32立體幾何中向量方法1

1、12 利用向量可證明利用向量可證明四點(diǎn)共面、線(xiàn)線(xiàn)平行、四點(diǎn)共面、線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直等問(wèn)題，等問(wèn)題，其方法是通過(guò)其方法是通過(guò)向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算來(lái)判斷，這是數(shù)來(lái)判斷，這是數(shù)形結(jié)合的典型問(wèn)題形結(jié)合的典型問(wèn)題. .3 例例1 1 在正方體在正方體ACAC1 1中，中，E E, ,F F分別是分別是BBBB1 1, ,CDCD的中點(diǎn)，求證：平面的中點(diǎn)，求證：平面AEDAED平面平面A A1 1FDFD1.1.ABCDA1B1C1D1EFxyz4評(píng)述：評(píng)述： 此題用綜合推理的方法不易入手此題用綜合推理的方法不易入手. . 用向量代數(shù)用向量代數(shù)的方法則先證明

2、線(xiàn)線(xiàn)垂直，再由線(xiàn)線(xiàn)垂直來(lái)的方法則先證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，再由線(xiàn)線(xiàn)垂直來(lái)證明線(xiàn)面垂直，從而證得面面垂直證明線(xiàn)面垂直，從而證得面面垂直. .證明面面證明面面垂直的原理是一致的，只不過(guò)是證明的手段垂直的原理是一致的，只不過(guò)是證明的手段不同不同. . 利用向量解幾何題的一般方法是：把線(xiàn)段或利用向量解幾何題的一般方法是：把線(xiàn)段或角轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知角轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，通過(guò)向量運(yùn)算去計(jì)算或證明向量，通過(guò)向量運(yùn)算去計(jì)算或證明. .5 利用向量可以進(jìn)行求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)利用向量可以進(jìn)行求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角，關(guān)鍵是進(jìn)行向量的計(jì)面角、面面角，關(guān)鍵是進(jìn)行向量的計(jì)算算. .6 例例2

3、2 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD, ABBC，BCCD，AB與與CD成成60600 0角，求角，求AD與與BC所成的角所成的角. .7 注意異面直線(xiàn)所成的角與異面直線(xiàn)上兩向量注意異面直線(xiàn)所成的角與異面直線(xiàn)上兩向量夾角的關(guān)系：相等或互補(bǔ)夾角的關(guān)系：相等或互補(bǔ). 求異面直線(xiàn)所成的角的關(guān)鍵是求異面直線(xiàn)上求異面直線(xiàn)所成的角的關(guān)鍵是求異面直線(xiàn)上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須把所求向量用空間的一組基向量來(lái)表示，必須把所求向量用空間的一組基向量來(lái)表示，本題正遵循了這一規(guī)律本題正遵循了這一規(guī)律. 本題多次運(yùn)用了封閉回路本題多次運(yùn)用了封閉

4、回路.評(píng)述：評(píng)述：8 如果向量如果向量n的基線(xiàn)與平面的基線(xiàn)與平面垂直垂直, ,則則向量向量n叫做平面叫做平面的的法向量法向量或說(shuō)向量或說(shuō)向量n與與平面平面正交正交. . 平面平面的一個(gè)法向量垂直于與平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量共面的所有向量一個(gè)平面的所有法向量互相平行一個(gè)平面的所有法向量互相平行. .直線(xiàn)與平面垂直的判定定理直線(xiàn)與平面垂直的判定定理: : 如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直垂直, ,那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面. .9 已知已知a, ,b是平面是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn), ,且直且直線(xiàn)線(xiàn)n,

