函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、第三章第三章 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 引言：引言： 客觀世界的許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化客觀世界的許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，比如的，比如, ,時間的變化是連續(xù)的。所謂連續(xù)就時間的變化是連續(xù)的。所謂連續(xù)就是不間斷，但是在數(shù)學上要用數(shù)學的語言來是不間斷，但是在數(shù)學上要用數(shù)學的語言來描述著這種現(xiàn)象。描述著這種現(xiàn)象。一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點及其分類二、函數(shù)的間斷點及其分類三、連續(xù)函數(shù)求極限的簡便法則三、連續(xù)函數(shù)求極限的簡便法則 3-1 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點學習目標學習目標3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1 1理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷

2、的概念理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念, ,掌握掌握判斷分段函數(shù)在一點連續(xù)的方法；判斷分段函數(shù)在一點連續(xù)的方法；2 2會求函數(shù)的間斷點；會求函數(shù)的間斷點；3 3了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用連續(xù)性求極限。會利用連續(xù)性求極限。3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 1. 1.自變量與函數(shù)的增量自變量與函數(shù)的增量 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量的某一鄰域內有定義，當自變量從初點從初點x1變化到終點變化到終點x2 時，終點與初點的差稱為時，終點與初點的差稱為自變量自變量的改變量的改變量或或增量增量，記為，記為x

3、=x2 -x1顯然有顯然有x2 =x1+xxy01xxx1)(xfy x y 對應的函數(shù)值從從初值對應的函數(shù)值從從初值y1=f(x1)變化變化到終值到終值y2=f(x2)=f(x1+x),其差稱為其差稱為函數(shù)的函數(shù)的改變量改變量或或增量增量，記為，記為y=y2 -y1或y=f(x1+x)-f(x1)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 1. 1.自變量與函數(shù)的增量自變量與函數(shù)的增量自變量的改變量自變量的改變量或或增量增量，記為，記為x=x2 -x1xy01x)(xfy x y 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量或或增量增量，記為，記為y=y2 -y1或y=f(x1+x)-f(x1)xy01x

4、2xx y 2xx、y 可正可負可正可負例例 設設 f (x) =2x+1，分別求，分別求x和和y.（1）x由由2變到變到2.1,（2）x由由2變到變到1.8,解解:（1）x=2.1-2 = 0.1y=f (2.1) -f (2)= (22.1+1)-(22+1) =5.2-5 = 0.2（2） x=1.8-2 = -0.2y=f (1.8) f (2) =(21.8+1)-(22+1) =4.6-5 = -0.4一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 2. 2.函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概

5、念一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的點連續(xù)的形象描述：函數(shù)的點連續(xù)的形象描述： 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)=x+1與與 在點在點x0=1處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。 11)(2xxxgxyo1-112y=f(x)xyo1-112y=g(x) 函數(shù)函數(shù)f(x)圖象在點圖象在點x0=1處處連續(xù)連續(xù)，是一條連續(xù)的曲線；，是一條連續(xù)的曲線； 函數(shù)函數(shù)g(x)圖象在點圖象在點x0=1處處斷開斷開了。了。3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 2. 2.函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念 定義定義1 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某一鄰域

6、內有定義，的某一鄰域內有定義，當當xx0時時f(x)的的極限存在極限存在，并且，并且等于等于該點處的該點處的函數(shù)值函數(shù)值f(x0)，即即 ,則稱則稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)，稱稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點連續(xù)點。00lim( )()xxf xf x 由定義可知，由定義可知，函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)， x0必屬于必屬于函數(shù)函數(shù)f(x)的的定義域定義域。例例如：如： 討論函數(shù)討論函數(shù) 2xy ，在在 2x處的連續(xù)性處的連續(xù)性. 222lim)(limxxfxx)2(4f函數(shù)函數(shù) 2xy 在在 2x處連續(xù)處連續(xù)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷

7、點 2. 2.函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 2. 2.函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念 引入增量記號，定義引入增量記號，定義1中的中的xx0和和f(x)f(x0)，可以改寫為可以改寫為x=x -x00，y=f(x0+x)-f(x0)0。 定義定義2 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某一鄰域內有定義，的某一鄰域內有定義，當當x=x -x00，y=f(x0+x)-f(x0)0，即，即 , 則則稱稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)。0lim

