§1.簡諧振動（最基本最重要的運動）

1、1. 1.簡諧振動簡諧振動 （最基本最重要的運動）（最基本最重要的運動）一.振動機械振動：位置作周而復(fù)始的變化。廣義的振動：某物理量在一定值附近作周而復(fù)始的變化。二.周期與頻率周期：T頻率：1T第四章第四章 簡諧振動簡諧振動 三.諧振方程1.動力學(xué)特征以彈簧振子為例：見圖km以平衡位置為原點建立坐標。o x分析受力：kxf 有：022xmkdtxdmk2令：有：0222xdtxd 動力學(xué)特征2.運動學(xué)方程22dd:txm-kxf由解此微分方程，可得)cos(tAx運動方程)sin(tAdtdxvxtAdtxda2222)cos(諧振曲線： 正弦或余弦曲線。AAAv四.諧振的振幅 周期 頻率和相

2、位1.振幅最大位移)cos(tAx2.周期)cos(tAx)(cos(TtA2T21T2 是由振動系統(tǒng)決定的，所以周期、頻率也由系統(tǒng)的性質(zhì)決定。稱為固有周期與固有頻率。3.相位 t + 決定任意時刻的振動狀態(tài)。)cos(tAx)sin(tAdtdxvxtAdtxda2222)cos(4. A 的確定由初始狀態(tài)決定cos0Ax sin0Av由：得：22020vxA00 xvtg五.諧振的矢量圖示法見圖，矢量OM長度為A ,逆時針旋轉(zhuǎn)，角速度。 xoM考察其端點在x軸上的投影的變化規(guī)律：)cos(tAx諧振參考圓：矢量端點的運動軌跡為半徑等于A的圓 ，通常將其稱為參考圓。其在直徑上投影的運動？x0

3、 x1x2x3 x簡諧振動（彈簧振子）簡諧振動（彈簧振子）確定初位相兩個振動的位相差相位練習(xí)相位練習(xí) 如圖所示，把一小球拉過一甚小的角 ，然后放手，任其擺動，此 角是否是初相？請選擇(1) 0(2) 如圖所示，t = 0時物體速度值為負，位移為A/2，其初相是多少？)cos(tAxt = 0 2Ax 30v3解析法：矢量圓 xA單擺：復(fù)擺六. 單擺與復(fù)擺omLoch受力矩：PPM = mgh sin 角加速度：sinImghIM當(dāng)角很小時，有：ImghIM 諧振單擺：2mLI h = L LgLg2gLT2復(fù)擺：Imgh2mghIT2振動周期均取決于系統(tǒng)本身。七.諧振的能量)(sin21)(s

4、in2121222222tkAtAmmvEk)(cos2121222tAkxkEp221AkEEEpk能量守恒勢能曲線：Epx-AAEk = k(A2 x2)EEkEp經(jīng)典粒子能否越過A處？ 微觀粒子是可以越過勢能曲線形成的障礙而進入勢能更大的區(qū)域，此稱為隧道效應(yīng)。從能量的角度導(dǎo)出諧振方程：E = mv2 + kx2 = 常量0)2121(22kxmvdtd0dtdxkxdtdvmv022xmkdtxd諧振方程2. 2. 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振一.阻尼振動 能量逐漸減少的振動?？紤]耗散作用摩擦阻力輻射阻尼振動曲線：xtxt振幅減小，周期比系統(tǒng)的固有周期變大。若阻尼過大，則

5、系統(tǒng)完不成一次振動，稱過阻尼振動。見圖定量分析：設(shè)物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運動，粘滯阻力為vF為阻力系數(shù)，與物體形狀、大小及介質(zhì)有關(guān)。由牛頓方程：makxv022kxdtdxdtxdm令：mk20m2得：022022xtxtxdddd其解為：)cos(tAext220A、由初始條件決定。當(dāng)：202若：202則為過阻尼振動，物體將緩慢逼近平衡位置。202稱為臨界阻尼，物體回到平衡位置，并靜止。應(yīng)用：電表中的電磁阻尼。臨界阻尼。二. 受迫振動1.受迫振動 ： 振動系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動。此外力稱驅(qū)動力。若強迫力按簡諧振動規(guī)律變化，則受迫振動也是諧振，周期為外力的周期，振幅保持不

