小波變換在信號處理中的應用

1、 小波分析是近小波分析是近15年來發(fā)展起來的一種新的時頻年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時域分析和分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時域分析和頻域分析。頻域分析。時域分析的基本目標：時域分析的基本目標：- 邊緣檢測和分割；邊緣檢測和分割；- 將短時的物理現(xiàn)象作為一個瞬態(tài)過程分析。將短時的物理現(xiàn)象作為一個瞬態(tài)過程分析。頻域分析的基本目標：頻域分析的基本目標：區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量。區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量。一、從傅里葉變換到小波變換一、從傅里葉變換到小波變換一、從傅里葉變換到小波變換一、從傅里葉變換到小波變換（1 1）傅立葉變換的定義

2、）傅立葉變換的定義1. 1. 連續(xù)傅立葉變換對連續(xù)傅立葉變換對 離散傅立葉變換對離散傅立葉變換對 :1:2j tj tFT Fjf t edtIFTf tFjed 210210:0,1,.,11:0,1,.,1knNjNnnnknNjNnkDFT X kFff ekNIDFTfX k enNN2. 2. 傅立葉變換的實質(zhì)傅立葉變換的實質(zhì)傅里葉變換的實質(zhì)是：把傅里葉變換的實質(zhì)是：把f(t)這個波形分解成許多不同頻率這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對原函數(shù)的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對原函數(shù)f(t)的研究的研究轉(zhuǎn)化為對其權(quán)系數(shù)，及傅里葉變換轉(zhuǎn)化為對其權(quán)系數(shù)，及傅里

3、葉變換F()的研究。從傅里葉的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標準基是由正弦波及高次諧波組成變換中可以看出，這些標準基是由正弦波及高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。3. 3. 傅立葉變換的局限性傅立葉變換的局限性 由左圖我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從右圖由左圖我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從右圖中我們可以明顯看出該信號的頻率成分，也可以明中我們可以明顯看出該信號的頻率成分，也可以明顯的看出信號的頻率特性。顯的看出信號的頻率特性。 雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，特征

4、聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但不能把兩者有機的結(jié)合起來。但不能把兩者有機的結(jié)合起來。 在實際信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號在實際信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。要。（2）短時傅立葉變換）短時傅立葉變換 基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號看成一系列短時平基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號看成一系列短時平穩(wěn)信號的疊加，這個過程是通過加時間窗來實現(xiàn)穩(wěn)信號的疊加，這個過程是通過加時間窗來實現(xiàn)的。一般選用能量集中在低頻處的實的偶函數(shù)作的。一般選用能量集中在低頻處的實的偶函數(shù)作為窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實現(xiàn)時間域的局部為

5、窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實現(xiàn)時間域的局部化性質(zhì)。其表達式為：化性質(zhì)。其表達式為： *,j tRSf t gtedt 其中其中“”表示復共軛，表示復共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，是有緊支集的函數(shù)，f(t)是被分析的信號，在這個變換中，是被分析的信號，在這個變換中， 起著頻起著頻限的作用，限的作用，g(t)起著時限的作用。隨著時間起著時限的作用。隨著時間 的的變化，變化，g(t)所確定的所確定的“時間窗時間窗”在在t軸上移動，使軸上移動，使f(t)“逐漸逐漸” 進行分析。進行分析。j te g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)，往往被稱之為窗口函數(shù)， 大致反映了大致反映了f(t)在在 時刻時刻頻率處頻率

6、處“信號成分信號成分”的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為的展開就可以表示為 在這一區(qū)域內(nèi)的在這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口， 和和 分別稱為窗口的時寬分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然就越高。很顯然 和和 都非常小，以便有更好的時頻分析效都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但果，但 和和 相互制約的。相互制約的。 （2）短時傅立葉變換）短時傅立葉變換 ,S , 、 （3）小波變換）小波變換 小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方

7、是，它在時域小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。 小波變換提出了變化的時間窗。當需要精確的小波變換提出了變化的時間窗。當需要精確的低頻信息時，采用長的時間窗，頻率分辨率高，當?shù)皖l信息時，采用長的時間窗，頻率分辨率高，當需要精確的高頻信息時，采用短的時間窗，時間分需要精確的高頻信息時，采用短的時間窗，時間分辨率高。辨率高。 由此可知，小波變換采用的不是時間由此可知，小波變換采用的不是時間-頻率域，頻率域，而是時間尺度域。尺度越大，采用越大的時間窗，而是時間尺度域。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻

