二次函數(shù)恒成立問題

1、、恒成立問題的根本類型:類型2類型二次函數(shù)恒成立問題1：設(shè)f(x)ax2bxc(af(x)0在xf(x)0®x2:設(shè)f(x)a0時,2021年8月莞美學(xué)校f(x)2當(dāng)a0時,f(x)類型3:f(x)類型4:f(x)(xI)R上恒成立R上恒成立ax2bxc(af(x)0在x,上恒成立f(x)0在x,上恒成立對一切xI恒成立g(x)對一切xI包成立二、恒成立問題常見的解題策略:策略一：利用二次函數(shù)的判別式對于一元二次函數(shù)f(x)ax21f(x)0在xR上恒成立0),0)2f(x)/xR上恒成立0；0。上恒成立f()0f()0,上恒成立b2af()f(x)minf(x)bx例1.假設(shè)不等式

2、(m1)x2(mb2af(f(f(b2a0對一切xb2a0b2a，f()0b2af()0I恒成立f(x)max°f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方或f(x)ming(x)maxc0(a0,xR)有:1)x0；20的解集是R,求m的圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m-1是否是0。m,所以要討論1當(dāng)m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意;m 1 02m 1 0時，只需(m1)2 8( m 1)，所以，m 1,9)。0策略二利用函數(shù)的最值或值域1f(x) m對任意x都成立f (x)min m；2f (x) m對任意x都成立m

3、f (x) max °簡單計作：“大的大于最大的,本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例 2. f(x)x2 ax 3 a,假設(shè) x 2,2, f(x) 2 恒成立，求a的取值圍.解析此題可以化歸為求函數(shù)f(x而閉區(qū)間上的最值問題只要對于任意x 2,2, f(x)min 2 .假設(shè)x 2,2, f(x) 2恒成立2,2, f(x)minf(x)minf(2)73a2 a 2或 2 af(x)min f( 2)a 2 2f (x) minf(2),即a的取值圍為5, 2 2，2.2策略三：利用零點(diǎn)分布2例 3. f(x) x ax 3a ,假設(shè) x 2,2, f(x)a的取值圍.解析

4、 此題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)展分類討論,分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、 零點(diǎn)在區(qū)間的A 向口 r- M 2-右側(cè)三種情況，即A WO或 22或f( 2) 0 f(2) 0且 2口.2,即a的取值圍為-7, 2.f( 2) 0f(2) 0，可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況，要求點(diǎn)評對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了變式：設(shè)f (x) x2mx 2 ,當(dāng) x 1,)時,f (x) m恒成立，數(shù)m的取值圍。解：設(shè) F(x) x22mx 2 m ,那么當(dāng)x1,當(dāng) 4(m 1)(m2) 0 即 2 m 1 時,F(x)當(dāng) 0時，如圖,F

5、(x) 0恒成立的充要條件為:0F(1)0解得3m2。綜上可得實(shí)數(shù)m的取值圍為3,1)。2m12策略四：別離參數(shù)法假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元別離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：們f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a)f(x)max2f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a)f(x)max2x2xa例4.函數(shù)f(x),x1,)，假設(shè)對任意x1,),f(x)0恒成立，數(shù)a的取值圍。x解：假設(shè)對任意x1,),f(x)0恒成立，2-x2xa即對x1,),f(x)0恒成立，x2考慮到不等式的

6、分母x1,)，只需x22xa0在x1,)時恒成立而得2x 2x a 0 在 x 1,)時恒成立，只要a2x2x在x 1,)時恒成立。而易求得二次函數(shù)h(x)2x2x在1,)上的最大值為3,所以a3。變式：函數(shù)f(x)ax<4xx2,x(0,4時f(x)0恒成立，數(shù)a的取值圍。4xx2解：將問題轉(zhuǎn)化為a對x(0,4恒成立。x令 g(x)由 g(x).4x x2xg (x) min4x x2x4 ,一，、一 1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù),故g(x)min xg(4) 0a0即a的取值圍為(，0)。注：別離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個變

7、量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量x看成是主元未知數(shù)，而把另一個變量a看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把取值圍的變量作為主元，把要求取值圍的變量看作參數(shù)，那么可簡化解題過程。例5.假設(shè)不等式2x1m(x21)對滿足2m2的所有m都成立，求x的圍。解析：我們可以用改變主元的方法，將m視為主變元，即將元不等式化為：m(x21)(2x1)0,；令 f (m) m(x2 1) (2x1),那么 2 m 2時，f(m) 0恒成立，所以只需f( 2) 0'7 即f(2) 02(x2 1) (2x 1) 0 22( x2 1) (2x 1) 0總結(jié)：利用了一次函數(shù)f (x)tf (m)f(x

8、) 0包成立工、f (n)變式：對任意a 1,1,不所以x的圍是x (kx b, x m,n有:0 -.、0, f (x) 0包成立享式 x2 (a 4)x 47 1.3)2,2f(m) 0f(n) 02a 0恒成立，求x的取值圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但假設(shè)把a(bǔ)看成主元，那么問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上恒成立的問題。解：令f(a)(x2)ax24x4,那么原問題轉(zhuǎn)化為f(a)0恒成立a1,1。當(dāng)x2時，可得f(a)0,不合題意。,八,一f(1)0一口八當(dāng)x2時，應(yīng)有解之得x1或x3。f(1)0故x的取值圍為(，1)(3,)。策略六：消元轉(zhuǎn)化例

