人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤《數(shù)列求和》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、.課題：必修數(shù)列求和三維目標(biāo)： 1、 知識(shí)與技能（1）通過(guò)對(duì)特殊數(shù)列求和的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生將等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識(shí)靈活運(yùn) 用，培養(yǎng)和提高學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力；（2）在掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式及一些常用的數(shù)列的和的公式的基礎(chǔ)上理解或掌握一些常用的求和的思想方法：公式法、變換通項(xiàng)法（如：分項(xiàng)組合、裂項(xiàng)相消）、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、并項(xiàng)法；（3）會(huì)用上述求和方法解決一些簡(jiǎn)單的與前項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題.2、過(guò)程與方法（1）經(jīng)歷各種基本的求和的思想方法的探究與應(yīng)用，進(jìn)一步理解數(shù)列的求和方法的本質(zhì)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化的能力；在知識(shí)、方法發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀

2、察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過(guò)方法的探索與總結(jié)、公式的推導(dǎo)過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的“美”的價(jià)值，體會(huì)這些思想方法的聯(lián)系和本質(zhì)；為進(jìn)一步熟練、恰當(dāng)運(yùn)用奠定良好的基礎(chǔ)；（3）培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價(jià)值觀(1) 通過(guò)對(duì)數(shù)列知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識(shí)和合作精神；（2）通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感, 形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，體驗(yàn)

3、在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列求和的幾種常用方法：公式法、變換通項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用某種方法前的轉(zhuǎn)化思路及方法的恰當(dāng)性教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過(guò)程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：前面，我們學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其有關(guān)性質(zhì)，并運(yùn)用這些知識(shí)解決了許多相關(guān)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下學(xué)過(guò)的這些基本知識(shí)和性質(zhì)：關(guān)于等差數(shù)列： 差數(shù)列定義：即(n2) 由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n1) 在等差數(shù)列

4、中， 若m + n= p + q 則 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式 ，關(guān)于等比數(shù)列：等比數(shù)列定義：即(n2) 由三個(gè)數(shù)a，G，b組成的等比數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等比數(shù)列，這時(shí)，G叫做a與b的等比中項(xiàng)。 等比數(shù)列通項(xiàng)公式：(n1) 在等比數(shù)列中， 若m + n= p + q 則 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式Sn= （q1） Sn=（q1） 通過(guò)各種求和問(wèn)題，大家可體會(huì)出數(shù)列求和的重要性。兩種重要的數(shù)列都學(xué)完了，下面我們?cè)龠M(jìn)一步總結(jié)一下數(shù)列求和的基本方法，通過(guò)應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)列知識(shí)及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系和綜合運(yùn)用。二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究：同學(xué)們，等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)用的是什么方法呢？這些方法還有

5、進(jìn)一步的運(yùn)用嗎？下面同學(xué)們合作探究一些求和問(wèn)題，看能否還能用上這些方法，并進(jìn)一步總結(jié)出更多的方法?！疽I(lǐng)學(xué)生合作探究，通過(guò)解決相關(guān)的問(wèn)題層層總結(jié)出數(shù)列求和的各種基本方法，展現(xiàn)一些求和方法的廣泛性】【方法一】公式法 前面所做的關(guān)于等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題均是直接采用的公式法，這里就不詳細(xì)介紹了。下面的方法不是直接運(yùn)用公式，大都是通過(guò)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本公式。 利用下列常用求和公式求和（有的要采用轉(zhuǎn)化思想）是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、【方法二】變換通項(xiàng)法（如：分項(xiàng)組合、裂項(xiàng)相消） 問(wèn)題1.求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，【分析】通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生