6、變。定量分析： 設(shè)周期性外力：tFpcos0matFvkxpcos0由牛頓定律：tFkxdtdxdtxdmpcos022令：mk20m2mFf 得：tfxtxtxpcosdd2dd2022其解為：)cos()cos(0tAteAxpt振動情況分析。最終的振動：)cos(tAxp 三.共振 受迫振動的振幅與驅(qū)動力的大小、頻率及振動物體的固有頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動力的頻率與物體的固有頻率接近時，振幅將增大，當(dāng)驅(qū)動力的頻率為某一定值時，振幅將達到最大。此現(xiàn)象稱為共振。阻尼越小，振幅越大。振幅與初相2222204)(ppfA2202pptg定量分析：0)4)(222220ppppfAdddd得：220max

7、AA 220max2fA 阻力越小，p越接近0。同時 A也越大。00Amax6. 6. 諧振的合成諧振的合成一.兩個同方向 同頻率的合成)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg 旋轉(zhuǎn)矢量法討論：A1A2A 因轉(zhuǎn)動速度相同，所以合振動是諧振。二.同方向不同頻率的合成 拍合振動的振幅：當(dāng) 21 = 2kA = A1+ A2 為最大當(dāng) 21 = （ 2k + 1 ）A = A1 A2 為最小合振動的振幅、頻率均隨時間變化，不是簡諧振動。設(shè)兩振動頻率為 2、1，且2大于 1 ，則在單位

8、時間內(nèi)第二振動比第一振動多振動21次，從矢量圓來看，即第二矢量比第一矢量多轉(zhuǎn)（21）圈，所以兩矢量同向或反向各為（21）次，也就是合振動將加強與減弱各（21）次。這樣的兩個簡諧振動合成時，由于周期的微小差別而造成的合振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象稱為拍，合振動在單位時間內(nèi)加強或減弱的次數(shù)稱為拍頻。12曲線：otx1otx2otx1 +x2定量討論：振幅相同，初相為零。tAtAx1112coscostAtAx2222coscosttAxxx22cos)22cos2(121221振幅1 212振幅隨時間作緩慢的周期性變化。其值為02A合振幅的頻率：tA22cos212)22cos(212tA三.同頻率

9、 振動方向垂直)cos(22tAy111sinsincoscosttAx)cos(11tAx222sinsincoscosttAy消去 t 得)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)1(22cos(21212tA即：121T12一般為橢圓方程。幾個特例：0) 1 (12xAAy12 x ys)cos(222122tAAyxs諧振12)2(xAAy12 x y s仍為諧振2) 3(121222212AyAx正橢圓。 x y轉(zhuǎn)動方向？2)4(12橢圓，逆時針。四.頻率不同 振動垂直利薩如圖形見圖： P151 5.19第五章 機械波一.產(chǎn)生條件思考：什么是波？ 例:聲波、水

10、波、 振動狀態(tài)的傳播。產(chǎn)生條件：波源、彈性介質(zhì)。 二.縱波與橫波 考慮振動方向與傳播方向 縱波 振動方向傳播方向 橫波 振動方向傳播方向1. 1.機械波的產(chǎn)生與傳播機械波的產(chǎn)生與傳播三.幾何描述1.波陣面位相（振動狀態(tài)）相同的點組成的曲面。形象描述波的傳播情況。例：點波源在各向均勻介質(zhì)傳播。波前最前的波陣面。2.波射線波的傳播方向。各相同性的介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。三.描述波動的物理量1.波速波的傳播速度。由介質(zhì)決定。液（氣）體中：Bu 體變模量密度 固體：橫波：Gu 切變模量縱波：Yu 彈性模量彈性模量Y：LFSL正應(yīng)力：SF線性應(yīng)變：LL實驗表明：LLYSF切變模量 G：Fr切應(yīng)力與切應(yīng)

11、變：LrGSF體變模量B：VV體積縮小V，壓強增加p。VVBp2.波長相鄰的兩振動狀態(tài)完全相同的點之間的距離。 位相差 = ？表現(xiàn)空間的周期性。3.周期 T 波源傳出一個完整的波形的時間或振動狀態(tài)傳播一個波長的時間。與振動周期相等。表現(xiàn)時間的周期性。4.頻率單位時間內(nèi)通過空間某點的完整的波數(shù)。5.關(guān)系式：Tc例 題 頻率為3000Hz的聲波以1560ms-1沿一波線傳播，經(jīng)A點后再經(jīng)0.13m到達B點。求B點振動比A點落后的時間,相當(dāng)于多少個波長，兩點的位相差為多少？解：scxt120001156013. 0mc52. 0300015604152. 013. 02212tttt2. 2.平面簡

