應(yīng)用數(shù)學方向動力系統(tǒng)第二章非線性微分方程動力系統(tǒng)的一般性研究

1、.第二章 非線性微分動力系統(tǒng)的一般性研究 在對一個由非線性微分方程所描述的數(shù)學模型設(shè)計一個計算格式之前，在對該模型所表示的控制系統(tǒng)進行鎮(zhèn)定設(shè)計或其他工作之前，人們往往希望對該系統(tǒng)可能呈現(xiàn)的動態(tài)特性有一個清楚的了解。特別是當系統(tǒng)模型包含若干個可變參數(shù)時，人們又希望知道，這些參數(shù)的變化將如何影響整個系統(tǒng)的動態(tài)特性。本章主要介紹非線性微分方程的一般理論，它將是進一步研究和討論以下幾章的基礎(chǔ)。本章中將研究非線性常微分方程定義的動力系統(tǒng)： 其中，是定義在某個開集中的一階連續(xù)可微函數(shù)。首先，介紹系統(tǒng)(2.1)的流在任何常點鄰域的拓撲結(jié)構(gòu)的共同特征。然后，分別介紹非線性微分方程的解的動態(tài)特性研究中的三個主要

2、的內(nèi)容，即方程的平衡點、閉軌以及軌線的漸近性態(tài)分析。2.1 常點流、直化定理本節(jié)介紹系統(tǒng)(2.1)的流在任何常點鄰域的拓撲結(jié)構(gòu)的共同特征，即證明如下的直化定理。定理2.1 設(shè)有定義在開集上的動力系統(tǒng)(2.1)，是它的一個常點，則存在的鄰域及其上的微分同胚，它將內(nèi)的流對應(yīng)為內(nèi)原點鄰域的一族平行直線段。證明：由于是常點，是中的非零向量，通過非奇異線性變換（坐標軸的平移、旋轉(zhuǎn)和拉伸），可將對應(yīng)為新坐標系的原點，且化為列向量（簡記為），其中表示向量的轉(zhuǎn)置，代表維零向量，而微分系統(tǒng)可化為與此同時，的鄰域，在線性變換的作用下化為原點參見圖2.1(b)。根據(jù)解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在的鄰域和包

3、含的區(qū)間，使得系統(tǒng)(2.1) 從中任何一點出發(fā)的解在上存在，且關(guān)于其變量是連續(xù)可微的。 進一步，即對任意的，其中，系統(tǒng)(2.1)過點有解曲線滿足。 令，則得到映射?？疾鞂?dǎo)算子，因。又由于，故有，其中表示階單位方陣。于是導(dǎo)算子。由反函數(shù)定理知，在的一個鄰域，為局部微分同胚。取的鄰域。由于均為微分同胚，因而也是微分同胚，且它將中(2.1)的常點的鄰域內(nèi)的流映射為中開集內(nèi)的一族平行于軸的直線段（見圖2.1）。證畢。圖2.1 對于離散系統(tǒng)的常點，有類似結(jié)論。只需改為：在常點鄰近的離散軌道在微分同胚之下，都相應(yīng)分布在一族平行直線段上。2.2 平衡點及其動態(tài)特性2.2.1 基本概念 考慮以下非線

4、性常微分方程定義的動力系統(tǒng)： 定義2.1 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個平衡點，它是“穩(wěn)定的”是指：如果對的任一個鄰域，存在個子鄰域，使沿系統(tǒng)(2.1)的任何個滿足初始條件：的解對皆在存在且位于之中(圖2.2)。進而，如果可選得一個，使得對任何都有那么被稱為是浙近穩(wěn)定的平衡點或匯(圖2.3)。 圖2.2 穩(wěn)定平衡點 圖2.3 漸近穩(wěn)定平衡點 定義2.2 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個平衡點，且沒有零特征值和純虛數(shù)特征值，那么被稱為是雙曲型的平衡點或非退化平衡點。 顯然，對雙曲型平衡點而言如果所有特征值皆有負實部，那么是漸近穩(wěn)定平衡點，而當?shù)奶卣髦抵心承┚哂胸搶嵅浚硪恍﹨s具有正實部時，是不穩(wěn)定的，它被