8、率成反尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。比。（3）小波變換）小波變換(4) 小波的時間和頻率特性小波的時間和頻率特性 運用小波基，可以提取信號中的運用小波基，可以提取信號中的“指定時間指定時間”和和“指定頻率指定頻率”的變化。的變化。l時間：提取信號中時間：提取信號中“指定時間指定時間”（時間（時間A A或時間或時間B B）的變化。顧）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。l頻率：提取信號中時間頻率：提取信號中時間A A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間提取信號中時間B B的比較快速變化，

9、稱較高頻率成分。的比較快速變化，稱較高頻率成分。 時間A時間B(5) 小波的小波的3 個特點個特點l小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）換只具有頻率分析的性質(zhì)）l小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）l小波變換比快速小波變換比快速FourierFourier變換還要快一個數(shù)量級。信變換還要

10、快一個數(shù)量級。信號長度為號長度為M M時，時， FourierFourier變換（左）和小波變換（右）變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：計算復雜性分別如下公式： MOMMOwf,log2(6) 小波基表示發(fā)生的時間和頻率小波基表示發(fā)生的時間和頻率FourierFourier變換的基（上）小波變換基（中）變換的基（上）小波變換基（中）和時間采樣基（下）和時間采樣基（下）傅里葉變換傅里葉變換(Fourier)(Fourier)基基小波基小波基時間采樣基時間采樣基二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換)()(2RLt d2)( )(t)( )(t設函數(shù)設函數(shù)，如果滿足：，如果滿足：則稱則稱

11、為一個基本小波和小波母函數(shù)，式中為一個基本小波和小波母函數(shù)，式中為函數(shù)為函數(shù)的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。 1. 1. 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換)()(21,abtatbaRb0 Ra)(tba,ab)(,tba令：令：， 稱為基本小波或母小波稱為基本小波或母小波(Mother Wavelet) 依賴于依賴于生成的連續(xù)小波。式中生成的連續(xù)小波。式中為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀；為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀；為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波在時域空間和頻域空間上都具有局部性，其作用等同于在時域空間和

12、頻域空間上都具有局部性，其作用等同于短時傅立葉變換中的窗函數(shù)。短時傅立葉變換中的窗函數(shù)。 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換因此函數(shù)因此函數(shù)f(t)的小波變換為：的小波變換為：RbafdtabttfafbaW)()(,),(21,)(t)(t式中式中為函數(shù)為函數(shù)的復共軛，由可容性條件得：的復共軛，由可容性條件得：0)(dtt)(baWf，的逆變換為：的逆變換為： 2,)()(1)(adadbtbaWctfbaRfR，式中：式中： dC2)( 像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個信號分解為將像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波母小波經(jīng)

13、過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉變換的結(jié)果。變換的結(jié)果。 圖圖4表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預測波從負無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預測的，的， 而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其平的函數(shù)，其平均值為均值為0， 小

14、波趨于不規(guī)則、不對稱。小波趨于不規(guī)則、不對稱。 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換(a)(b) 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換傅立葉變換過程傅立葉變換過程18 基本小波函數(shù)基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下：的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡單地講，縮放。簡單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮縮放系數(shù)越小，放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖則小波越窄，如圖6所示。所示。 圖6 小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)； scale 1f (t)(2t)； scale 0.5f (t)

15、(4t)； scale 0.25小波變換過程小波變換過程19 (2) 平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學上，上， 函數(shù)函數(shù)f(t)延遲延遲k的表達式為的表達式為f(t-k)，如圖，如圖7所示。所示。 圖7 小波的平移操作(a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) Ot(t)Ot(t k)(a)(b)20 CWT計算主要有如下五個步驟：計算主要有如下五個步驟： 第一步：第一步： 取一個小波，取一個小波， 將其與原始信號的開始一節(jié)進行比將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較。較。 第二步：第二步： 計算數(shù)值計算數(shù)值C， C表

16、示小波與所取一節(jié)信號的相表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀，似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀， 如圖如圖8所示。所示。 第三步：向右移動小波，重復第一步和第二步，直至覆蓋整第三步：向右移動小波，重復第一步和第二步，直至覆蓋整個信號，如圖個信號，如圖9所示。所示。 第四步：第四步： 伸展小波，伸展小波， 重復第一步至第三步，重復第一步至第三步， 如圖如圖10所示。所示。 圖8 計算系數(shù)值C 原 始 信 號小 波 信 號C 0.0102二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換圖9 計算平移后系數(shù)值C 原 始 信 號小 波 信 號二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換圖10 計算尺