12、諧波波動方程平面簡諧波波動方程 （波函數(shù)）（波函數(shù)）一.作用：描述波動規(guī)律各質(zhì)點 t 時刻的振動規(guī)律。二.導(dǎo)出設(shè)：波源諧振，平面波、介質(zhì)無限大、波速 u.建立坐標 如圖：xyou y0 = Acostpx = 0求 p 點的 y = ? p 比 o 滯后 t ,xuxt 若 t 時刻 y0 = Acost)(cosyuxtAp則：波動方程其它形式：)(2cos)(2cosutxAxTtAy三.方程的物理意義.1. x = x0)(cos0uxtAyx0 處的振動方程。 2. t = t0 )(cos0uxtAy t0 時刻各質(zhì)點的位移波形圖。 t = t0 t = t0 + t u xyot

13、= ? 周期 p p 點的振動方向？ 3. t 、x 均為變量。 各質(zhì)點的振動方程。4.討論：（1）振速與波速（2）負向傳播)(cosuxtAy振速：tyV波速：位相的傳播速度。例題 求A、T；波形圖；)40(200cos02. 0)2005(cos02. 0 xttxy解: (1)A = 0.02m= 100HZu = 40ms-1 T = 0.01s-1 = uT = 0.4m(2)t1 = 0.0025s = T t2 = 0.005s = T x1 = u t1 = x2 = u t2 = 采用平移法，見圖。t = 0 t = T t = T y xou例2 已知：頻率為12.5108

14、的平面余弦波沿細長棒傳播，楊氏模量Y為1.91011Nm-2,棒的密度為7.6103kgm-3.波源振幅為0.1m.求波源的振動方程；波動方程；離波源0.1m處質(zhì)點的振動方程；在波源振動0.0021s時的波形方程。解： (1)13105msYu=2=25103 HzA = 0.1mm = 0.110-3m)(cosuxtAyy = Acost (2) (3)、（4）略。3. 3.波的能量波的能量 能流密度能流密度 波的吸收波的吸收一.能量 狀態(tài)傳播 能量傳播 1.能量的表式： 介質(zhì)內(nèi)取一體積元 V )(sin2121E2222uxtVAmvyk則：)(sin21222uxtVAEp(可以證明)

15、(sin222vxtVAEEEpkEk 與 Ep 同位相，與諧振區(qū)別。例：縱波：形變小，振速小。E = E ( t ) 不守恒。2.能量密度：)(sin222vxtAVE平均能量密度：對 T 求平均.220211AdtTT二.能流與能流密度1.能流單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)中某面積的能量。s設(shè)波速為 u .則平均能流：uspu2.能流密度 （波強）單位時間內(nèi)通過與傳播方向垂直的單位面積的平均能量。uAuI22213.波的吸收teAA0振幅衰減：波強衰減：teII20波的衰減媒質(zhì)吸收傳播距離空氣中低音衰減小，次聲波衰減更小。火車汽笛：聲波十多公里，次聲波幾百公里。4. 4. 聲波聲波一.聲波 20200

16、00Hz1.聲壓產(chǎn)生：媒質(zhì)振動，密度變化。定義：某一時刻，媒質(zhì)中某一點的壓強與無聲波通過時的壓強之差。聲壓的幅值：uApm（可以證明）2.聲強：聲波的強度能流密度upAuIm2222121頻率越高，聲強、聲壓越大。炮聲：1w/m2 超聲波：109w/m2 數(shù)百個大氣壓。3.聲強級人耳對聲波的反應(yīng)： 聲強、頻率。聽閾引起人耳聽覺聲強的下限。痛閾引起人耳聽覺聲強的上限。均與頻率有關(guān)。例：1kHz 聽閾：10-12 w/m2 痛閾：1w/m2 100Hz 聽閾：10-9 w/m2 痛閾： 1.4w/m2 人耳的敏感頻率：10005000Hz 同一頻率，聽閾與痛閾差別：1kHz：1012 人耳主觀感受

17、（響度）：實驗事實：聲強大十倍，響度大一倍。 用對數(shù)表示聲強的等級聲強級。設(shè) I 為聲強，以 I0 = 10-12 w/m2 為基準。)(lg10)(lg00分貝貝爾則：IIIIL例：1kHz的痛閾的聲強級。db120101lg10lg10120IIL聲強級與響度：020db 很靜2040db 安靜4060db 一般6080db 吵鬧80100db 很吵100120db 無法忍受 120db以上 痛苦4.噪聲：損傷聽覺細胞，干擾中樞神經(jīng)正常功能，使人神經(jīng)衰弱、頭痛、消化不良等。二.次聲波與超聲波1.次聲波 ：衰減小，在空氣、海洋、地下均能暢通無阻。 可監(jiān)聽核試驗、火箭發(fā)射、火山噴發(fā)、臺風(fēng)、地震