5、稱為鞍點(saddle)；進而，如果所有持征值皆有正實部，那么是不穩(wěn)定平衡點，此時被稱之為源(source)。 例題2.1 (Lienard方程)考慮的平衡點及其穩(wěn)定性。 易推得，Lienard方程的等價形式為其中，。從定義可知，該方程平衡點是，同時該系統(tǒng)在平衡點處Jacobian矩陣為其兩個特征值沒分別是所以，當時，平衡點是匯；而時，是源。2.2.2 平衡點穩(wěn)定性分析 對于雙曲型平衡點而言，其穩(wěn)定性完全可以由相應(yīng)的線性化系統(tǒng)來判斷。假設(shè)是系統(tǒng)(1.1)的一個平衡點，那么在點系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)定義為其中是的Jacobian矩陣，。以下定理給出了個十分有用的結(jié)論，即雙曲型平衡點的穩(wěn)定性與其相應(yīng)的線

6、性近似系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性樣。 定理2.2 如果沒有零或純虛數(shù)特征值，那么存在一對一連續(xù)可逆變換(稱之為同胚)，它定義于中的某個鄰域之內(nèi)，將非線性方程的解映射為相應(yīng)線性方程(1.2)的解，并保持解的性態(tài)不變。 以上定理的證明可以在Hartman P在1964年出版的專著中找到。這里不再引述。 然而，當不是雙曲型不動點時，就無法應(yīng)用上述定理，從線性化系統(tǒng)來判斷其穩(wěn)定性，下面的Liapunov定理給出了條途徑。 定理2.3 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個平衡點，如果存在一個可微函數(shù)，它定義于的某個鄰域內(nèi)，且，當時。，在中，其中是(2.1)的軌線。那么是穩(wěn)定的。 進而，如果在中，那么是漸近穩(wěn)定的。 上述定

7、理給出了一個并不需要求解而判斷不動點穩(wěn)定性的方法，但是定理中的函數(shù)(被稱為Liapunov函數(shù))的構(gòu)造卻是一件不容易的事。上述定理的證明可參見常微分方程有關(guān)穩(wěn)定性理論的部分。2.2.3 平衡點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形 定義2.3 系統(tǒng)(2.1)的穩(wěn)定子空間記作，不穩(wěn)定子空間記作，而中心子空間記作。其中是對應(yīng)于具有負實部特征值的廣義特征向量，是對應(yīng)于正實部特征值的廣義特征向量，而是對應(yīng)于具有零實部的特征值的廣義特征向量。它們分別又稱為不變穩(wěn)定、非穩(wěn)定和中心子空間。 例題2.2 如果那么如圖2.4所示。圖2.4 廣義特征空間定義2.4 假設(shè)是(2.1)的一個平衡點，系統(tǒng)(2.1)的流是，那么的局部穩(wěn)

8、定流形和局部非穩(wěn)定流形分別是其中是的一個鄰域。 不難看出和給出了線性化系統(tǒng)(2.1)的穩(wěn)定子空間和不穩(wěn)定子空間的非線性的模擬。以下定理給出了更確切的描述。 定理2.4 (平衡點穩(wěn)定流形定理) 假設(shè)有一個雙曲平衡點，那么存在局部穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形和，其維數(shù)為和，分別與線性化系統(tǒng)的子空間和的維數(shù)相等，且與和相切。同時，和與具有相同的光滑性。 上述結(jié)論如圖2.5所示，其證明可參閱Hartman1964和7。圖2.5 穩(wěn)定流形進而還有如下的中心流形定理。定理2.5 假設(shè)是上定義的一個向量場，。讓，其譜分解為又設(shè)和的廣義特征空間分別是和。那么，存在著穩(wěn)定的不變流形和不穩(wěn)定的不變流形分別在與和相切和個中心流

