按照積分的核進(jìn)行分類

5、按照積分的核進(jìn)行分類2022-3-236 5.1 基本概念基本概念 三、積分方程的算子形式三、積分方程的算子形式 積分方程也可采用算符的形式來表示。即積分方程也可采用算符的形式來表示。即 fgKf其中其中K為積分算子為積分算子 ( , ) ( )baKfk x y f y dy若算子方程若算子方程 的逆存在，則問題在形式上就解決的逆存在，則問題在形式上就解決了。此時了。此時 ()IK fg1()fIKg 5 積分方程法積分方程法 2022-3-2375. 2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 如果積分方程的核具有如下的形式如果積分方程的核具有如下的形式 1( , )( )( )niiik

6、x yxy則被稱為是退化的，具有退化的核的積分方程，可用初等則被稱為是退化的，具有退化的核的積分方程，可用初等的方法來求解。的方法來求解。以下通過具體的例子來說明如何求解退化核方程。以下通過具體的例子來說明如何求解退化核方程。例例. 求解積分方程求解積分方程 1220( )() ( )f xxyx y f y dyx解：令解：令120( )Ay f y dy10( )Byf y dy則式則式(1)可以變?yōu)榭梢宰優(yōu)?(1)2( )f xxAxBx 5 積分方程法積分方程法 (2)(3)2022-3-238 5 積分方程法積分方程法 顯然，采用迭代的方法，將式顯然，采用迭代的方法，將式(3)代入代

7、入(2)，得，得111445111B334AABAB這個方程組的解是這個方程組的解是260240 120A280240 120B代入式代入式(3) 就可以得到積分方程的解為就可以得到積分方程的解為22(24060 )80( )240 120 xxf x注意有兩個注意有兩個 的值可使上式的解變?yōu)闊o窮大。當(dāng)?shù)闹悼墒股鲜降慕庾優(yōu)闊o窮大。當(dāng) 取某些特取某些特殊值時，齊次積分方程有非零解，這樣的殊值時，齊次積分方程有非零解，這樣的 值稱為值稱為積分方程積分方程的本征值的本征值，而相應(yīng)的非零解稱作，而相應(yīng)的非零解稱作本征函數(shù)本征函數(shù)。5. 2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2022-3-239定理

8、定理1. 如果如果 5 積分方程法積分方程法 齊次方程齊次方程 有唯一解；有唯一解；若若 是本征值，則齊次方程是本征值，則齊次方程從上例可以看到，如果核是退化的，則解一個積分方程的問從上例可以看到，如果核是退化的，則解一個積分方程的問題就簡化為解一個大家非常熟悉的代數(shù)方程組的問題。如果題就簡化為解一個大家非常熟悉的代數(shù)方程組的問題。如果退化核有退化核有N項(xiàng)，顯然將有項(xiàng)，顯然將有N個本征值，當(dāng)然它們不一定都不同。個本征值，當(dāng)然它們不一定都不同。既然退化核方程的解是與相應(yīng)的線性代數(shù)方程組密切相關(guān)的，既然退化核方程的解是與相應(yīng)的線性代數(shù)方程組密切相關(guān)的，所以退化核方程的許多性質(zhì)可由相應(yīng)的代數(shù)方程組的

9、有關(guān)性所以退化核方程的許多性質(zhì)可由相應(yīng)的代數(shù)方程組的有關(guān)性質(zhì)導(dǎo)出。弗雷德霍姆將之簡化為一系列理論，這些理論被人質(zhì)導(dǎo)出。弗雷德霍姆將之簡化為一系列理論，這些理論被人們稱為們稱為弗雷德霍姆定理弗雷德霍姆定理，在此我們不作證明。，在此我們不作證明。不是本征值，則對于任何的非齊次項(xiàng)不是本征值，則對于任何的非齊次項(xiàng) ,非非 ( )g x( )( , )( )( )baf xk x y f y dyg x( )( , )( )0baf xk x y f y dy至少有一個非平凡解即本征函數(shù)，且與一個本征值相對于至少有一個非平凡解即本征函數(shù)，且與一個本征值相對于的，線性獨(dú)立的本征函數(shù)只有一個。的，線性獨(dú)立的