18、的信號，并可用計算機精確測定方位。 對人的影響：干擾神經(jīng)系統(tǒng)正常功能，使人頭暈、惡心、嘔吐、喪失平衡感，并精神沮喪。 更強的次聲波還能使人昏迷、耳聾、精神失常甚至死亡。動物實驗：狗：172db 呼吸困難，窒息。192db，頻率 69Hz 立即死亡。2.超聲波(1)特性：傳播方向性好，易于聚集，衍射作用小，反射強；穿透本領(lǐng)強，在固體、液體中衰減??；可獲取較大功率。（2）應(yīng)用： 工業(yè)上：探傷，能穿透幾十米的金屬層；切割、鉆孔，加工寶石、石英和超硬金屬；焊接，進行冷焊。 農(nóng)業(yè)上：處理種子，提高發(fā)芽率、抗病性；處理土壤，增加肥力；超聲殺菌；滴蟲類在其作用下細胞被破壞而死亡；刺激植物生長；加速新酒老化。

19、5. . 惠更斯原理惠更斯原理一.現(xiàn)象:出現(xiàn)繞射。二.原理： 媒質(zhì)中波動傳到的各點，都可看作是發(fā)射子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的抱跡就決定新的波陣面?？山鉀Q波的傳播方向的問題。也可證明反射定律與折射定律。5. 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉 駐波駐波一.疊加原理1.獨立性：每個波保持原有特性，互不干擾。2.疊加性：波相遇區(qū)域中質(zhì)點的振動，為各列波在此產(chǎn)生的振動的疊加。二.干涉1.現(xiàn)象：兩列波相遇區(qū)域出現(xiàn)某些位置振動始終加強，某些位置振動始終減弱的現(xiàn)象。此兩列波稱為相干波。2.相干條件：頻率、振動方向相同，位相差恒定。3.干涉極大與干涉極小的位置y10y20pr1r2設(shè))c

20、os(1110tAy)cos(2220tAyp 點的振動： )2cos()(cos1111111rtAcrtAy)2cos()(cos2222222rtAcrtAy y = y1 + y2 同頻率、同方向振動的合成。)2cos(21212212221rrAAAAA)2cos(21212212221rrAAAAA當(dāng)：krr221212A = A 1 + A2 極大k = 0,1,2 ) 12(kk = 0,1,2 12AAA極小 A 的大小取決于 什么？當(dāng)：1=2krr12maxAA 2) 12(12krrminAA r 2 r 1 波程差 一般 A 介于 Amin 與 Amax 之間。三. 駐

21、波特例：A 相同的相干波，反向傳播疊加而成。)2cos(1xtAy)2cos(2xtAytxAyyycos2cos221特點：1.振幅 xA2cos2為 x 的函數(shù)。x = k/2 振幅為 2A ，稱為波腹。 x = (2k+1)/4 振幅為零，稱為波節(jié)。2.間距波腹：21kkxx波節(jié)與波腹：43.傳播情況：x 不同，振幅不同，各質(zhì)點以各自的振幅作諧振，并不重復(fù)前面的振動，狀態(tài)與能量無傳播。txAyyycos2cos2214.半波損失從波疏到波密（u 較大）出現(xiàn)波節(jié)，反射出現(xiàn)振動方向突變，也稱位相突變。7. 7. 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 討論波源與觀察者相對與介質(zhì)運動時觀察者接受到的頻率發(fā)生的變

22、化的情況。頻率：波源：波源在單位時間內(nèi)的振動次數(shù)或發(fā)出的完整波數(shù)。觀察者：單位時間內(nèi)接受到的振動次數(shù)或完整波數(shù)。波的：介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點單位時間內(nèi)的振動次數(shù)或通過的完整波數(shù)。且有：bbu這三種頻率可以互不相同。一.觀察者相對介質(zhì)運動速度為v相向運動：uv v假設(shè)人不動，波傳播x1=udt人運動：x2 =vdtdt時間內(nèi)人觀察到的波數(shù)：btud)( v單位時間內(nèi)的波數(shù)：bu)(vuubb而：波源頻率所以：uvu增加遠離運動：可以證明uuv減小二.波源運動 速度為vs此時波長會變化波長：介質(zhì)中位相差為2的兩個振動質(zhì)點的距離。設(shè)波源運動vs：ssubvsTTsbvTus)(vsbbuuuv頻率增加。若遠離運動，則：suuv減小三.波源于觀察者同時運動svvuu 相向運動：v取正，vs取負遠離運動：v取負，vs取正即，相向運動，頻率增加，遠離運動，頻率減小。 例題： P、Q為兩個以同相位、同頻率、同振幅振動的相干波源，它們在同一媒質(zhì)