5、 ,n. .求證求證: :n. . 證明:設(shè)m是內(nèi)的任一條直線(xiàn),在n,a,b,m上分別取非零向量n,a,b,m.因?yàn)閍和b相交,由共面向量定理可知,存在唯一的數(shù)對(duì)(x,y)使m=xa+yb,nm=xna+ynb由已知條件由已知條件, ,可以推知可以推知na=0,=0, nb=0.=0.因此因此nm=0,=0,得得nm. 因?yàn)橹本€(xiàn)因?yàn)橹本€(xiàn)n垂直于平面垂直于平面內(nèi)的任一直線(xiàn)內(nèi)的任一直線(xiàn), ,所以直線(xiàn)垂直于平面所以直線(xiàn)垂直于平面. .10 設(shè)設(shè)A是空間任一點(diǎn)是空間任一點(diǎn), , n為空間任一非零向?yàn)榭臻g任一非零向量量, ,適合條件適合條件AMn=0. =0. 的點(diǎn)的點(diǎn)M M 構(gòu)成什么樣的圖形構(gòu)成什么樣

6、的圖形? ?AnM2M1MAMn=0.我們用上式表述通過(guò)空間一點(diǎn)并且與一個(gè)向量我們用上式表述通過(guò)空間一點(diǎn)并且與一個(gè)向量垂直的平面垂直的平面. .通常稱(chēng)為一個(gè)通常稱(chēng)為一個(gè)平面的向量表示平面的向量表示. .設(shè)設(shè)n1 1, ,n2 2分別是平面分別是平面, ,的法向量的法向量, ,則容易得到則容易得到討論：討論：/(或重合或重合) n1/n2 n1n2 n1n2=011例例3 3 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A( (a,0,0),0,0),B B(0,(0,b b,0),0),C C(0,0,(0,0,c c),),求平面求平面ABCABC的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. .( , , ) (, ,0)0n ABx

7、y za bax by 0,.0axbyaayx zxaxczbc由解得設(shè)平面設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n=(x,y,z),則則解解: : 由已知得由已知得AB=OB-OA=(-a,b,0) )不妨令不妨令x=bc則則y=ac, ,z= =ab.OABzyCxnAC=OC-OA=(-a,0,c)( , , ) (,0, )0n ACx y zacax cz 因此因此, ,可取可取n=(bc,ac,ab)為平面為平面ABCABC的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. .12 空間距離是一種重要的幾何量，利空間距離是一種重要的幾何量，利用常規(guī)方法求距離，需要較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化用常規(guī)方法求距離，需要較強(qiáng)

8、的轉(zhuǎn)化能力，而用向量法則相對(duì)簡(jiǎn)單能力，而用向量法則相對(duì)簡(jiǎn)單. .13 例例4 4 正方體正方體ACAC1 1棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為1 1，求平面，求平面ADAD1 1C C與平與平面面A A1 1BCBC1 1的距離的距離. .A1B1C1D1ABCDxyz14評(píng)述：評(píng)述：此此題用找公垂線(xiàn)的方法比較難下手，用向題用找公垂線(xiàn)的方法比較難下手，用向量代數(shù)的方法則簡(jiǎn)捷、高效，顯示了向量量代數(shù)的方法則簡(jiǎn)捷、高效，顯示了向量代數(shù)方法在解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性代數(shù)方法在解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性.平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)到平面的平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)到平面的距離或再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離距離或再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面

9、的距離.15 ACBDACABBDAB 0 0已已知知二二面面角角 - - - 為為1 12 20 0 ，且且，= = = =1 1. .A AB BA AB BA AC CB BD D(1)求求CD的長(zhǎng)的長(zhǎng).(2)CD與與AB所成的角所成的角.16ABCDA1B1C1D1 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P 為為DD1的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，O1，O2，O3分別是平面分別是平面A1B1C1D1，平面，平面BB1C1C，平面，平面ABCD的的中心中心. （1）求證：）求證：B1O3PA.O3PxyzO2O117ABCDA1B1C1D1 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P 為為DD1的點(diǎn)，的點(diǎn)，O1，O2，O3分別是平面分別是平面A1B1C1D1，平面，平面BB1C1C，平面，平面ABCD的中心的中心.O3Pxyz （2）求異面直線(xiàn)）求異面直線(xiàn)PO3與與O1O2成的角成的角.O2O118 本堂課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是用向量代數(shù)的方本堂課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是用向量代數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題，但在學(xué)習(xí)中應(yīng)法解決立體幾何問(wèn)題，但在學(xué)習(xí)中應(yīng)把幾何綜合推理與向量代數(shù)運(yùn)算推