9、形與在相切。其中和是唯確定，而并非唯一(如圖2.6)。圖2.6 中心流形、穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形 定義2.5 全局穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形分別為 根據(jù)微分方程(2.1)的解的存在性和唯一性可知，兩個不同的平衡點的穩(wěn)定(或非穩(wěn)定)流形不能相交； (或)也不能自我相交；而不同的平衡點或同一個平衡點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形卻可能相交。 例題2.3 考慮二維系統(tǒng)原點是其唯一的平衡點，其線性化系統(tǒng)為易得分別如圖2.7所示。圖2.7 穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形2.3 閉軌及其動態(tài)特性2.3.1 基本概念 從線性微分方程內(nèi)容已知，常微分方程除了平衡點是其解外，還有可能出現(xiàn)周期解，即假設(shè)為系統(tǒng)(2.1)的解，且存在一個常數(shù)，使

10、得，那么就是(2.1)的一個周期解，該軌線稱之為閉軌（閉環(huán)）或周期軌線。類同平衡點的情況，有： 定義2.6 讓為系統(tǒng)(2.1)的一個閉軌(closed orbit)，為的某一個鄰域。那么，它的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形分別為 定義2.7 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個閉環(huán)，為系統(tǒng)的流。如果對某一個開集，存在一個開子集：，使得，那么是個穩(wěn)定的閉環(huán)；若對任一個開集，都有上述性質(zhì)，并且其中為流與閉軌間的距離，那么，就稱為一個漸近穩(wěn)定的閉環(huán)（如圖2.8所示），或周期吸引子。圖2.8 周期吸引子2.3.2 Poincare映射 在經(jīng)典的常微分方程理論中，人們比較詳細地研究了線性系統(tǒng)及部分類型非線性系統(tǒng)的周期解的存

11、在性和穩(wěn)定件，以下所述的Poincare映射法從幾何的觀點分析了閉執(zhí)的存在性和穩(wěn)定性。 假定是中由非線性系統(tǒng)的某個流的一個閉軌，又設(shè)為一個維的超曲面，且對所有的皆成立，其中是在處的單位法向量（此時，稱之為流與處處橫截）。設(shè)與有唯一的交點，為的某個鄰域。那么對上某點的Poincare映射定義為其中是經(jīng)點的軌線首次回到所需的時間(一般說來，依賴于，也不定等于閉軌的周期，然而，當時將有)。圖2.9 Poincare映射 顯然，點是Poincare映射的一個平衡點。同時，由定義知道，Poincare映射可以從微分方程的通解來取得。 例題2.4 考慮一個平面系統(tǒng)：取橫截超曲面是。 利用極坐標，將上述方程

12、改寫成此時超曲面就是，于是可解得全局流為。取，那么Poincare映射便為.易見時的一個平衡點，即表示原系統(tǒng)有一個半徑為1的圓閉軌。2.3.3 映射的動態(tài)特性和閉軌的穩(wěn)定性 定義2.8 假設(shè)映射，其中為開集，如果，那么，稱之為映射的一個平衡點。 定義2.9 假設(shè)是映射的一個平衡點，如果對的每一個鄰域，存在一個于鄰域，使得，且那么稱是漸近穩(wěn)定的，或稱之為匯。 定理2.6 假設(shè)是映射的一個平衡點，且，那么是漸近穩(wěn)定的。 證 為敘述方便起見，設(shè)，由條件及線性代數(shù)理論，在中適當選定一個范圍后，對某個常數(shù)將有讓，根據(jù)Taylor定理，存在的一個鄰域，使得于是對的任一個鄰域，選為以為中心，半徑為充分小的超

