從Durer魔方跨入線性代數(shù)思維之門

1、12Drer魔方魔方：4階，每一行之階，每一行之和為和為34，每一列之和為，每一列之和為34，對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和是是34，每個(gè)小方塊中的數(shù)字，每個(gè)小方塊中的數(shù)字之和是之和是34，四個(gè)角上的數(shù)字，四個(gè)角上的數(shù)字加起來也是加起來也是34.版畫創(chuàng)造時(shí)版畫創(chuàng)造時(shí)間：間：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！Drer魔方魔方什么是什么是Drer魔方魔方 該魔方出現(xiàn)在德國(guó)著該魔方出現(xiàn)在德國(guó)著名的藝術(shù)家名的藝術(shù)家 Albrecht Drer于于1514年創(chuàng)造的年創(chuàng)造的版畫版畫Melancolia。134階階Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=對(duì)角線（或次對(duì)對(duì)角

2、線（或次對(duì)角線）之和角線）之和=每個(gè)小方塊之和每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和四個(gè)角之和.銅幣鑄造時(shí)銅幣鑄造時(shí)間：間：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！你想構(gòu)造你想構(gòu)造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個(gè)？魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的如何構(gòu)造所有的D Drerrer魔方？魔方？什么是什么是Drer魔方魔方 110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7和為和為48.2Drer魔方魔方44階階Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=對(duì)角線（或次對(duì)對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和角線）之和=每個(gè)小方塊之和每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和四個(gè)角

3、之和.你想構(gòu)造你想構(gòu)造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個(gè)？魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的如何構(gòu)造所有的D Drerrer魔方？魔方？什么是什么是Drer魔方魔方 A=B=設(shè)設(shè)A,B是任意兩個(gè)是任意兩個(gè)Drer 魔方，魔方，對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？ A+B 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 73Drer魔方魔方5你想構(gòu)造你想構(gòu)造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個(gè)？魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的如何構(gòu)造所有的D Drerrer魔方？魔方？設(shè)設(shè)A,

4、B是任意兩個(gè)是任意兩個(gè)Drer 魔方，魔方，對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？ A+B 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？松馳問題的討論松馳問題的討論允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)任意兩個(gè)任意兩個(gè)Drer魔方的任意魔方的任意的線性組合仍是的線性組合仍是Drer魔方。魔方。記記 D=A=(aij) R44|A為為Drer魔方魔方 將將A看成看成16維列向量，則維列向量，則D構(gòu)成一構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為個(gè)向量空間，稱為Drer魔方空間魔方空間.無窮多個(gè)無窮多個(gè)求出魔方空間的一組基求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構(gòu)基的任意線性組合都構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)Dre

5、r魔方魔方.4Drer魔方空間魔方空間6令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對(duì)角線和，為對(duì)角線和，S為小方塊和為小方塊和類似于類似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來構(gòu)造一來構(gòu)造一些些R=C=D=S=1的的最簡(jiǎn)單的方陣。最簡(jiǎn)單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基5Drer魔方空間魔方空間71在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械膬煞N取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱為基本魔方簡(jiǎn)方陣，稱為基本

6、魔方Q1,Q8 令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對(duì)角線和，為對(duì)角線和，S為小方塊和為小方塊和類似于類似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來構(gòu)造一來構(gòu)造一些些R=C=D=S=1的的最簡(jiǎn)單的方陣。最簡(jiǎn)單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基Q1=000000000000000011116Drer魔方空間魔方空間800101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001

7、001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械膬煞N取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱為基本魔方簡(jiǎn)方陣，稱為基本魔方Q1,Q8 7Drer魔方空間魔方空間9 顯然，顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方空間中任何一個(gè)魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但來線性表示，但它們能否構(gòu)成它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？0010100001000001

8、1Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基8Drer魔方空間魔方空間1000101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q0001010010000

9、0108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基145823670QQQQQQQQ Q1,Q8線性相關(guān)線性相關(guān) 顯然，顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方空間中任何一個(gè)魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但來線性表示，但它們能否構(gòu)成它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？9Drer魔方空間魔方空間11Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成能否構(gòu)成D空間的一組基？空間的一組基？00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q000

10、11000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基145823670QQQQQQQQ Q1,Q8線性相關(guān)線性相關(guān)由由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr0ir127,Q QQ線性無關(guān)。線性無關(guān)。Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.1012Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成能否構(gòu)成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQ

11、rQrD構(gòu)造構(gòu)造Albrecht Drer的數(shù)字魔方的數(shù)字魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16 3213510 11896712415 14 1=12345678,8,7,6,2,3,4rrrrrrr 122345678876234DQQQQQQQ 11Drer魔方空間魔方空間13Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成能否構(gòu)成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQr

12、QrQrQrQrD隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =？=dij所得的線性方程組有所得的線性方程組有 個(gè)方程？個(gè)方程？ 個(gè)變量？個(gè)變量？1623如何求解該線性方程組呢？如何求解該線性方程組呢？12Drer魔方空間魔方空間14隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13、0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016維變量維變量 y (A, E) = 0ry13Drer魔方空間魔方空間15 A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0

14、 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %變量變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C=A,-eye(16); %系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣(A, E ) C1=rref(C) %求行最簡(jiǎn)形求行最簡(jiǎn)形C1=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