17、度后系數(shù)值C 原 始 信 號小 波 信 號C 0.2247二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換 第五步：對于所有縮放，重復第一步至第四步。第五步：對于所有縮放，重復第一步至第四步。 小波的縮放因子與信號頻率之間的關系是：縮放因子小波的縮放因子與信號頻率之間的關系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號的細節(jié)變化，表越小，表示小波越窄，度量的是信號的細節(jié)變化，表示信號頻率越高；縮放因子示信號頻率越高；縮放因子scale越大，越大， 表示小波越寬，度表示小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小

18、波變換二、連續(xù)小波變換結(jié)論：結(jié)論：尺度因子尺度因子a a越小，越小， 的波形變窄，的波形變窄， 的頻譜向高頻端擴展；的頻譜向高頻端擴展；a a越大，越大， 波形變寬，波形變寬， 的頻譜的頻譜 向低頻端擴展，從而實現(xiàn)過了向低頻端擴展，從而實現(xiàn)過了時間頻率窗的自適應調(diào)節(jié)。時間頻率窗的自適應調(diào)節(jié)。連續(xù)小波變換的實質(zhì)就是以基函數(shù)連續(xù)小波變換的實質(zhì)就是以基函數(shù) 的形式把的形式把信號信號f(t)分解為不同頻帶的子信號，實現(xiàn)信號在不同分解為不同頻帶的子信號，實現(xiàn)信號在不同頻帶、不同時刻的合理分離，也可以視為一個濾波頻帶、不同時刻的合理分離，也可以視為一個濾波器器。 , a bt , a b ,a bt ,a

19、 b , a bt一維連續(xù)小波變換一維連續(xù)小波變換Matlab實現(xiàn)實現(xiàn)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,plot)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE,XLIM) 在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，其計算量相當大，其計算量相當大， 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為是無用的。如果縮放因子和平移參

20、數(shù)都選擇為2j（j0且為且為整數(shù)）的倍數(shù)，整數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進行即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進行計算，計算， 就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet Transform），它是離散小波變換（），它是離散小波變換（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一種形式。通常離散小波）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。變換就是指雙尺度小波變換。 三、一維離散小波變換與重

21、構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)小波變換就是將小波變換就是將 “ 原始信號原始信號 s ” 變換變換 成成 “ 小波小波 系數(shù)系數(shù) w ” ， w=wa , wd （ 近似系數(shù)近似系數(shù)wa與細節(jié)系數(shù)與細節(jié)系數(shù)wd )則則原始信號原始信號s s可分解成小波近似可分解成小波近似a a與小波細節(jié)與小波細節(jié)d d之和。之和。 s = a+ds = a+d小波系數(shù)小波系數(shù) w = ww = wa a , w , wd d 的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解：解：小波近似系數(shù)小波近似系數(shù)w wa a 基函數(shù)基函數(shù)A=A=近似分解近似分解 a -a -平均平均小波細節(jié)系數(shù)小波細節(jié)系數(shù)

22、w wd d 基函數(shù)基函數(shù)D=D=細節(jié)分解細節(jié)分解 d-d-變化變化 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 小波基小波基D小波基小波基A A原始信號原始信號小波系數(shù)小波系數(shù)wd小波系數(shù)小波系數(shù)wa正變換：原始信號在小波基上，獲得正變換：原始信號在小波基上，獲得 “小波系數(shù)小波系數(shù)”分量分量反變換：所有反變換：所有“小波分解小波分解” 合成原始信號合成原始信號 例如：例如： 小波分解小波分解 a=小波系數(shù)小波系數(shù) wa 小波基小波基A三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)離散小波變換公式離散小波變換公式正變換正變換反變換反變換 其中：其中： 是小波基函數(shù)是小波基函數(shù)

23、l信號信號 s 有有M個樣本，個樣本，J 級小波變換：級小波變換： nDnAnDwnAwndnansJjnDnswnAnswwwwwMnjJJjjjdJJaJjiJjjdJJadJdJaJ,1 ,., 1111小波分解小波系數(shù)三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器， 該方法該方法是是Mallat于于1988年提出的，稱為年提出的，稱為Mallat算法。這種方法實算法。這種方法實際上是一種信號分解的方法，際上是一種信號分解的方法， 在數(shù)字信號處理中常稱為雙在數(shù)字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼。通道子帶編