13、球，且。所以即及故，且 由此定理可見，倘若是Poincare映射的一個匯，那么所對應(yīng)的閉軌是漸近穩(wěn)定的。根據(jù)此結(jié)論由例題2.4中Poincare映射可算得所以閉軌是漸近穩(wěn)定的。這樣一來，我們證明了例題2.4中的系統(tǒng)存在一個漸近穩(wěn)定的閉軌。 利用Poincare映射研究閉軌的存在性和穩(wěn)定有其幾何直觀上的優(yōu)點，而從形式上的研究，平均化方法不失也是一個有效的手段。2.3.4 平均化定理和擾動系統(tǒng)閑軌 在振蕩器研究中人們常常會遇到如下形式的微分方程動力系統(tǒng)：(2.4)其中是（）函數(shù)，它在有界集上有界，且關(guān)于是周期為的函數(shù)。于是，可以根據(jù)下述定理來判斷閉軌的存在性和穩(wěn)定性。 定理2.7 系統(tǒng)(2.4)的

14、平均化方程為(2.5) （1） 如果是系統(tǒng)(2.5)的一個雙曲型平衡點，那么存在，使得對所有的，系統(tǒng)(2.4)有唯一的雙曲型周期軌線，并且具有與相同的穩(wěn)定性。（2） 如果是系統(tǒng)(2.4)的位于雙曲周期軌線的穩(wěn)定流形上的解，而是系統(tǒng)(2.5)的位于雙曲平衡點的穩(wěn)定流形上的解，并且，那么。（類似結(jié)論對不穩(wěn)定流形上的解也成立，只是） 證 如下一章定理3.7所述，存在一個坐標變換它可使式(2.4)變?yōu)?2.6)其中是時間的周期函數(shù)，周期為。 這里將式(2.5)和(2.6)改寫成：(2.7)和(2.8)其中是長度為的圓周。 很清楚，如果能證明式(2.7)雙曲型閉軌的存在性意味著式(2.8)具有相同類型的

15、周期軌線，那么本定理之(1)就能得證。于是考慮它們的Poincare映射。 定義一個截面，并設(shè)和分別是由式(2.7)和(2.8)所定義的Poincare映射，其中是某個開集。 因為式(2.8)的解是式(2.7)的解的-接近（），所以也是-接近。 如果是式(2.5)的雙曲平衡點，那么它也是的雙曲不動點，因此，可逆，這意味著有唯一解且是-接近。 進而，由于的特征值連續(xù)地依賴于，所以兩個平衡點具有相同的穩(wěn)定性。于是式(2.8)有周期軌線且-接近于。 綜上所述，式(2.5)有雙曲型平衡點表示式(2.6)有同類型的閉軌。而上面論述指出，此時式(2.8)也有具有相同類型的閉軌。從式(2.7)的由來知道式(

16、2.6)有相同穩(wěn)定性的雙曲型周期軌線，當然作為對逆變換后的系統(tǒng)(2.4)也具有相同穩(wěn)定性的雙曲型周期軌線且-接近于，即第(1)點得證。 (2)的證明可參見文獻2。該結(jié)論同時也是Hirsch，1977一書中定理4.1的直接推論。故而這里不再復(fù)述了。利用平均化定理，對周期軌線的研究有時就變得十分簡單。例題2.5 考慮。因為其平均方程是是其一個穩(wěn)定的雙曲型平衡點，所以原系統(tǒng)在附近有一個穩(wěn)定的雙曲型閉軌。例題2.6 考慮Van der Pol振蕩器系統(tǒng)：令，那么，原系統(tǒng)變?yōu)?2.9)消去可得(2.10)從而可應(yīng)用平均化定理。不難算得，在讓后的平均方程為顯然它的平衡點是，而由于的無意義及的平凡性，平均方

