經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概率統(tǒng)計課件隨機變量的分布函數(shù)

1、1. 概 念 定義定義 設(shè) X 是一個隨機變量，x 是任意實數(shù)，函數(shù))(xXPxF稱為 X 的分布函數(shù)對于任意的實數(shù) x1, x2 (x1 x2) ，有：).()(121221xFxFxXPxXPxXxPx1 x2 xXo)(xXPxF0 xxX 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例例 1 設(shè)隨機變量 X 的分布律為： 求 X 的分布函數(shù). Xpk21 -1 2 34141解：解：當(dāng) x -1 時，滿足，的集合為的XxX0 xX-1x. 0)(PxXPxF2. 例 子 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄當(dāng),21時x滿足 Xx 的 X 取值為 X = -1, .411)(XPxXPxFxX-1x當(dāng),32

2、時 x滿足 Xx 的 X 取值為 X = -1, 或 2 .214121)(XXPxXPxF或Xpk21 -1 2 34141 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄同理當(dāng),3時x. 1321)(XXXPxXPxF或或.3, 1, 32,43,21,41, 1,0)(xxxxxF-1 0 1 2 3 x1 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄,41)21(21FXP,214143)23()25(2523FFXP,43214312)2()3(32XPFFXP-1 0 1 2 3 x1 3 隨機變量的分布函數(shù)-1 0 1 2 3 x1214141 分布函數(shù) F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,

3、) 處有跳躍， 其跳躍值為 pk=PX= xk.Xpk21 -1 2 34141 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄 例例 2 一個靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機變量X的分布函數(shù).解：解：（1） 若 x 0, 則 是不可能事件，于是xX . 0)()(PxXPxF（2）,0, 202xkxXPx由題意，若X 3 隨機變量的分布函數(shù)時于是，20 x.400)(2xxXPXPxXPXF（3） 若 , 則 是必然事件，于是xX 2x. 1)(xXPxF.420, 4/12xxPk即得與上式

4、對比由已知得取, 120, 2xPx 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄. 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 1 2 31F(x)x 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄3. 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 分別觀察離散型、連續(xù)型分布函數(shù)的圖象， 可以 看出，分布函數(shù) F(x) 具有以下基本性質(zhì)：).()(1212xFxFxx時，即當(dāng)10 F (x) 是一個不減的函數(shù) 0 1 2 31F(x)x 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄20. 1)(lim)(;0)(lim)(, 1)(0 xFFxFFxFxx且30.)(),() 0(是右連續(xù)的即xFxFxF-1 0 1 2 3 x1 3

5、隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率用分布函數(shù)計算某些事件的概率 的分布函數(shù)，則是隨機變量設(shè)XxXPxF0aFaXPaXPaXPaXP 0aFaFaXPbXPbXaP aFbF 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率用分布函數(shù)計算某些事件的概率aXPbXPbXaP 0aFbFaXPbXPbXaP aFbF0aXPbXPbXaP00aFbF 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率用分布函數(shù)計算某些事件的概率bXPbXP1 bF1bXPbXP101bF 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例例 3 3的分布函數(shù)為設(shè)隨機變量X xxxxxxxF313212112132102003XP試求：3XP1XP21XP42 XP31 XP 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例例 3 3（續(xù)）（續(xù)）解： 33FXP033FXP 0111FFXP21121FXP 20442FFXP010331FFXP112116121324341112112111125211211 3 隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例例 4 4設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 xBarctgxAxF、試求常數(shù)BA解：由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有 BarctgxAxFxxlimlim0