24、碼。 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖11所示。所示。S表表示原始的輸入信號，示原始的輸入信號， 通過兩個互補的濾波器組，通過兩個互補的濾波器組， 其中一其中一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值值A（Approximations），另一個為高通濾波器，），另一個為高通濾波器， 通過通過該濾波器可得到信號的細節(jié)值該濾波器可得到信號的細節(jié)值D（Detail）。）。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換圖11 小波分解示意圖SAD濾波器組低通高通三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 在小波

25、分析中，近似值是大的縮放因子計算的系數(shù)，在小波分析中，近似值是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的低頻分量，而細節(jié)值是小的縮放因子計算的表示信號的低頻分量，而細節(jié)值是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的高頻分量。實際應用中，信號的低頻系數(shù)，表示信號的高頻分量。實際應用中，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，如同一個人的聲音一樣， 把高頻分量去掉后，聽起來聲把高頻分量去掉后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容

26、也聽不出來了。低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 由圖由圖11可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解，信號的分解過程也可以不斷器組進行的分解稱為一級分解，信號的分解過程也可以不斷進行下去，也就是說可以進行多級分解。如果對信號的高頻進行下去，也就是說可以進行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量進行連續(xù)分解，就可以得到信分量不再分解，而對低頻分量進行連續(xù)分解，

27、就可以得到信號不同分辨率下的低頻分量，號不同分辨率下的低頻分量， 這也稱為信號的多分辨率分這也稱為信號的多分辨率分析。如此進行下去，析。如此進行下去， 就會形成圖就會形成圖12所示的一棵比較大的分所示的一棵比較大的分解樹，解樹， 稱其為信號的小波分解樹（稱其為信號的小波分解樹（Wavelet Decomposition Tree）。實際中，）。實際中， 分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要。征及用戶的具體需要。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換35圖圖12 多級信號分解示意圖多級信號分解示意圖（a） 信號分解；信號分解； (b) 小波分

28、數(shù)；小波分數(shù)； （c）小波分解樹）小波分解樹 cA3cD3cA2cD2SLo_DHi_DA1D1Lo_DHi_DA2D2Lo_DHi_DA3D3Lo_D：低通濾波器；Hi_D：高通濾波器(a)ScA1cD1(b)(c)ScA1cD1cA2cD2cA3cD3 對于一個信號，如采用圖對于一個信號，如采用圖11所示的方法，理論上產(chǎn)生所示的方法，理論上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特（Nyquist）采樣定理，）采樣定理， 可用下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，可用下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個通道內(nèi)（高通和低通通道）每兩個樣本數(shù)據(jù)取一即在每

29、個通道內(nèi)（高通和低通通道）每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，個， 便可得到離散小波變換的系數(shù)（便可得到離散小波變換的系數(shù)（Coefficient），）， 分別分別用用cA和和cD表示，如圖表示，如圖13所示。圖中表示下采樣。所示。圖中表示下采樣。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換圖圖13 小波分解下采樣示意圖小波分解下采樣示意圖 SDA1000個 采 樣 點1000個 采 樣 點1000個 采 樣 點ScDcA1000個 采 樣 點約 500個 DWT系 數(shù)約 500個 DWT系 數(shù)三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 在在Matlab中，離散小波變換分解算法主要使中，離散小波變換分解算法主要

30、使用如下幾個常用命令：用如下幾個常用命令： dwt 用于信號的單層分解用于信號的單層分解 wavedec 用于信號的多層分解用于信號的多層分解 wmaxlev 在多層分解前求最大的分解層數(shù)在多層分解前求最大的分解層數(shù)三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 將信號的小波分解的分量進行處理后，一般還要根將信號的小波分解的分量進行處理后，一般還要根據(jù)需要把信號恢復出來，也就是利用信號的小波分解的據(jù)需要把信號恢復出來，也就是利用信號的小波分解的系 數(shù) 還 原 出 原 始 信 號 ， 這 一 過 程 稱 為 小 波 重 構(gòu)系 數(shù) 還 原 出 原 始 信 號 ， 這 一 過 程 稱 為 小 波 重 構(gòu)（