17、程只有不穩(wěn)定的雙曲型平衡點，從而式(2.10)有個位于鄰域的不穩(wěn)定的周期軌線。由于增加時隨之減少，所以對應(yīng)的式(2.9)的周期軌線存在且穩(wěn)定。 例題2.7 考慮受迫的Van der Po1系統(tǒng)：在坐標變換之下，系統(tǒng)變?yōu)橐韵碌南到y(tǒng)，如果定義那么系統(tǒng)的平均方程將為其平衡點分布如圖2.10.圖2.10 Van der Po1系統(tǒng)平衡點分布I： 唯一穩(wěn)定平衡點；II：兩個平衡點，其一為匯，另一為鞍點；III：唯一不穩(wěn)定平衡點；IVb：三個平衡點：匯、源和鞍點。系統(tǒng)平衡點對應(yīng)于系統(tǒng)的周期軌線，也對應(yīng)于系統(tǒng)的周期軌線。2.4 軌線的漸近性態(tài) 對動態(tài)系統(tǒng)進行定性分析中，除了判定平衡點、閉軌的存在性與穩(wěn)定性之

18、外，軌線的漸近性態(tài)分析也是一項主要的內(nèi)容。2.4.1 基本概念 定義2.10 (非游蕩集和游蕩集) 一個點對于系統(tǒng)流非游蕩是指：如果對的任一個鄰域，都存在任意大的使得。由所有這樣的非游蕩點組成集合就稱之為非游蕩集。否則，被稱之為游蕩點和游蕩集。 顯然穩(wěn)定的平衡點和周期軌道是非游蕩集。 又如阻尼調(diào)和振蕩器系統(tǒng)方程是，或可寫成是其唯一的非游蕩點。而對無阻尼振蕩器而言，平面上所有的點諧是非游蕩點。 定義 2.12 (吸引集) 一個閉的不變集被稱之為吸引集是指：存在的某個鄰域，使得和對所有的皆成立。 繼而，定義是的吸引域(即是的不變流形)。 同樣，排斥集是指和對所有的皆成立的集合。 根據(jù)定義可知，分離

19、的吸引集的吸引域必然不相交，它們是由非吸引集的穩(wěn)定流形所分隔(如圖2.11)。圖2.11 吸引域2.4.2 非線性系統(tǒng)的軌線 非線性常微分方程動力系統(tǒng)(1.1)的軌線會呈現(xiàn)出許多的動態(tài)特性和漸近特性，但是從軌線的形式而言，以下定理指出其軌線只能是屬三類：平衡點、閉軌和不封閉軌線之一。 定理2.8 系統(tǒng)(1.1)的執(zhí)線必為以下三類型之一： (1) 平衡點：對所有皆成立； (2) 閉軌：存在一個常數(shù)，使得，但對任何的，(即為此閉軌的周期)； (3) 非閉軌線：即時。 證 若流不是類型(3)，那么有，使得所以令，顯然，且令是一切使上式成立的正數(shù)的集合，因為集合又有下界，所以必有下確界，即在內(nèi)存在個數(shù)

20、列，使得。 若，那么意味著，即軌線為閉軌。 若，由于（其中方括號表示取整數(shù)部分)對任意固定的皆成立，即有，即，軌線為平衡點。2.5 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 一個系統(tǒng)中小所涉及到的函數(shù)在受到小擾動后，系統(tǒng)能否仍然保持其定性性態(tài)的問題已引起科方而研究的關(guān)注，例如自動控制理論中的魯棒性(Robustness)的研究。本節(jié)作一簡介，說明系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題所關(guān)系到的概念和某些結(jié)論。2.5.1 基本概念 定義2.13 假設(shè)，那么被稱為的一個的-攝動是指：存在個緊集，使得(在集合上)并且對所有的皆有。 定義2.14 兩個映射和是等價(或共扼)()是指：存在個的一對一可逆連續(xù)映射 (即微分同胚) ，使得 若和是等價，那么

