第17講周期信號的傅里葉變換

1、第17講周期信號的傅里葉變換第3章 信號與系統(tǒng)的頻域分析本章介紹系統(tǒng)的頻域分析方法。首先給出系統(tǒng)頻率特性的概念和物理意義，從系統(tǒng)頻率特性對輸入信號頻譜為達到特定功能而進行調整的角度，討論輸出信號的頻譜，進而求系統(tǒng)對任意信號的響應。通過學習采樣定理，進一步理解時域和頻域的對應關系。本章還結合系統(tǒng)頻域分析方法，介紹一些工程應用中非常重要的概念，例如，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)、理想低通濾波器、信號的調制與解調等等。本章主要內容n3.1 周期信號的分解與合成n3.2 周期信號的頻譜及特點n3.3 非周期信號的頻譜n3.4 傅氏變換的性質與應用（1）n3.5 傅氏變換的性質與應用（2）本章主要內容n3.6 周期信

2、號的頻譜n3.7 系統(tǒng)的頻域分析n3.8 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想低通濾波器n3.9 取樣定理及其應用n3.10 頻域分析用于通信系統(tǒng)第第 17 講講周期信號的的頻譜周期信號的的頻譜周期信號進行傅里葉變換的目的將周期信號用傅里葉級數展開得到周期信號的離散頻譜，令周期信號的周期趨近無窮大引出非周期信號，從而由傅里葉級數在周期趨于無窮大的極限導出傅里葉變換，由周期信號的離散譜過渡到連續(xù)譜，引出頻譜密度函數的概念。盡管周期信號不滿足絕對可積的條件，但引入沖激函數后，可以對周期信號進行傅里葉變換，從頻譜密度的角度觀察周期信號的離散頻譜。同時將周期信號和非周期信號的分析方法用傅里葉變換工具統(tǒng)一起來。周期信號

3、的傅立葉變換復指數信號的傅里葉變換復指數信號的傅里葉變換正余弦信號的傅立葉變換正余弦信號的傅立葉變換一般周期信號的傅立葉變換一般周期信號的傅立葉變換周期單位沖激序列的周期單位沖激序列的FSFS和和FTFT周期信號的周期信號的FSFS與其單周期信號的與其單周期信號的FTFT的關系的關系周期矩形脈沖的周期矩形脈沖的FSFS和單脈沖信號和單脈沖信號FTFT單脈沖和周期信號的傅立葉變換的比較單脈沖和周期信號的傅立葉變換的比較周期信號的傅立葉變換存在條件周期信號的傅立葉變換存在條件 周期信號不滿足絕對可積條件。 引入沖激信號后，沖激的積分是有意義的 在以上意義下，周期信號的傅立葉變換是存在的。 周期信號

4、的頻譜是離散的頻譜密度， 即傅立葉變換是一系列沖激。1.復指數、余弦和正弦信號信號的傅里葉變換復指數、余弦和正弦信號信號的傅里葉變換 0( )jtf te)(210012()jte 00( )sin,( )cosf tt f tt000cos ()()t 000sin ()()tj 因為 由頻移特性，可知 而對于正弦和余弦信號 根據線性性質并利用復指數信號頻譜，得到其頻譜函數分別為 對于復指數 余弦信號和正弦信號的波形及其頻譜 正余弦信號的傅立葉變換正余弦信號的傅立葉變換:利用頻移特性利用頻移特性)().(1001 FetfFTtj)(21)(0 FTF)()()(cos1121111tjtj

5、eeFTtFT)()()(sin1121111jeeFTtFTtjtjj正余弦信號的傅立葉變換:用極限方法 有限長余弦 看成矩形 乘 對有限長余弦的頻譜求極限，得到無限長余弦頻譜1101( )( )cos( )() / 2jtjtftg ttg teet1cos( )g t)(0tf)(2)(2)()(21)(2121110SaSaGGF2.一般的周期信號的傅立葉變換ntjnneFtf1.)()(2)(1nFtfFTnn( )f t的指數形式的傅里級數展開式為 周期信號111/2/211( )TjntnTFf t edtT系數：根據傅里葉變換的線性和頻移特性 周期信號的頻譜是離散的，而傅里葉變

6、換反映的是頻譜密度的概念，因此周期信號的傅里葉變換不同于其傅里葉系數，它不是有限值，而是沖激函數，這表明在無窮小的頻帶范圍(即諧波頻率點)取得了無窮大的頻譜值。2.一般的周期信號的傅立葉變換一般的周期信號的傅立葉變換11()2()2()nnnnF jFnFn 1nnF2周期信號的傅里葉變換是由無窮多個頻域上的沖激函數組成，這些沖激函數位于信號的各諧波頻率 處，其強度為相應傅里葉級數系數 的 倍。3、周期單位沖激序列的傅里葉變換ntjnntjnnnTeTeFnTtt111.)()(1)(12)(11nTtfFTn)()()(11nTntFTF)(t0t)(0F1)1(0)(tT1TtnF00)(

7、F1112121112111TFSFT3.周期沖激序列的波形、傅里葉系數、頻譜函數 由FS 取f(t)的一個周期 ，其FT為 所以221111).(1TTtjnndtetfTF2121).()(00TTdtetfFtj1)(101nnFTF)(0tf)(0F4.周期信號的傅立葉級數與其單周期信號的傅立葉變換的關系4.周期信號的傅立葉級數與其單周期信號的傅立葉變換的關系1)(101nnFTF)(0F)0(101FTnF)(tf)(0tf單脈沖和周期信號的傅立葉變換的比較單脈沖和周期信號的傅立葉變換的比較 單脈沖的頻譜 是連續(xù)譜，它的大小是有限值； 周期信號的頻譜 是離散譜，是頻譜密度的概念，它的

8、大小用沖激表示； 是 的包絡的 。)(0F)(F)(F)(0F115 5、周期矩形脈沖的、周期矩形脈沖的FSFS和和FTFT的關系的關系1T112T例1：已知周期矩形脈沖信號f(t)的幅度為A，脈寬為，周期為。求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數及傅里葉變換。角頻率解：周期矩形脈沖信號f(t)的傅里葉級數是1( )jntnnf tF e其傅里葉系數為 111/2/211( )TjntnTFf t edtT（1）（2）5 5、周期矩形脈沖的、周期矩形脈沖的FSFS和和FTFT的關系的關系解：單個矩形脈沖的傅里葉變換為11202()( )Sa()2Tj tTFjf t edtA110111()Sa()2nnnAFFjTT比較（2）和（3），可得（3）（4）111/2/211( )TjntnTFf t edtT（2）5 5、周期矩形脈沖的、周期矩形脈沖的FSFS和和FTFT的關系的關系解：將（4）帶回（1）式，得到111( )Sa()2jntnnAf teT所以，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換為1111()2()Sa() ()2nnnnF jFnAn 周期信號時域表示周期信號雙邊頻譜周期信號頻譜密度5、周期矩形脈沖的FS和FT的關系A)(0tf022tA)(0F2201T1TA)(tf1AT1A)(FnFtFTFSFT周期重復5.周期矩形脈沖與單矩形脈沖的關系周期矩形脈沖與單矩形脈沖的