8、0 xy 定義定義2反映了函數(shù)連續(xù)性的本質特征：反映了函數(shù)連續(xù)性的本質特征：自變量變化很小時，函數(shù)值變化也很小。自變量變化很小時，函數(shù)值變化也很小。 函數(shù)函數(shù) y = f(x)在點在點x0連續(xù)的幾何解釋連續(xù)的幾何解釋xy0)(xfy 0 xxx 0 x y xy00 xx xx 0y 00 yx時，時，當：當：顯然顯然y 不趨于不趨于0 連續(xù)的幾何解釋連續(xù)的幾何解釋:自變量的改變量自變量的改變量x0時時, 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量 y0點連續(xù)點連續(xù)在在0 x. 1點不連續(xù)點不連續(xù)在在0 x. 23-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 2. 2.函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概念 函

9、數(shù)在點函數(shù)在點 x0 連續(xù)的定義連續(xù)的定義此定義主要用于此定義主要用于證明函數(shù)的連續(xù)性證明函數(shù)的連續(xù)性 利用此定義可證明利用此定義可證明: :基本初等函數(shù)在定義基本初等函數(shù)在定義域內的連續(xù)性。域內的連續(xù)性。3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 2. 2.函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念)()(00 xfxxfy, 0)(4limlim200 xxyxx)2()2(fxf2)(4xx函數(shù)函數(shù) 2xy 在在 2x處連續(xù)處連續(xù)例例如：如： 討論函數(shù)討論函數(shù) 2xy ，在在 2x處的連續(xù)性處的連續(xù)

10、性. xx 22:3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 3. 3.左連續(xù)和右連續(xù)左連續(xù)和右連續(xù) 定義定義4 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在點在點(a，x0內有定義內有定義,當當x x0-時的左極限時的左極限存在，且等于函數(shù)值存在，且等于函數(shù)值f(x0)， 即即 ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點在點x0處處左連續(xù)左連續(xù)。000(0)lim( )()xxf xf xf x000(0)lim( )()xxf xf xf x 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在點在點x0，b)內有定義內有定義,當當x x0+時的左極限存在，時的左極限存在，且等于函數(shù)值且等于函數(shù)值f(x0)， 即即 ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(

11、x)在點在點x0處處右連續(xù)右連續(xù)。函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0處處連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是f(x0-0）=f(x0+0）=f(x0) 在區(qū)間上在區(qū)間上每一點都連續(xù)每一點都連續(xù)的函數(shù)的函數(shù),叫做在該叫做在該區(qū)間區(qū)間上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點點內內連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函

12、數(shù)的連續(xù)性與間斷點 4. 4.函數(shù)函數(shù)f(x)的區(qū)間連續(xù)性的區(qū)間連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內內單單調調且且連連續(xù)續(xù)在在 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點定理定理1 1 基本初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)的. .定理定理2 2 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是連續(xù)

13、的內都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間. .3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 4. 4.函數(shù)函數(shù)f(x)的區(qū)間連續(xù)性的區(qū)間連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù), 在其定義域內不一定連續(xù)在其定義域內不一定連續(xù);注意注意 1.在分段區(qū)間上定連續(xù)。在分段區(qū)間上定連續(xù)。 2.分段點分段點連續(xù)性需利用定義去判斷。連續(xù)性需利用定義去判斷。步驟：步驟：1、求函數(shù)值、求函數(shù)值f(x0)=?2、求極限值、求極限值 ？3、判斷：、判斷： ？)()(lim00 xfxfxx)(lim

14、0 xfxx5.5.分段函數(shù)的連續(xù)性分段函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.0, 0, 1, 0,1)(2處連續(xù)在討論函數(shù)xxxxxxfxy0 xxf 1)(1)(2 xxf11)0( f1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim200 xxfxx1)0()(lim0 fxfx.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf1)(lim0 xfx2 2. .求極限值求極限值1 1. .求函數(shù)值求函數(shù)值3 3. .判斷：判斷： 分段點兩邊函數(shù)表達式分段點兩邊函數(shù)表達式不同不同需分需分左右極限左右極限3-1 函數(shù)的連續(xù)

15、性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例例2 2.),(sin內連續(xù)內連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對對任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念例例3 3解解 分段函數(shù)的定義可知，分段函數(shù)的定義可知，f(0)=0)(lim)

16、(lim00 xxfxx0),0(f .0)(處連續(xù)在點故函數(shù)xxf.000)(處的連續(xù)性在，討論函數(shù)xxxxxxf)(lim)(lim00 xxfxx0),0(f 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念練習練習) 1(lim)(lim22xxfxx3),2(f4lim)(lim222xxfxx),2(f左左連續(xù)但不連續(xù)但不右右連續(xù)連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf.)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)22122xxxxxxf解解 分段函數(shù)的定義可知，分段函數(shù)的定義可知，f(2)=22=例例4 4.001)(2