21、稱它們?yōu)橥負涞葍r。 定義2.15 兩個向量場和說是等價是指：存在個的一對一可逆連續(xù)映射 (即微分同胚) ，使得的軌線與的軌線對應(yīng)且保持性態(tài)不變(即對任何的和，存在使得)。 定義2.16 (結(jié)構(gòu)穩(wěn)定) 映射(或一個向量場)稱為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定是指：存在小參數(shù)，使得(或)所有的所有-攝動都與(或)拓撲等價。2.5.2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性定理定理2.9 假設(shè)是開集上的一個向量場，其中且滿足以下條件： (1) 在中只有一個平衡點，且它是一個匯； (2) 沿著的邊界，向量場指向內(nèi)部，即。 (3) ，是的流，那么在上結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。 該定理的證明在文獻1中可以查到，此基本思路是證明對一對非常接近的向量場而言，存在唯一的平衡點，

22、它位于之鄰近；其次的所有在內(nèi)的軌線都趨于。一旦上述結(jié)論得證，就可以定義一個一對一的可逆連續(xù)映射(同胚映射)，且對應(yīng)于-軌線和-軌線。從而和是拓撲等價，即為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。綜上所述，很清楚地可看到具有非雙曲型平衡點的向量場不可能是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，同樣，該向量場所有的閉軌必須是雙曲型的。2.5.3 平衡點和閉軌的保留性 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)具有許多“優(yōu)秀”的品質(zhì)，任何允分靠近的系統(tǒng)具有相同的定性性態(tài)。其一是平衡點的保留性：。 定理2.10 假設(shè)是一個向量場，是的一個雙曲平衡點，那么，對任何，總存在的一個鄰域以及的一個鄰域，使得對任何，有唯一平衡點，它也是雙曲型平衡點，且。對于閉環(huán)也有類似的結(jié)論。 定理2.11 讓是

23、一個向量場，其流是。我們又假設(shè)存在閉軌，周期為(為方便起見，沒在上)。讓為局部截割在處的一個Poincare映射，為閉軌的一個鄰域，并設(shè)不是映射的特征值。那么存在的一個鄰域，使得對每個，都有一個閉軌。不一定是唯的閉軌，然而當是周期吸引子且g充分接近時，也是周期吸引子且唯一。2.6 二維流在本節(jié)中，考慮以下的二維常微分方程定義的動力系統(tǒng)：(2.11)其中和充分光滑。多年來，人們對二維系統(tǒng)作了許多探索，揭示了其復(fù)雜和豐富的動態(tài)特性。本節(jié)既是一個基本小結(jié)又是如何進行動態(tài)分析的演示，使讀者能更直觀地理解前面的論述。2.6.1 二維線性系統(tǒng)的動態(tài)特性二維線性系統(tǒng)的形式為(2.12)其中是常數(shù)；記稱之為系

24、統(tǒng)(2.12)的系數(shù)矩陣。對系統(tǒng)(2.12)的分析已經(jīng)全部完成，其結(jié)論如下。 假定矩陣的秩等于(對于的秩小于的情況，讀者易得所有結(jié)論)。那么為系統(tǒng)(2.12)的唯一平衡點，并且根據(jù)矩陣的特征值，該平衡點的穩(wěn)定性和軌線性態(tài)有以下類型：(1) 具有兩個異號的實特征值：，那么被稱為鞍點其軌線圖如圖2.12所示。圖2.12 鞍點 (2) 具有兩個帶有負實部的特征值時， 有以下4種情況出現(xiàn)，此時點被稱為匯（sink）。 有兩個負的實特征值，且互不相等，那么稱為結(jié)點，其執(zhí)線圖如圖2.13所示。 有兩個相等的負的實特征值，且可對角化，被稱為臨界結(jié)點，共軌線圖如圖2.14所示。 有重的負特征值，但不能對角化，

25、此時稱為非正常結(jié)點，其軌線圖如圖2.15所示。 有兩個帶有負實部復(fù)特征值，那么被稱為焦點，其軌線如圖2.16所示。 (3) 具有兩個帶正實部的特征值時，也有與上相應(yīng)的4種情況出現(xiàn)。此時為源(source)。 有兩個正的實特征值，且互不相等，那么稱為結(jié)點，其執(zhí)線圖如圖2.17所示。 有兩個相等的正的實特征值，且可對角化，被稱為臨界結(jié)點，共軌線圖如圖2.18所示。 圖2.13 穩(wěn)定結(jié)點 圖2.14穩(wěn)定臨界結(jié)點 圖2.15 穩(wěn)定非正常結(jié)點 圖2.16 穩(wěn)定焦點 有重的正特征值，但不能對角化，此時稱為非正常結(jié)點，其軌線圖如圖2.19所示。 有兩個帶有正實部復(fù)特征值，那么被稱為焦點，其軌線如圖2.20所