10、本征函數(shù)只有一個。5. 2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2022-3-2310定理定理3. 如果如果 是一個本征值，那么非齊次方程有解的充要條件是一個本征值，那么非齊次方程有解的充要條件是：是： 與轉(zhuǎn)置齊次方程的一切解正交，即與轉(zhuǎn)置齊次方程的一切解正交，即 定理定理2. 如果如果 不是一個本征值，那么不是一個本征值，那么 也不是轉(zhuǎn)置方程也不是轉(zhuǎn)置方程 5 積分方程法積分方程法 至少有一個平凡解。至少有一個平凡解。的一個本征值；如果的一個本征值；如果 是一個本征值，則是一個本征值，則 也是轉(zhuǎn)置方程的一也是轉(zhuǎn)置方程的一個本征值，即個本征值，即 ( )( , )( )( )baf xk x

11、 y f y dyg x( ) ( )0bax g x dx其中其中 滿足式滿足式( )g x( )( , )( )0baf xk x y f y dy( )x( )( , )( )0baf xk x y f y dy5. 2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2022-3-2311 5 積分方程法積分方程法 并對并對x 積分，便可得定理積分，便可得定理3的正交關(guān)系。的正交關(guān)系。( )( , )( )( )baf xk x y f y dyg x( )x事實(shí)上，定理事實(shí)上，定理2是這樣一個事實(shí)的模擬，即矩陣和它的轉(zhuǎn)置是這樣一個事實(shí)的模擬，即矩陣和它的轉(zhuǎn)置具有同樣的本征值。如果我們以具有同樣

12、的本征值。如果我們以 乘以乘以 需要指出的是弗雷德霍姆定理僅嚴(yán)格地適用于非奇異需要指出的是弗雷德霍姆定理僅嚴(yán)格地適用于非奇異的積分方程。奇異積分方程的理論是一個不同的問題。的積分方程。奇異積分方程的理論是一個不同的問題。對于具有退化核的伏特拉方程，常常能通過求微分變?yōu)閷τ诰哂型嘶说姆乩匠?，常常能通過求微分變?yōu)槲⒎址匠?。我們?nèi)砸砸粋€具體的例子來說明。微分方程。我們?nèi)砸砸粋€具體的例子來說明。5. 2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2022-3-2312 5 積分方程法積分方程法 例例2. 求解積分方程求解積分方程0( )( )xu xxyu y dyx解：令解：令0( )( )xg

13、xyu y dy代入原式，有代入原式，有 ( )( )u xxxg x所以所以( )( )( )g xxu xx xxg x解此微分方程可得解此微分方程可得33( )1xg xce 于是得于是得33( )xu xcxe把它再代入原方程可求得把它再代入原方程可求得 1c ，因此，因此 33( )xu xxe5. 2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2022-3-2313 5 積分方程法積分方程法 到到 于是得于是得5. 3 具有位移核的方程的求解具有位移核的方程的求解 如果核僅僅是如果核僅僅是 ()xy的一個函數(shù)，即所謂的位移核且積分范的一個函數(shù)，即所謂的位移核且積分范圍是圍是，則可以應(yīng)用

14、傅立葉變換來求解?？紤]方程，則可以應(yīng)用傅立葉變換來求解?？紤]方程 ( )() ( )( )f xK xy f y dyx對此方程進(jìn)行傅氏變換，并記對此方程進(jìn)行傅氏變換，并記 ( )( )F f xf( , )( , )( )i xF K x yK x y edxK ( )( )Fx 則由卷積定理有則由卷積定理有() ( )( ) ( )FK xy f y dyKf( )( )( ) ( )fKf 2022-3-2314 5 積分方程法積分方程法 5. 3 具有位移核的方程的求解具有位移核的方程的求解 因此因此( )( )1( )fK 如果我們能求上式的逆變換，就能得到方程的解。如果我們能求上式

