解析幾何綜合題解題思路案例分析doc

1、解析幾何綜合題解題思路案例分析解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.這類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識，所涉及到的知識點(diǎn)較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時(shí)，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為：解決這一類問題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維.即在掌握通性通法的同時(shí)，不應(yīng)只形成一個(gè)一個(gè)的解題套路，解題時(shí)不加分析，跟著感覺走， 做到那兒算那兒.而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān) .1 判別式 - 解題時(shí)時(shí)顯神功案例 1 已知雙曲線 C : y 2x 21，直線

2、 l 過點(diǎn) A 2,0 ，斜率為 k ，當(dāng) 0 k1時(shí)，22雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為 2 ，試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) B 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段 .從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與 l 平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0 . 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l : y k( x2)0k1直線 l在 l 的上方且到直線l 的距離為2l ': y kx2k 222k把直線 l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0解得

3、 k的值解題過程略 .分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B 到直線 l 的距離為2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：問題kx2x 22k關(guān)于 x 的方程20k1 有唯一解k 21轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解簡解 ：設(shè)點(diǎn) M (x,2x 2 ) 為雙曲線 C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線 l 的距離為：kx2x 22k20k1k 21于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x 的方程 .由于 0k1，所以2x 2xkx ，從而有kx2x22kkx2x22k.于是關(guān)于 x 的方程kx2x22k2(k21)2x 2 2(2(k 21)2k

4、kx )2 ,2( k 21)2kkx0k 21 x22( k 22(k 222k1)2k x1)2k20,2( k 21)2kkx0.由 0k1可知：方程 k 21 x 22k2(k 22k x2(k 221)1)2k20 的二根同正，故2(k21)kkx0 恒成立，于是等價(jià)于2k 21 x22k2(k 21)2k x2(k 21)2k22 0 .由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式0 ，就可解得k25.5點(diǎn)評 ：上述解法緊扣解題目標(biāo)， 不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換， 充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .2 判別式與韋達(dá)定理 - 二者聯(lián)用顯奇效案例 2已知橢圓 C: x 22 y 28 和點(diǎn)

5、P（ 4， 1），過 P 作直線交橢圓于A、 B兩點(diǎn)，在線段 AB上取點(diǎn) Q，使 APAQ ，求動點(diǎn) Q的軌跡所在曲線的方程 .PBQB分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)， 然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn) Q( x, y) 的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將 x, y 與 k 聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線 AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：APAQPBQB來轉(zhuǎn)化 . 由 A、 B、 P、Q 四點(diǎn)共線，

6、不難得到x4( xAxB )2x A xB ，要建8( xAxB )立 x 與 k 的關(guān)系，只需將直線AB 的方程代入橢圓C 的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù) .APAQPBQB4( xAxB )2xA xBx(xAxB )8將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理xf k利用點(diǎn) Q 滿足直線AB 的方程： y = k (x4)+1 ，消去參數(shù)k點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到 xf k 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于 x, y 的方程（不含k），則可由 y k ( x4)y1xf k

7、 即1解得 k，直接代入x4可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解 ：設(shè)A x1,y1,(x2， y2),( , )APAQ可得：4 x1xx1 ，BQ x y，則由QBx2 4x2 xPB4(x1x2 ) 2x1 x2（1）解之得： x8 (x1 x2 )設(shè)直線 AB 的方程為： yk( x4) 1，代入橢圓C 的方程，消去y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程：2k 21 x 24k (14k ) x2(14k) 28 0（2）xx24k (4k 1) ,12k 21x x22(1 4k )28 .12k 21代入（ 1），化簡得： x4k3.(3)k2與 y k (x4)1 聯(lián)立，消去 k

8、 得：2xy 4 (x4)0.在（ 2）中，由64k264240，解得210k210 ，結(jié)合（ 3）可求k44得 16 210x16210 .99故知點(diǎn) Q的軌跡方程為：2 xy40（16 210x16210）.99點(diǎn)評： 由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到 .這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參. ，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.3 求根公式 - 呼之欲出亦顯靈案例 3設(shè)直線 l 過點(diǎn) P（ 0， 3），和橢圓 x 2y 21 順次交于 A、 B 兩點(diǎn)，試求AP 的94PB取值范圍

9、 .分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP = xA ，但從此后卻一籌莫展,問題的根源PBxB在于對題目的整體把握不夠 . 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析 1: 從第一條想法入手，AP =xA 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量xA , xB ，PBxB同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3 個(gè)變量直線 AB的斜率 k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將 xA , xB 轉(zhuǎn)化為關(guān)于k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關(guān)于 x 的一

10、元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x 的一元二次方程求根公式xA= f （ k）， xB = g（ k）AP/PB = （ xA / xB）得到所求量關(guān)于k 的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍簡解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)，可求得AP1 ;PB5當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)A x1,y1,(，y2) ，直線l的方程為：y kx 3，代入橢Bx2圓方程，消去 y 得9k 24 x 254kx450解之得x1,227 k69k 25.9k 24因?yàn)闄E圓關(guān)于y 軸對稱，點(diǎn) P 在 y 軸上，所以只需考慮k0

11、的情形 .當(dāng) k0 時(shí)， x127k69k 25， x227k6 9k25 ，9k249k 24所以APx1 =9k29k 25 =118k2=118.PBx2259k29k59k29k59 292k由( 54k ) 2180 9k 240,解得 k 25 ，9所以11181 ，929525k綜上1AP1 .PB5分析 2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k 聯(lián)系起來 . 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于 APx1 不是關(guān)于 x1

12、, x2 的對稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問題的方法自然也就有PBx2了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1 , x2 的對稱關(guān)系式 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程韋達(dá)定理xA+ xB = f（k）， xA xB = g（k）簡解 2：設(shè)直線 l 的方程為： ykx3 ，代入橢圓方程，消去y 得9k 24 x 254kx450（ * ）x1x254k,24則9kx1 x245.9k 24x1，則，1324k 2令245k 2.x220在（ *）中，由判別式0, 可得 k 25，9從而有324k 236 ，4220545k所以41236 ，5解得15 .5結(jié)合 01得 11 .5