17、在定義域內連續(xù)性，討論函數(shù)xxxxxf3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念解解 分段函數(shù)的定義分段函數(shù)的定義域為（域為（-，+）(,0( )1xf xxx 當時，是 的一次函數(shù)；2(0,)( )xf xxx當時，是 的二次函數(shù).在在函數(shù)的分段點函數(shù)的分段點x=0處，函數(shù)的左右極限分別為：處，函數(shù)的左右極限分別為：0(00)lim11xfx20(0 0)lim0 xfx(00)(00)ff所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在點在點x=0處不連續(xù)處不連續(xù)時時當當時時當當時時當當設設1111xbaxxxaxxf)(例例5 5)(limxfx1aaxx)(li

18、m1)(limxfx1babaxx)(lim1在在x = 1處連續(xù)，求處連續(xù)，求a、b的值的值a = -1 b = 2 解解 分段函數(shù)的定義可知，分段函數(shù)的定義可知，f(1)=13-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點課堂小結課堂小結1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);由連續(xù)的定義可知，由連續(xù)的定義可知， 函數(shù)函數(shù) )(xf在點在點 0 x必須滿足三個條件：必須滿足三個條件：函數(shù) )(xf在點在點 0 x處有定義處有定義)(lim0 xfxx存在存在)()(lim00 xfxfxx連續(xù)連續(xù) 以上三個條件只要以上三個

19、條件只要有一個不滿足有一個不滿足，則函數(shù)，則函數(shù)在點在點x0處處不連續(xù)（或間斷）不連續(xù)（或間斷）。課本：課本：P113-114 習題習題3-1（A）1,2,4課后作業(yè)課后作業(yè) 定義定義1 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某一鄰域內有定義，的某一鄰域內有定義，當當xx0時時f(x)的的極限存在極限存在，并且，并且等于等于該點處的該點處的函數(shù)值函數(shù)值f(x0)，即即 ,則稱則稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)，稱稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點連續(xù)點。00lim( )()xxf xf x二、函數(shù)間斷點及其分類二、函數(shù)間斷點及其分類此定義常用于判斷此定義常用于判斷分段函數(shù)分段點

20、分段函數(shù)分段點的連續(xù)性的連續(xù)性函數(shù)的點連續(xù)的概念函數(shù)的點連續(xù)的概念 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點由連續(xù)的定義可知，由連續(xù)的定義可知， 函數(shù)函數(shù) )(xf在點在點 0 x必須滿足三個條件：必須滿足三個條件：函數(shù) )(xf在點在點 0 x處有定義處有定義)(lim0 xfxx存在存在)()(lim00 xfxfxx連續(xù)連續(xù) 以上三個條件只要以上三個條件只要有一個不滿足有一個不滿足，則函數(shù)，則函數(shù)在點在點x0處處不連續(xù)（或間斷）不連續(xù)（或間斷）。二、函數(shù)間斷點及其分類二、函數(shù)間斷點及其分類無定義的點無定義的點不存在)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx有情況之一有

21、情況之一為間斷點為間斷點3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（1）討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 點處的連續(xù)性點處的連續(xù)性xxftan)( 2 x（2）討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 點處的連續(xù)性點處的連續(xù)性11)(2 xxxf1 x2 xy o2 23 xyo112無窮間斷點無窮間斷點可去間斷點可去間斷點二、函數(shù)間斷點及其分類二、函數(shù)間斷點及其分類3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù) )(xf在點 0 x處左右極限都存在的間斷點第一類間斷點左右極限存在且相等左右極限存在且相等 可去間斷點可去間斷點左右極限存在不相等左右極限存在不相等 跳躍間斷點跳躍間斷點3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷

22、點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點二、函數(shù)間斷點及其分類二、函數(shù)間斷點及其分類函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0 處處,左右極限左右極限至少有一個不至少有一個不存在存在的間斷點的間斷點 第二類間斷點無窮無窮間斷點間斷點震蕩震蕩間斷點間斷點3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點二、函數(shù)間斷點及其分類二、函數(shù)間斷點及其分類1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例1 1.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00

23、( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例例2 研究取整函數(shù)研究取整函數(shù)f(x)=x在點在點x=2處的連續(xù)性處的連續(xù)性. 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點解：因為當解：因為當1x2時，時，f(x)=x=1； 當當2x3時，時，f(x)=x=2； 易知易知f(2)=2=2f(2+0)=2=f(2);f(2-0)=1f(2)在點在點x=2處的是右連續(xù)，但不是左連續(xù)處的是右連續(xù)，但不是左連續(xù). 所以取整函數(shù)所以取整函數(shù)在點在點x=2處不連續(xù)，但不是左連續(xù)處不連續(xù)，但不是左連續(xù).2

24、點為取整函數(shù)的跳躍間斷可知2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例3 3.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x例例3 3.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點如例如例3中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2