31、Wavelet Reconstruction）或叫做小波合成（）或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。這一合成過程的數(shù)學運算叫做逆離散小波）。這一合成過程的數(shù)學運算叫做逆離散小波變換（變換（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。）。 三、一維離散小波重構(gòu)三、一維離散小波重構(gòu)圖圖14 小波重構(gòu)算法示意圖小波重構(gòu)算法示意圖 SHLHL三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 1）重構(gòu)近似信號與細節(jié)信號）重構(gòu)近似信號與細節(jié)信號 由圖由圖14可知，由小波分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)可以重可知，由小波分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出

32、原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)構(gòu)出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號的近似值或細節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細節(jié)系數(shù)出信號的近似值或細節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細節(jié)系數(shù)置為零即可。置為零即可。 圖圖15是對第一層近似信號或細節(jié)信號進行重構(gòu)的示意是對第一層近似信號或細節(jié)信號進行重構(gòu)的示意圖。圖。 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)圖圖15 重構(gòu)近似和細節(jié)信號示意重構(gòu)近似和細節(jié)信號示意（a） 重構(gòu)近似信號；重構(gòu)近似信號； (b) 重構(gòu)細節(jié)信號重構(gòu)細節(jié)信號 A1HL1000個 樣 點0約 500個 0cA1約 500個 近 似 分 量(a)D1HL100

33、0個 樣 點(b)約 500個 0約 500個 近 似 分 量0cD1三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 2）多層重構(gòu)）多層重構(gòu) 在圖在圖15中，重構(gòu)出信號的近似值中，重構(gòu)出信號的近似值A1與細節(jié)值與細節(jié)值D1之后，則之后，則原信號可用原信號可用A1D1S重構(gòu)出來。對應于信號的多層小波分重構(gòu)出來。對應于信號的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如圖解，小波的多層重構(gòu)如圖16所示。由圖所示。由圖16可見重構(gòu)過程為：可見重構(gòu)過程為：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。 信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關系到能否重構(gòu)信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。

34、低通分解濾波器（出滿意的原始信號。低通分解濾波器（L）和高通分解濾波）和高通分解濾波器（器（H）及重構(gòu)濾波器組（）及重構(gòu)濾波器組（L和和H）構(gòu)成一個系統(tǒng)，）構(gòu)成一個系統(tǒng)， 這個系這個系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)，系統(tǒng)， 如圖如圖17所示。所示。 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)圖16 多層小波重構(gòu)示意圖A3D3A2D2SA1D1三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)圖圖17 多層小波分解和重構(gòu)示意圖多層小波分解和重構(gòu)示意圖 S1000HL500250250DW T小 波 系 數(shù)

35、S1000LIDW THHLLH三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)用于離散小波重構(gòu)的命令主要有如下幾個：用于離散小波重構(gòu)的命令主要有如下幾個： idwt 用于單層小波重構(gòu)用于單層小波重構(gòu) waverec 用于多層小波重構(gòu)原始信號，要求輸入?yún)?shù)用于多層小波重構(gòu)原始信號，要求輸入?yún)?shù) 同小波分解得到結(jié)果的格式一致同小波分解得到結(jié)果的格式一致 wrcoef 用于重構(gòu)小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)⒂糜谥貥?gòu)小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)?數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致 upcoef 用于重構(gòu)小波系數(shù)至上一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分用于重構(gòu)小波系數(shù)至上一層次

36、，要求輸入?yún)?shù)同小波分 解得到結(jié)果的格式一致解得到結(jié)果的格式一致用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有以下幾個：用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有以下幾個： detcoef 求得某一層次的細節(jié)系數(shù)求得某一層次的細節(jié)系數(shù) appcoef 求得某一層次的近似系數(shù)求得某一層次的近似系數(shù) upwlev 重構(gòu)組織小波系數(shù)的排列形式重構(gòu)組織小波系數(shù)的排列形式三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣，二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣， 其實其實質(zhì)上是將二維信號在不同尺度上的分解，質(zhì)上是將二維信號在不同尺度上的分解， 得到原始信號的得到原始信號

37、的近似值和細節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。近似值和細節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為：分解的結(jié)果為： 近似分量近似分量cA、 水平細節(jié)分量水平細節(jié)分量cH、 垂直垂直細節(jié)分量細節(jié)分量cV和對角細節(jié)分量和對角細節(jié)分量cD。同樣也可以利用二維小波。同樣也可以利用二維小波分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號。二維小波分解和重構(gòu)過分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號。二維小波分解和重構(gòu)過程如圖程如圖18所示。所示。 四、二維離散小波變換與重構(gòu)四、二維離散小波變換與重構(gòu)48圖圖18 二維小波分解和重構(gòu)過程示意圖二維小波分解和重構(gòu)過程示意圖（a） 二維二維DWT； (b) 二維二