15、的逆變換，就能得到方程的解。如果積分區(qū)間是從如果積分區(qū)間是從0到到x， 具有一位移核，且被積函數(shù)對于具有一位移核，且被積函數(shù)對于 0 x 則可用拉氏變換來求解，因?yàn)樵谶@種情況下也有相應(yīng)的卷積積分則可用拉氏變換來求解，因?yàn)樵谶@種情況下也有相應(yīng)的卷積積分定理。定理。 2022-3-2315 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 求解積分方程求解積分方程 ( )( )( , ) ( )baf xg xK x y f y dy的另一個直接方法就是迭代法，我們首先取近似的另一個直接方法就是迭代法，我們首先取近似0( )( )fxg x將此式代入原方程將此式代入原方程 右邊的積分中，便得到

16、右邊的積分中，便得到一級近似一級近似 1( )( )( , ) ( )baf xg xK x y g y dy再將一級近似代入原式的右邊，便得到再將一級近似代入原式的右邊，便得到 二級近似二級近似 22( )( )( , ) ( )( , )( ,) ()bbbaaafxg xK x y g y dydydy K x y K y y g y零級近似零級近似 2022-3-2316 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 重復(fù)迭代，得級數(shù)重復(fù)迭代，得級數(shù) 1( )( )( , ) ( )bnnanf xg xKx y g y dy其中其中 11( , )( , )( , )( ,)

17、(, )bnnaK x yK x yKx yK x y Ky y dy(1,2,)n 被稱為被稱為諾依曼級數(shù)諾依曼級數(shù)或積分方程的或積分方程的諾依曼解諾依曼解。可以證明，如果核可以證明，如果核 和和 在區(qū)間在區(qū)間 ( , )K x y( )f x,ax yb上連續(xù)，上連續(xù)， 對于足夠小的對于足夠小的 ，該級數(shù)解將收斂。，該級數(shù)解將收斂。2022-3-2317 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 其中其中 例例3. 求解描述粒子運(yùn)動的薛定諤方程求解描述粒子運(yùn)動的薛定諤方程2( )( ) ( )( )2rV rrErm( ) r表示粒子的波函數(shù)，第一項(xiàng)表示粒子的動能，表示粒子的波

18、函數(shù)，第一項(xiàng)表示粒子的動能， V (r)表示作用勢，表示作用勢，E表示系統(tǒng)的總能量，它可表為表示系統(tǒng)的總能量，它可表為222kEm解：方程又可寫為解：方程又可寫為222( )( )( ) ( )mrkrV rr此方程具有邊界條件此方程具有邊界條件( )( , )ikrirerefr k r2022-3-2318 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 其中其中 222( )( )( ) ( )mrkrV rr邊界條件邊界條件( )( , )ikrirerefr k r,第一項(xiàng)表示入射粒子的平面波，第二項(xiàng)表示入射粒子第一項(xiàng)表示入射粒子的平面波，第二項(xiàng)表示入射粒子與與V (r)的作用

19、而散射的粒子的球面波。的作用而散射的粒子的球面波。 222kmE h于是，由格林函數(shù)法知亥姆霍茲方程于是，由格林函數(shù)法知亥姆霍茲方程 的格林函數(shù)為的格林函數(shù)為 1( ,)4ikeG r rr rrr這樣，我們可以將散射問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉e分方程這樣，我們可以將散射問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉e分方程22( )( ) ( )4ikimeedVr rk rrrrrrr2022-3-2319 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 其中其中 ,第一項(xiàng)是用來調(diào)整解使之滿足邊界條件的補(bǔ)充修正函數(shù)。第一項(xiàng)是用來調(diào)整解使之滿足邊界條件的補(bǔ)充修正函數(shù)。解可以寫為諾依曼級數(shù)解可以寫為諾依曼級數(shù)11( , )( , )( ,