6、分組合作探究出【方法二】變換通項(xiàng)法中的分項(xiàng)組合【解析】設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)此題說(shuō)明數(shù)列求和的變換通項(xiàng)法的思路充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想；問(wèn)題2.求和 【分析】通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生分組合作探究出【方法二】變換通項(xiàng)法中的裂項(xiàng)相消【解析】 從而 【點(diǎn)評(píng)】解決此題緊抓住通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，進(jìn)行巧妙變形，進(jìn)一步說(shuō)明數(shù)列求和的變換通項(xiàng)法的思路充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想；【方法三】錯(cuò)位相減法 前面推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式就是運(yùn)用了此法問(wèn)題3.求數(shù)列前n項(xiàng)的和.【分析】通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生分組合作探究出【方法三】錯(cuò)位相減法【解析】由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （

7、設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)此題說(shuō)明等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法的重要性；由此可進(jìn)一步通過(guò)各種題目總結(jié)幾種常見(jiàn)求和的方法?！痉椒ㄋ摹康剐蛳嗉臃ㄇ懊嫱茖?dǎo)等差數(shù)列的求和公式就是運(yùn)用了此法問(wèn)題4.的值 【分析】通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生分組合作探究出【方法四】倒序相加法【解析】設(shè). 將式右邊反序得 （倒序） 又因?yàn)?+得 （倒序相加）89 S44.5【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)此題可進(jìn)一步體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法的本質(zhì)【方法五】并項(xiàng)法問(wèn)題5.求1-2+3-4+5-6+2n-1-2n【分析】通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生分組合作探究出【方法五】并項(xiàng)法【解析】1-2+3-4+5-6+2n-1-2n=（1-2）+（3-4）+

8、( 5-6) +( 2n-1-2n) =-1-1-1-1= 【點(diǎn)評(píng)】此題的解法實(shí)際上也是對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行了一些恰當(dāng)?shù)淖兓?、組合，但不是對(duì)某一項(xiàng)，而是對(duì)相鄰的兩項(xiàng)進(jìn)行的變換三、互動(dòng)達(dá)標(biāo) 鞏固所學(xué)：有了上面的各種基本方法，再通過(guò)互動(dòng)地解決下面的針對(duì)性問(wèn)題，鞏固這些方法，從而進(jìn)一步理解這些方法，便于將來(lái)的更加熟練、靈活地運(yùn)用 問(wèn)題.6求下列數(shù)列的前項(xiàng)和：（1）； （2）；（3）5，55，555，5555，；（4）； （5）1 , 2x , 3x2 , 4x3 nxn-1；（x0）（6）cos1°，cos2°， cos3°，··· ， cos178

9、°，cos179°【問(wèn)題答案】 （1）， 原式（2）， =（3）（4） (5) 解：設(shè)Sn=1+2x+3x2+4x3+ +nxn-1 則xSn=x+2x2+3x3+4x3+ +nxn - 得 （1-x）S n = 1+x+x2+x3+ +x n-1-nx n 當(dāng)x=1時(shí)，在原式中Sn=1+2+3+4 + +n=當(dāng)x時(shí) (6)設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°

10、;+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° 0 （合并求和）四、思悟小結(jié)：知識(shí)線：（1）等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式； （2）等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式；（3）數(shù)列的相關(guān)的性質(zhì)及相關(guān)的數(shù)學(xué)公式。思想方法線： （1）數(shù)列求和的基本方法：【方法一】公式法【方法二】變換通項(xiàng)法（如：分項(xiàng)組合、裂項(xiàng)相消）【方法三】錯(cuò)位相減法【方法四】倒序相加法【方法五】并項(xiàng)法（2）轉(zhuǎn)化思想題目線：利用上述思想方法求相關(guān)的數(shù)列的和的問(wèn)題。五、針對(duì)訓(xùn)練 鞏固提高：1求數(shù)列的前

11、n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 當(dāng)a1時(shí)， 當(dāng)時(shí)，2求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 Sn = 3（07高考山東文18）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由已知得解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項(xiàng)為（2）由于由（1）得， 又是等差數(shù)列故4（07高考全國(guó)文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，5（09高考山東文20）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）當(dāng)