[中學(xué)聯(lián)盟]福建省福鼎市第二中學(xué)人教A版高中數(shù)學(xué)必修二《1-3 空間幾何體的表面積與體積》課件(共44張PPT)

1、回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺：、正棱臺：側(cè)棱和底面?zhèn)壤夂偷酌娲怪贝怪钡睦庵兄崩庵睦庵兄崩庵酌媸钦噙呅蔚牡酌媸钦噙呅蔚闹敝崩庵姓庵庵姓庵酌媸钦噙呅危酌媸钦噙呅?，頂點在底面的射影是底面中心頂點在底面的射影是底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺截面和底面之間的部分叫正棱臺作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜斜

2、高的概念高的概念分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形什么形狀的圖形.ABCDABCABCD 在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題棱錐側(cè)面展開圖棱錐側(cè)面展開圖三角形組成三角形組成S表=S底+S側(cè)棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)

3、面展開圖梯形組成梯形組成7S表=S底+S側(cè) 棱柱、棱錐、棱臺都是由多棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？的表面積？棱柱,棱錐,棱臺的表面積一般地一般地, ,多面體的表面積就是各個面的面積之和多面體的表面積就是各個面的面積之和棱柱棱柱棱錐棱錐棱臺棱臺例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為 _;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側(cè)面積79答：D D分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成分析：四

4、面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成交交BCBC于點于點D D解：過點解：過點S S作作 ，SDBC B BC CA AS S22223,( )22aBCa SDSBBDaa例例3 3已知棱長為已知棱長為 ，各面均為等邊三角形的四面體，各面均為等邊三角形的四面體S-ABCS-ABC，求它的表面積，求它的表面積 a 211332224SBCSBC SDaaa 因此，四面體因此，四面體S-ABCS-ABC的表面積為的表面積為223434aaS 如何根據(jù)圓柱如何根據(jù)圓柱, ,圓錐的幾何結(jié)圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征構(gòu)特征, ,求它們的表面積求它們的表面積? ?圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形22

5、22()Srrlr rlOOrl2 r 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl(1)(1)聯(lián)系圓柱和圓錐的展開圖聯(lián)系圓柱和圓錐的展開圖, ,你能想你能想象圓臺展開圖的形狀并且畫出它嗎象圓臺展開圖的形狀并且畫出它嗎? ?(2)(2)如果圓臺的上如果圓臺的上, ,下底面半徑分別下底面半徑分別為為 , ,母線長為母線長為l,l,你能計算出它你能計算出它的表面積嗎的表面積嗎? ?rr , r2lOrO r2 r圓臺的側(cè)面展開圖圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)是扇環(huán)r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xlOrO r圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間圓柱、圓錐、圓

6、臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？lOOrrr上底擴大上底擴大lOrr0上底縮小上底縮小2222()Srrlr r l 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 例例3 3如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20cm20cm，盆底直，盆底直徑為徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5cm1.5cm，盆壁長，盆壁長15cm15cm為為了美化花盆的外觀，需要涂油漆已知每平方米用了美化花盆的外觀，需要涂油漆已知每平方米用100100毫毫升油漆升油漆, ,涂涂100100個這樣的花盆需要多少油漆（取個這樣的花盆需要多少油漆（取 3.14,

7、3.14,結(jié)果精確到結(jié)果精確到1 1毫升，可用計算器）？毫升，可用計算器）？ cm15cm20cm15解：解：花盆外壁的表面積：花盆外壁的表面積：答：答：涂涂100100個這樣的花盆約需要個這樣的花盆約需要10001000毫升油漆毫升油漆221515201.5()1515()2222S221000()0.1()cmm涂涂100個花盆需油漆：個花盆需油漆：0.1 100 1001000(毫升毫升)柱體、錐體、臺體的表面積柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和各面面積之和展開圖展開圖rlrS 22圓柱圓柱rlrS 2圓臺圓臺圓錐圓錐rllrrrS 22幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積幾何體占有空

8、間部分的大小叫做它的體積體積的概念與公理體積的概念與公理:公理公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體長方體= abc推論推論1 、長方體的體積等于它的底面積、長方體的體積等于它的底面積s和高和高h的積的積。V長方體長方體= sh推論推論2 、正方體的體積等于它的棱長、正方體的體積等于它的棱長a 的立方。的立方。V正方體正方體= a3公理公理2 2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的

9、體積相等。面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。PQ祖暅原理祖暅原理定理定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積的底面積 s 和高和高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh二：柱體的體積二：柱體的體積推論推論 ： 底面半徑為底面半徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h三三:錐體體積錐體體積例例2 2： 如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S S, ,高為高為h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D1

10、C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問：（問：（1 1）從）從A A點出發(fā)棱柱能點出發(fā)棱柱能分割分割成幾個三棱錐？成幾個三棱錐？ 3.13.1錐體（棱錐、圓錐）的體積錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積（底面積S，高高h） 注意：三棱錐的頂點和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離問題問題:錐體錐體( (棱錐、圓錐）棱錐、圓錐）的體積的體積shV31三棱錐定理如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面定理如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是推論：如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積

11、是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 3131圓錐圓錐 Shss/ss/hx四四.臺體的體積臺體的體積V V臺體臺體= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則推論：如果圓臺的上推論：如果圓臺的上, ,下底面半徑是下底面半徑是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的體積是：，那么它的體積是：31圓臺圓臺 h)(222121rrrr五五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0SS分別為上、下分別為上、

12、下底面底面面積，面積，h 為臺體高為臺體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴大上底擴大上底縮小上底縮小例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？1求空間幾何體的體積除利用公求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)式法外，還常用分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法體體積計算問題的常用方法幾何體的體積小結(jié)幾何體的體積小結(jié)2計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高

13、，要充分利用多面體條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題問題RROORR球的體積：球的體積：一個半徑和高都等于一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的的半球的體積相等。半球的體積相等。探究球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR22221 1 RR-RR- RRRR3

14、 3第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個網(wǎng)格，個網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積的體積為：為：iViVnVVVVV.321iSO O知識點三、球的表面積和體積知識點三、球的表面積和體積（O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細如果網(wǎng)格分的越細,

15、 ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式，則球的體積公式為為V球球 .43R3例例1若球若球O1、O2表面積之比表面積之比4，則它，則它們的半徑之比們的半徑之比_.(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁１丁?2)(2)若球半徑變?yōu)?/p>

16、原來的若球半徑變?yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?。倍?3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。例例2 2：2422:134: 1例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個它的各個頂點都在球頂點都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O

17、 OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個正方體的六個面都相切，則有和這個正方體的六個面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個正方體的各條棱都相切，則有和這個正方體的各條棱都相切，則有S=S

18、=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系OABCO 例例4已知過球面上三點已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體，求球的體積，表面積積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 方法與技巧方法與技巧1.1.對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的

19、錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的 結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決. .2.2.要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. .3.3.當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無 法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中 的已知元素彼此離散時的已知元素彼此離散時, ,我們可采用我們可采用“割割”、 “ “補補”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體 （柱、錐、臺），或化離散為集中，給解題提供（柱、錐、臺），或化離散為集中，給解題提供 便利便利

20、. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高（1 1）幾何體的）幾何體的“分割分割”幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求求, ,分割成若干個易求體積的幾何體分割成若干個易求體積的幾何體, ,進而求之進而求之. .(2)(2)幾何體的幾何體的“補形補形”與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等. .另外另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法, ,由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體由臺體的定義，我們在有些情況