20、 )( ,)(, )bnnaK x yK x yKx yK x y Ky y dy由第一代迭代，即取由第一代迭代，即取 0( )ik rre我們可得到一非常重要的結(jié)果，被稱作我們可得到一非常重要的結(jié)果，被稱作玻恩玻恩(Born)近似近似2( )( )2ikiimeedVer rk rk rrrrrr記記12( )( )2ikimeVed r rk rrrrrr2022-3-2320 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 繼續(xù)迭代得繼續(xù)迭代得222( )()( )()2ikikimeeVVed drr r rrrk rrrrr rrr于是解可表示為級數(shù)于是解可表示為級數(shù)012(

21、)( )( )( )rrrr這個級數(shù)解當(dāng)這個級數(shù)解當(dāng) ( )V r較小時，便能很快收斂。較小時，便能很快收斂。 2022-3-2321 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 通過迭代解法將通過迭代解法將 g (x) 作為作為f (x) 的零級近似，代入得方程的一級的零級近似，代入得方程的一級近似，繼續(xù)下去，得到近似，繼續(xù)下去，得到由第二類的弗雷德霍姆方程由第二類的弗雷德霍姆方程這個級數(shù)解是非收斂的條件可以利用算子的性質(zhì)進(jìn)行討論這個級數(shù)解是非收斂的條件可以利用算子的性質(zhì)進(jìn)行討論( )( )( , ) ( )baf xg xK x y f y dy0( )( )fxg x10( )

22、( )( , )( )baf xg xk x y fy dy21( )( )( , )( )bafxg xk x y fy dy1( )( )( , )( )bnnafxg xk x y fy dy2022-3-2322 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 將迭代解法表示為更為抽象的算子形式將迭代解法表示為更為抽象的算子形式注意到雖然注意到雖然K是積分算子，但是積分算子，但I(xiàn)不是。當(dāng)不是。當(dāng)K在某種意義下在某種意義下“小小” ，則我們可以將其展開為則我們可以將其展開為因?yàn)橐呀?jīng)要求因?yàn)橐呀?jīng)要求當(dāng)當(dāng)K作用在作用在V中的任何元素上時產(chǎn)生中的任何元素上時產(chǎn)生V中的另一個中的另一個元素

23、，元素，所以可把所以可把 K n 簡單定義為簡單定義為K的連續(xù)作用：的連續(xù)作用： fgKf若算子方程若算子方程 的逆存在，則問題在形式上就解決的逆存在，則問題在形式上就解決了。此時了。此時 ()IK fg1()fIKg12()IKIKK232,KKK KKK2022-3-2323 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 對于對于K的這個限制并不是無關(guān)緊要的，因?yàn)橐恍┛瓷先ズ侠淼乃愕倪@個限制并不是無關(guān)緊要的，因?yàn)橐恍┛瓷先ズ侠淼乃阕?，?dāng)它作用在子，當(dāng)它作用在V上時，所產(chǎn)生的客體不在上時，所產(chǎn)生的客體不在V中。例如：考慮在中。例如：考慮在0,1上定義的單變量的平方可積函數(shù)空間上定義的

24、單變量的平方可積函數(shù)空間L20,1，將算子，將算子d / d x作作用在這個空間上，顯然，用在這個空間上，顯然， 是屬于是屬于L20,1空間的，但空間的，但不屬于不屬于L20,1，因此，因此 d / d x 不能把不能把L20,1空間中的每一個元素變空間中的每一個元素變換成同一空間中的另一個元素，所以對我們的要求來說，它不換成同一空間中的另一個元素，所以對我們的要求來說，它不是可允許的算子。是可允許的算子。 ( )f xx1( )2df xdxx2022-3-2324 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 收斂時，它就是方程收斂時，它就是方程 的解。上述級數(shù)式，數(shù)學(xué)家稱的解。上