26、示。 (4) 的特征值是兩個相互共扼的純虛數(shù)。那么為中心，其軌線圖如圖2.21所示。 綜上所述1情況(1)和(3)中的原點是不穩(wěn)定平衡點，情況(2)中的原點是漸近穩(wěn)定平衡點，而情況(4)中的原點是穩(wěn)定而非漸近穩(wěn)定的平衡點。圖2.17 不穩(wěn)定結(jié)點 圖2.18不穩(wěn)定臨界結(jié)點圖2.19 不穩(wěn)定非正常退化結(jié)點 圖2.20不穩(wěn)定焦點 圖2.21中心 2線性二維流的軌線如各圖所示，在遠離平衡點處沒有其它動態(tài)出現(xiàn)，即軌線圖是全局性態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 3當沒有零實部特征值時，線性系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的（即情況(1),(2)和(3)）。2.6.2 二維非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性 如上所述，對二維非線性系統(tǒng)動態(tài)特性分析的第步就是尋找

27、其平衡點，即從和求解。繼而系統(tǒng)對應(yīng)的線性化系統(tǒng)就是(2.13)或其中。如果矩陣的所有特征值皆無零實部，那么不僅是展示系統(tǒng)(2.11)的解的漸近性態(tài)，而且還提供了相位圖的局部拓撲結(jié)構(gòu)。然而，當線性化系統(tǒng)(2.13)的對應(yīng)的特征值是對純虛數(shù)（即系統(tǒng)(2.13)的平衡點是中心）時，可能不再是系統(tǒng)(2.11)的中心，其性質(zhì)的判斷有后繼判別法和形式級數(shù)判別法，讀者可考文獻4。另則，利用Liapunov方法可斷定平衡點的穩(wěn)定性。這一類的論述可在一般的常微分方程論著中發(fā)現(xiàn)，此處不再復(fù)述了。 第二步探索就是判定該系統(tǒng)的周期解的存在性。對此，已有許多結(jié)論，而較為常用的有： 定理2.12 (Bendixson準則

28、) 如果在一個單連通區(qū)域上，不恒等于零也不改變符號，那么系統(tǒng)(2.11)在內(nèi)沒有閉軌。 定理2.13 (Dulac準則) 如果有函數(shù)連續(xù)，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，使得在單連通區(qū)域內(nèi)不變號，則系統(tǒng)(2.11)在內(nèi)沒有閉軌。 例題2.8 研究系統(tǒng)：并畫出相位圖。圖2.22 全局相位圖解 系統(tǒng)有平衡點，其中是鞍點，皆是穩(wěn)定的焦點。 在第一象限內(nèi)，用Dulac準則，取可得。它在第一象限內(nèi)不變號，所以系統(tǒng)在第一象限內(nèi)無閉軌。類似可證在其他象限內(nèi)亦無閉軌。 又由于與都是該系統(tǒng)的軌線，所以不可能存在與軸或軸相交的閉執(zhí)。即系統(tǒng)在上無閉軌，其軌線圖必然如圖2.22所示。 例題2.9 研究系統(tǒng)： 解 系統(tǒng)平衡點是，其中，與是鞍點，是不穩(wěn)定焦點，用Dulac準則，又可斷定系統(tǒng)在上無閉軌。其軌線圖如圖2.23所示。 然而二維流的動態(tài)遠比上述更豐富。 例題2.10 研究： 。它是一個Hamilton系統(tǒng)，其能量函數(shù)為