38、維IDWT (b)Lo_R21Lo_R12Hi_R12行列列cAj1cHj1Hi_R21Lo_R12Hi_R12行列列cVj1cDj1cAjwkeepLo_D21Lo_D12Hi_D12行列列cAj1cHj1Hi_D21Lo_D12Hi_D12行列列cVj1cDj1cAj(a)五、五、Matlab中的小波分析工具箱中的小波分析工具箱（lMatlab小波分析工具箱提供了一個可視化小波分析工具箱提供了一個可視化的小波分析工具，是一個很好的算法研究的小波分析工具，是一個很好的算法研究和工程設計，仿真和應用平臺。特別適合和工程設計，仿真和應用平臺。特別適合于信號和圖像分析，綜合，去噪，壓縮等于信號和圖

39、像分析，綜合，去噪，壓縮等領域的研究人員。領域的研究人員。小波分析工具箱的七類函數(shù)：小波分析工具箱的七類函數(shù)：l常用的小波基函數(shù)。常用的小波基函數(shù)。l連續(xù)小波變換及其應用。連續(xù)小波變換及其應用。l離散小波變換及其應用。離散小波變換及其應用。l小波包變換。小波包變換。l信號和圖像的多尺度分解。信號和圖像的多尺度分解。l基于小波變換的信號去噪?；谛〔ㄗ儞Q的信號去噪。l基于小波變換的信號壓縮?；谛〔ㄗ儞Q的信號壓縮。幾種常用小波幾種常用小波1. Haar小波小波2. Daubechies小波小波3. Symlet小波小波4. 雙正交小波（雙正交小波（biorNr.Nd）5. Coiflet小波小波

40、6. Morlet小波小波7. Mexico草帽小波草帽小波8. Meyer小波小波l具有對稱性的小波不產(chǎn)生相位畸變，在圖像處理中非常有用。具有對稱性的小波不產(chǎn)生相位畸變，在圖像處理中非常有用。l具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像。具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像。l小波函數(shù)和尺度函數(shù)如果存在消失矩，在壓縮時有用。小波函數(shù)和尺度函數(shù)如果存在消失矩，在壓縮時有用。常用的小波基函數(shù)：常用的小波基函數(shù)： 參數(shù)表示小波基的名稱morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN緊支集正交小波symN近似對稱的緊支集雙正交小波c

41、oifNCoifmant小波biorNr.Nd雙正交樣條小波怎樣獲取小波基的信息：怎樣獲取小波基的信息：l在Matlab窗口鍵入“waveinfo(參數(shù)名）?waveinfo(meyr) MEYRINFO Information on Meyer wavelet. Meyer Wavelet General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Short name meyr Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possi

42、ble but without FWT CWT possible Support width infinite Effective support -8 8 Regularity indefinitely derivable Symmetry yes Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, 137, 152.怎樣獲取小波基的信息：怎樣獲取小波基的信息：計算小波濾波器系數(shù)的函數(shù)：計算小波濾波器系數(shù)的函數(shù)： 參數(shù)表示小波基的名稱morlet計算Morlet小波濾波器系數(shù)me

43、xihat計算墨西哥草帽小波濾波器系數(shù)meyer計算Meyer小波與尺度濾波器系數(shù)meyeraux計算Meyer小波輔助函數(shù)dbwavf計算緊支集雙正交小波濾波器系數(shù)dbaux計算緊支集雙正交小波尺度濾波器系數(shù)symwavf計算近似對稱的緊支集雙正交小波濾波器系數(shù)coifwavf計算Coifmant小波尺度濾波器系數(shù)biowavf計算雙正交樣條小波尺度濾波器參數(shù)wname=bior2.2;rf,rd=biorwavf(wname)rf = 0.2500 0.5000 0.2500rd = -0.1250 0.2500 0.7500 0.2500 -0.1250計算小波濾波器系數(shù)的函數(shù)：計算小波

44、濾波器系數(shù)的函數(shù)：用于驗證算法的數(shù)據(jù)文件：用于驗證算法的數(shù)據(jù)文件： 文件名說明sumsin.mat三個正弦函數(shù)的疊加freqbrk.mat存在頻率斷點的組合正弦信號 whitnois.mat均勻分布的白噪聲 warma.mat有色AR(3)噪聲 wstep.mat階梯信號 nearbrk.mat分段線性信號 scddvbrk.mat具有二階可微跳變的信號wnoislop.mat疊加了白噪聲的斜坡信號 1000501)3 . 0sin(5001)03. 0sin()(.)03. 0sin()3 . 0sin()3sin()sin(.sintttttfreqbrkmatfreqbrkttttsum