25、述級數(shù)式，數(shù)學(xué)家稱為諾依曼級數(shù)，而物理學(xué)家稱為波恩級數(shù)，因?yàn)檎邱R克思波為諾依曼級數(shù)，而物理學(xué)家稱為波恩級數(shù)，因?yàn)檎邱R克思波恩首先在量子力學(xué)中運(yùn)用了基本迭代的想法。恩首先在量子力學(xué)中運(yùn)用了基本迭代的想法。 假設(shè)假設(shè)12()IKIKK的右邊的右邊“收斂收斂”(收斂上的引收斂上的引號號是因?yàn)檫€沒對算子的收斂性仔細(xì)加以定義是因?yàn)檫€沒對算子的收斂性仔細(xì)加以定義)因此它收斂所趨近的因此它收斂所趨近的算子是算子是(I -K )的逆算子，這是因?yàn)閷⒌哪嫠阕?，這是因?yàn)閷?I -K )從任意一邊去乘從任意一邊去乘2IKK都給出都給出I ，因此我們猜測，當(dāng)級數(shù)，因此我們猜測，當(dāng)級數(shù)23fgKgK gK gfgK

26、f2022-3-2325則可以證明：當(dāng)則可以證明：當(dāng) ，那么由，那么由 5 積分方程法積分方程法 5. 4 迭代解法迭代解法 假設(shè)假設(shè): a)級數(shù)解級數(shù)解1()Mba( )0g x 23fgKgK gK g, x y收斂的條件：收斂的條件：b)在在a ,b 內(nèi)，內(nèi)， 有界，即有界，即,k x y, , max,x ya bk x yMc) bag x dx存在，且等于一個有限的常數(shù)存在，且等于一個有限的常數(shù)C.2fgKgK g表示的諾依曼級數(shù)就收斂。但這絕不意味著要使諾依曼級數(shù)表示的諾依曼級數(shù)就收斂。但這絕不意味著要使諾依曼級數(shù)收斂，收斂，M就必須小于就必須小于 。很容易構(gòu)造出一些核，對于。很

27、容易構(gòu)造出一些核，對于1()baM大于大于 但它的諾依曼級數(shù)仍然收斂。即該條件是但它的諾依曼級數(shù)仍然收斂。即該條件是1()ba保障諾依曼級數(shù)收斂的充分非必要條件。保障諾依曼級數(shù)收斂的充分非必要條件。2022-3-2326 5 積分方程法積分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 求解積分方程求解積分方程 ( )( )( , ) ( )baf xg xK x y f y dy用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一個更完善的級數(shù)解用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一個更完善的級數(shù)解 。 通過細(xì)分積分區(qū)間通過細(xì)分積分區(qū)間 ，用求和代替積分，解得到，用求和代替積分，解得到axb的代數(shù)方程，然后討

28、論無限多的細(xì)分的極限，結(jié)果得到積分方程的代數(shù)方程，然后討論無限多的細(xì)分的極限，結(jié)果得到積分方程 的解為的解為 ( )( )( , ; ) ( )baf xg xR x yg y dy其中其中 ( , ; )R x y被稱為解核，是兩個無窮級數(shù)的比被稱為解核，是兩個無窮級數(shù)的比 ( , ; )( , ; )( )D x yR x yD2022-3-2327 5 積分方程法積分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 其中其中 0( 1)( , ; )( , )!nnnnD x yB x yn0( 1)( )!nnnnDCn而而 nB的定義為的定義為01121( , )( , )( , )bbbnnnaaanB x yK x yxttB x yKdt dtdtytt (1,2,3)n 其中，行列式其中，行列式 2022-3-2328 5 積分方程法積分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 其中，行列式其中，行列式11 211111 21( , )( , )( ,)( , )( , )( ,)( , )( , )( ,)nnnnnnnnK x y K x tK x txt ttK t y K t tK t tKyt ttK ty K t tK t t的定義為的定義為 nC1 20121 21,bbbnnnaaant ttCCKdt dtdtt tt (