二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)—知識講解(提高)

1、二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a*0)的圖象與性質(zhì)一知識講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(xh)2+k(a、h、k常數(shù)，aw0)的圖象.掌握拋物線y=a(xh)2+k2與y=ax圖象之間的關(guān)系；2 .熟練掌握函數(shù)y=a(xh)2+k的有關(guān)性質(zhì)，并能用函數(shù)y=a(xh)2+k的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題；3 .經(jīng)歷探索y=a(xh)2+k的圖象及性質(zhì)的過程，體驗(yàn)y=a(x-h)2+k與y=ax2、y=ax2+k、2y=a(x-h)之間的轉(zhuǎn)化過程，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)形結(jié)合的思想方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)y=a(xh)2(a#0)與函數(shù)y=a(xh)2+k(a#0)的

2、圖象與性質(zhì)21 .函數(shù)y=a(xh)(a#0)的圖象與性質(zhì)a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a>0向上(h,0)x=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y隨x的增大而減??；x=h時(shí)，y有最小值0.a<0問卜(h,0)x=hxh時(shí)，y隨x的增大而減?。粁<h時(shí)，y隨x的增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值0.22 .函數(shù)y=a(xh)+k(a¥0)的圖象與性質(zhì)a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a>0向上(h,k)x=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xch時(shí)，y隨x的增大而減小；x=h時(shí)，y有最小值k.a<0問卜(h,k)x=hxh時(shí)，y隨x的增大而減小

3、；x<h時(shí)，y隨x的增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值k.要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(aw0)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題.要點(diǎn)二、二次函數(shù)的平移1 .平移步驟：2將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)+k,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處，具體平移方法如下:向上上你【或向下(七母】平移因個(gè)單位尸口 (砌胃向上(g。)或下促。)】平移闡個(gè)單位向右俗口)I或左蜃巾)】 平移網(wǎng)個(gè)單位向右®6 E或左川4)】 平移同個(gè)單位向上(上。)或下(定0)】

4、 平移網(wǎng)個(gè)單位向右第61或左促口” 平移網(wǎng)個(gè)單位A y=a(x-h+k2 .平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減要點(diǎn)詮釋：(1) y=ax2+bx+c沿y軸平移：向上(下)平移m個(gè)單位，y=ax2+bx+c變成y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m)(2) y=ax2+bx+c沿x軸平移：向左(右)平移m個(gè)單位，y=ax2+bx+c變成.22y=a(x+m)+b(x+m)+c(或y=a(xm)+b(xm)+c)【典型例題】類型一、二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a#0)圖象及性質(zhì)2口121.已知y=a(x-h)2

5、+k是由拋物線y=-x2向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度得到的拋物線.(1) 求出a、h、k的值；219(2) 在同一坐標(biāo)系中，回出y=a(xh)+k與y=gx的圖象；(3) 觀察y=a(xh)2+k的圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x增大而減小，并求出函數(shù)的最值；(4)觀察y=a(x-h)2+k的圖象，你能說出對于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎？【答案與解析】1。(1) 拋物線y=-x2向上平移2個(gè)單位長度，212再向右平移1個(gè)單位長度得到的拋物線是y=/(x-1)2+2,1a=,h=1,k=2.211o(2)函數(shù)y=-(x-)2+2與y=_X2的圖象如

6、圖所示.1 .、2(3)觀祭y=(x1)2+2的圖象知，當(dāng)X<1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)X>1時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y有最大值是2.(4) 由圖象知，對于一切x的值，總有函數(shù)值yW2.12【總結(jié)升華】先根據(jù)平移的性質(zhì)求出拋物線y=-x平移后的拋物線的解析式，再對比22y=a(xh)+k得到a、h、k的值，然后回出圖象，由圖象回答問題.舉一反三:【變式】把二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函12數(shù)y=-(x+1)-1的圖象.(1)試確定a、h、k的值；(2)指出二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐

7、標(biāo)，分析函數(shù)的增減性.1【答案】(1)a=,h=1,k=-5.(2)開口向下，對稱軸x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-5),2當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)xv1時(shí)，y隨x的增大而增大.Kx-12-1(x<3)2.已知函數(shù)y=$2,則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為(x-52-1x>3A.0B.1C.2D.3【答案】D;2|；x-1-1x03s【解析】函數(shù)y=$2的圖象如圖：kx-'5)-1x>3根據(jù)圖象知道當(dāng)y=3時(shí)，對應(yīng)成立的x恰好有三個(gè)，1.k=3.故選D.【總結(jié)升華】此題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象解決交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是把解方程的問題轉(zhuǎn)換為根據(jù)函

8、數(shù)圖象找交點(diǎn)的問題.類型二、二次函數(shù)y=a(xh)2+k(a#0)性質(zhì)的綜合應(yīng)用23.如圖所不，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1,4)和(4,4),拋物線y=a(x-m)+n的頂點(diǎn)在線段AB上移動，與x軸交于CD兩點(diǎn)(C在D的左側(cè))，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為().A.-3B.1C.5D.8【答案】D;【解析】要使點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-3,即是當(dāng)拋物線y=a(x-m)2+n的頂點(diǎn)在點(diǎn)A(1,4)時(shí).點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).由此得y=a(x1)2+4,將x=3,y=0時(shí)，0=a(31)2+4.112所以a二一-.當(dāng)拋物線y=(x1)+4頂點(diǎn)在B(4,4)時(shí).4412點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取

9、最大值.此時(shí)平移后的拋物線的解析式為y=(x-4)+4.令y=0,4解得x=8.2【總結(jié)升華】此題根據(jù)拋物線y=a(x-m)+n平移的性質(zhì)求出a、nn得到拋物線的解析式.再利用二次函數(shù)解析式求解.舉一反三：【變式】在距離地面2m高的某處把一物體以初速度vo(m/s)豎直向上拋出，在不計(jì)空氣阻力的情況下，2其上升圖度s(m)與拋出時(shí)間t(s)滿足：5=-gP(其中g(shù)是常數(shù)，通常取10m/s2).若2V0=10m/s,則該物體在運(yùn)動過程中最高點(diǎn)距地面m.【答案】7.C4.如圖所示，拋物線=J3(x+1)2的頂點(diǎn)為C,與y軸交點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)B.(1) 求直線AC的解析式y(tǒng)2=kx+b；(2) 求ABC勺面積；(3) 當(dāng)自變量x滿足什么條件時(shí)，有y1Ay2?【答案與解析】(1)由=/3(x+1)2知拋物線頂點(diǎn)C(-1,0),令x=0,得y=J3,A(0,J3).由待定系數(shù)法可求出b=Bk=J3,y2=3x.3.(2)拋物線y1=J3(x+1)2的對稱軸為x=-1,根據(jù)拋物線對稱性知B(-2,V3).SxABC=2/2M由二百(3)根據(jù)圖象知xA0或x<-1時(shí)，有y1>y2.【總結(jié)升華】圖象都經(jīng)過A點(diǎn)和C點(diǎn)，說明A點(diǎn)、C點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)圖象上，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)均