45、matsum用于驗證算法的數(shù)據(jù)文件：用于驗證算法的數(shù)據(jù)文件：連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換：格式：格式： coefs=cwt(s,scales,wname) coefs=cwt(s,scales,wname,plot)說明：說明： s:輸入信號輸入信號 scales: 需要計算的尺度范圍需要計算的尺度范圍 wname:所用的小波基所用的小波基 plot: 用圖像方式顯示小波系數(shù)用圖像方式顯示小波系數(shù)例子：例子：l c = cwt(s,1:32,meyr)l c = cwt(s,64 32 16:-2:2,morl)l c = cwt(s,3 18 12.9 7 1.5,db2)一維離散小波變換：一

46、維離散小波變換：l dwt cA,cD=dwt(X,wname) cA,cD=dwt(X,H,G) 其中：其中：cA ：低頻分量，低頻分量， cD：高頻分量高頻分量 X：輸入信號。輸入信號。 wname：小波基名稱小波基名稱 H：低通濾波器低通濾波器 G：高通濾波器高通濾波器多層小波分解：多層小波分解： A,L=wavedec(X,N，wname) A,L=wavedec(X,N,H,G) 其中：其中：A ：各層分量，各層分量， L：各層分量長度各層分量長度 N：分解層數(shù)分解層數(shù) X：輸入信號。輸入信號。 wname：小波基名稱小波基名稱 H：低通濾波器低通濾波器 G：高通濾波器高通濾波器其他

47、的一維函數(shù)：其他的一維函數(shù)：l抽樣：抽樣： dyaddowl補零插值：補零插值：dyaupl濾波器生成：濾波器生成：qmf,orthfilt,wfiltersl反變換：反變換：idwt,idwtper,l重構(gòu)：重構(gòu)： upwlev,waverec,wrcoef,二維離散小波變換：二維離散小波變換：l dwt2 cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) cA,cH,cV,cD=dwt2(X,H,G) 其中：其中：cA ：低頻分量，低頻分量， cH：水平高頻分量水平高頻分量 cV：垂直高頻分量垂直高頻分量 cD：對角高頻分量對角高頻分量 X：輸入信號。輸入信號。 wname：小波基名稱小

48、波基名稱 H：低通濾波器低通濾波器 G：高通濾波器高通濾波器二維信號的多層小波分解：二維信號的多層小波分解： A,L=wavedec2(X,N，wname) A,L=wavedec2(X,N,H,G) 其中：其中：A ：各層分量，各層分量， L：各層分量長度各層分量長度 N：分解層數(shù)分解層數(shù) X：輸入信號。輸入信號。 wname：小波基名稱小波基名稱 H：低通濾波器低通濾波器 G：高通濾波器高通濾波器其他的二維函數(shù)：其他的二維函數(shù)：l對變換信號的偽彩色編碼：對變換信號的偽彩色編碼：wcodematl反變換：反變換：idwt2,idwtper2,l重構(gòu)：重構(gòu)： upwlev2,waverec2,

49、wrcoef2,小波包分解：小波包分解：l樹操作樹操作n allnodes 列出數(shù)結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點。列出數(shù)結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點。n isnode 判斷指定位置是否存在節(jié)點。判斷指定位置是否存在節(jié)點。n istnode 判斷一個節(jié)點是否為終端節(jié)點。判斷一個節(jié)點是否為終端節(jié)點。n nodejoin 樹的剪枝。樹的剪枝。 小波包分析函數(shù)：小波包分析函數(shù)：n besttree 尋找最優(yōu)分解樹。尋找最優(yōu)分解樹。n bestlevt 尋找最優(yōu)滿樹。尋找最優(yōu)滿樹。n wentropy 計算熵值。計算熵值。n wpdec 一維信號的小波包分解。一維信號的小波包分解。n wpdec2 二維信號的小波包分解。二維信號的小