9、6.f(x)是定義在卜1,1匹的奇函數(shù)，且f(1)=1，假設(shè)m,n1,1,mn0時f(m)f(n)0,假設(shè)f(x)t22at1對于所有的x1,1,a1,1恒成立，數(shù)tmn的取值圍.解析此題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù)，故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1，那么f(x)t22at1對于所有的22x1,1,a1,1恒成立1t2at1對于所有的a1,1恒成立，即2tat0對于所有的a1,1恒成立，令g(a)2tat2,只要g(1)0,t2或t2或t0.g(1)0點(diǎn)評對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題，可以根據(jù)題

10、意依次進(jìn)展消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問題得以順利解決。三、穩(wěn)固練習(xí)1 .1假設(shè)關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為（,），數(shù)a的取值圍；2假設(shè)關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，數(shù)a的取值圍.解：1設(shè)fxx2axa.那么關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為（上包成立fmin x 0，即fmin x24a a40,解得4 a 02設(shè)fx x2 ax a.那么關(guān)于x的不等式x2 ax a

11、3的解集不是空集上能成立 fmin x 3,即fmin x.24a a43,解得a6或a 2.2 .假設(shè)函數(shù)yJmx26mxm8在R上恒成立，求m的取值圍。分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)mx26mxm80在R上包成立問題，并且注意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論。略解：要使yJmx2_6mxm8在R上恒成立，即mx26mxm80在R上包成立。1 m0時，80m0成立m02 m0時，2,0m136m4m832mm10由，2可知，0m1232x x tx t,3 .向重a(x,x1),b(1x,t),假設(shè)函數(shù)fxab在區(qū)|可1,1上是增函數(shù)，求t的取值圍.解：依定義f(x)x2(1x)t(x1)則 f (x)3x2

12、 2x t. f x在區(qū)間1,1上是增函數(shù)等價于f x 0在區(qū)間 1,1上包成立;而f x 0在區(qū)間1,1上包成立又等價于t 3x2 2x在區(qū)間1,1上包成立;設(shè)gx3x22x,x1,1進(jìn)而tgx在區(qū)間1,1上恒成立等價于tgmaxX,X1,1考慮到gx3x22x,x1,1在1,-上是減函數(shù)，在-,1上是增函數(shù)，那么33gmaxxg15.于是,t的取值圍是t5.4 .函數(shù)fxx33ax1,gxfxax5,其中f'x是fx的導(dǎo)函數(shù).對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)x0,數(shù)x的取值圍；解法1.由題意gx3x2ax3a5,這一問外表上是一個給出參數(shù)a的圍，解不等式gx0的問題，實(shí)際上，把以x

13、為變量的函數(shù)gx,改為以a為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的包成立的問題，即令a3xa3x25,1a1,那么對1a1,恒有g(shù)x0,即a0,從而轉(zhuǎn)化為對1a1,a0包成立，又由a是a的一次函數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到.為此103x2x20一2一2只需即320,解得-x1.故x-,1時，對滿足1a1的103x2x80.33一切a的值，都有g(shù)x0.解法2考慮不等式gx3x2ax3a50.由1a1知，a236a600,于是，不等式的解為aa236a60aa236a60x.66a .a2 36a 606但是,這個結(jié)果是不正確的，因?yàn)闆]有考慮a的條件，還應(yīng)進(jìn)一步完善.為此，設(shè)g a由于

14、g aa.a236a60一,ha不等式化為g a6xha,1a1包成立，即9amaxxhamin,1a1.a-a36a60在1a1上是增函數(shù)，那么ga3g16maxhaa后636a60在1a1上是減函數(shù)，那么haminh11.所以，Ix1.22,1時，對潴足31 a 1的一切a的值，都有g(shù) x 0.5 .假設(shè)對任意的實(shí)數(shù)x,sin2x2kcosx2k20恒成立，求k的取值圍。解法一：原不等式化為cos2x2kcosx2k10令tcosx,那么t1,即ft22kt2k1tk2k22k1在t1,1上恒大于0。1假設(shè)k1,要使f(t)0,即f(1)0,kk不存在2假設(shè)1k1,假設(shè)使f(t)0,即f(

15、k)k22k10172k1&1&k1假設(shè)k1,要使f(t)0,即f(1)0,k1由，可知，k1工。解法二：f(t)t22kt2k10,在1,1上包成立。k22k101.2k1,2k22k10f0k1.2f(1)0k1或k1由，可知，k1J2。16 .函數(shù)f(x)xax10對于一切x(0,-成立，求a的取值圍27 .函數(shù)f(x)x24xm對于x(0,1恒成立，求m的取值圍。11.8 .假設(shè)不等式9x6axa2a60在-x-恒成立，求a的取值圍339 .函數(shù)ylgx2(a1)xa2的定義域?yàn)镽,數(shù)a的取值圍解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式x2(a1)xa20對xR包成立，即有(a1)24a20解得a1或a3。所以實(shí)