50、波包分解。n wpfun 小波包函數(shù)族小波包函數(shù)族n wpjoin 小波包分解樹的節(jié)點合并小波包分解樹的節(jié)點合并n wprec 一維信號的小波包信號重構(gòu)。一維信號的小波包信號重構(gòu)。 n wprec2 二維信號的小波包信號重構(gòu)。二維信號的小波包信號重構(gòu)。 信號去噪與壓縮：信號去噪與壓縮：l在小波變換域上進行閥值處理。在小波變換域上進行閥值處理。多層小波分解多層小波分解閥值操作閥值操作多層小波重構(gòu)多層小波重構(gòu)其他的免費軟件工具：其他的免費軟件工具：lWavelab David Donoho在斯坦福大學開發(fā)的在斯坦福大學開發(fā)的Matlab程程序庫，最新版本為序庫，最新版本為Wavelab 0.802

51、，有，有1200多多個文件。個文件。lLastWave 小波信號和圖像處理軟件，用小波信號和圖像處理軟件，用C語言編寫，可在語言編寫，可在Unix和和Macintosh上運行。上運行。其他的免費軟件工具：其他的免費軟件工具：值得關注的幾個發(fā)展方向：值得關注的幾個發(fā)展方向：l提升小波變換（提升小波變換（Lifting scheme wavelet transform)l多小波變換（多小波變換（Multiwavelet transform) l線調(diào)頻小波變換線調(diào)頻小波變換(chirplet transform)。l提升小波變換（提升小波變換（Lifting scheme wavelet trans

52、form)值得關注的幾個發(fā)展方向：值得關注的幾個發(fā)展方向：多小波變換：多小波變換：l在圖像處理和信號分析的實際應用中，我們在圖像處理和信號分析的實際應用中，我們需要小波具有正交性和對稱性。可是，實數(shù)需要小波具有正交性和對稱性?？墒?，實數(shù)域中，緊支、對稱、正交的非平凡單小波是域中，緊支、對稱、正交的非平凡單小波是不存在的，這使人們不得不在正交性與對稱不存在的，這使人們不得不在正交性與對稱性之間進行折衷。性之間進行折衷。lGoodman等提出多小波的概念，其基本思想是將單小波等提出多小波的概念，其基本思想是將單小波中由單個尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間，擴展為由多中由單個尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間

53、，擴展為由多個尺度函數(shù)生成，以此來獲得更大的自由度。個尺度函數(shù)生成，以此來獲得更大的自由度。1994年，年，Geronimo,Hardin和和Massopus構(gòu)造了著名的構(gòu)造了著名的GHM多小多小波。它既保持了單小波所具有的良好的時域與頻域的局波。它既保持了單小波所具有的良好的時域與頻域的局部化特性，又克服了單小波的缺陷，將實際應用中十分部化特性，又克服了單小波的缺陷，將實際應用中十分重要的光滑性、緊支性、對稱性、正交性完美地結(jié)合在重要的光滑性、緊支性、對稱性、正交性完美地結(jié)合在一起。與此同時，在信號處理領域，人們將傳統(tǒng)的濾波一起。與此同時，在信號處理領域，人們將傳統(tǒng)的濾波器組推廣至矢值濾波器

54、組、塊濾波器組，初步形成了矢器組推廣至矢值濾波器組、塊濾波器組，初步形成了矢值濾波器組的理論體系，并建立了它和多小波變換的關值濾波器組的理論體系，并建立了它和多小波變換的關系。系。 多小波變換：多小波變換：l一維信號小波變換一維信號小波變換l小波小波去噪聲去噪聲l小波分析在圖象處理中的應用小波分析在圖象處理中的應用舉舉 例例1. 一維信號小波變換一維信號小波變換1. 1. 一維信號小波變換一維信號小波變換1. 一維信號小波變換一維信號小波變換2. 2. 小波小波去噪聲去噪聲 一般噪聲特點：一般噪聲特點： （1）高頻成分（細節(jié)） ，（2）幅度?。河瞄撝担蝗ピ肼曔^程：去噪聲過程： 去除原始信號高頻成分（細節(jié)）中幅度小于閾值部分。 對2級小波，設定2個閾值，稱“閾值2” 和 “閾值1” 。 去除1級噪聲：去除1級小波細節(jié)分解中小于“閾值1”部分。 去除2級噪聲：去除2級小波細節(jié)分解中小于“閾值2”部分?；謴停夯謴停?將小波近似分解，加上去噪聲后小波細節(jié)分解，即獲得去除噪聲的信號 2. 小波小波去噪聲去噪聲 4181615152828282823232323282828282621134112863621628232893318956587389561