15、0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1

16、0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1

17、-10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4414Drer魔方空間魔方空間16隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) Ar y = 016維變量維變量 y (A, E) = 0ry自由變量可取為自由變量可取為d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416 3213510 11896712415 14 1110

18、 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 715Drer魔方空間魔方空間17%程序程序mymagic.m%輸入輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個(gè)，得到整個(gè)Drer魔方魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1

19、0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %變量變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C=A,-eye(16); %系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣(A, E ) x=null(C,r); %求齊次方程組的基礎(chǔ)解系求齊次方程組的基礎(chǔ)解系y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基礎(chǔ)解系的線性組合基礎(chǔ)解系的線性組合y=y(8:23,:); %y為為16維魔方向量維魔方向量D=vec2mat(y,4,4) %將將y轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為4階魔方陣階魔方陣mymagicpl

20、ease input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:6 3 15 20 09 12 7隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 716Drer魔方空間魔方空間18(2)任給任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就的一組值，就可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由變量的選取不唯

21、一自由變量的選取不唯一(3)任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也的一組值，也可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.1258611467101719還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？(3)任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也的一組值，也可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由變量的選取不唯一自由變量的選取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？如何選取自由變量？由由x+2

22、6=x+24+d14.xx+2x+3x+46x 39x+54由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.1820還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？(3)任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也的一組值，也可得唯一確定可得唯一確定Drer魔魔方的其他值方的其他值.賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由變量的選取不唯一自由變量的選取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？如何選取自由變量？由由x+26=x+24+d14.由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.1344755-381921

23、還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？能否將能否將Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？的限制再增強(qiáng)嗎？賦予魔方更賦予魔方更大的威力吧！大的威力吧！令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對(duì)角線和，為對(duì)角線和，S為小方塊和為小方塊和(1) 7維維Drer魔方空間魔方空間D D：R=C=D=S(2) 要求所有數(shù)都相等要求所有數(shù)都相等:一維向量空間一維向量空間 G G = rE,rR，其中其中eij=1, i,j.(3) 特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)r =0: 0維向量空間維向量空間 O2022能否將能否將Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？的限制再增強(qiáng)嗎？Drer空間的子空間空間的子

24、空間能否將能否將Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再的限制再放寬放寬嗎？嗎？令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對(duì)角線和，為對(duì)角線和，S為小方塊和為小方塊和(1) 7維維Drer魔方空間魔方空間D D：R=C=D=S(2) 要求所有數(shù)都相等要求所有數(shù)都相等: 一維向量空間一維向量空間G G = rE,rR.(3) 特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)r =0: 0維向量空間維向量空間 OO G G D D魔方空間魔方空間 維維 數(shù)數(shù) 0 1 7(4) 8維維魔方空間魔方空間Q Q：R=C=D(5) 16維維數(shù)字空間數(shù)字空間MM：數(shù)字可任意取值數(shù)字可任意取值 Q Q 8 MM 16和擴(kuò)張和擴(kuò)張21D

25、rer魔方空間魔方空間232. 培養(yǎng)觀察問培養(yǎng)觀察問題分析問題的題分析問題的能力能力1. 培養(yǎng)化繁為培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式簡(jiǎn)的思考模式(1) 轉(zhuǎn)換思考轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思角度，訓(xùn)練思維的求異性維的求異性(2) 探討變換探討變換問問題的條件題的條件 3. 培養(yǎng)發(fā)散思培養(yǎng)發(fā)散思維維(4) 將結(jié)論作為將結(jié)論作為條件倒退條件倒退 (3) 培養(yǎng)多角度培養(yǎng)多角度看問題看問題 (5) 利用精煉的利用精煉的語(yǔ)言比擬語(yǔ)言比擬4. 培養(yǎng)培養(yǎng)歸納總結(jié)的歸納總結(jié)的能力能力2224根據(jù)根據(jù)1的取法，確定了的取法，確定了8個(gè)基本魔方個(gè)基本魔方Q1,Q8 求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1. 培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式培養(yǎng)

26、化繁為簡(jiǎn)的思考模式類似于類似于n維空間的基本單位向量組，利用維空間的基本單位向量組，利用0和和1來構(gòu)造一些來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡(jiǎn)單的方陣。的最簡(jiǎn)單的方陣。但是，但是，Q1,Q8線性相關(guān)，而任意線性相關(guān)，而任意7個(gè)都線性無關(guān)個(gè)都線性無關(guān).可取可取Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任空間的一組基，任意意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.憑空構(gòu)造魔方空間的一組基是很難的憑空構(gòu)造魔方空間的一組基是很難的2325分階段處分階段處理復(fù)雜問理復(fù)雜問題的題的“水水泵泵”思思維維化化繁為簡(jiǎn)繁為簡(jiǎn)1. 培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式2426. 證明：證明： (1) (2)

27、 (3) = a11A11= aijAij25274階階Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊每個(gè)小方塊之和之和= 四個(gè)角之和四個(gè)角之和.你想構(gòu)造你想構(gòu)造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔方有多少個(gè)？魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的如何構(gòu)造所有的D Drerrer魔方？魔方？允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)任意兩個(gè)任意兩個(gè)Drer魔方的任意的線性組合仍是魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。魔方。D=A R44|A為為Drer魔方魔方 構(gòu)成構(gòu)成Drer魔方向量空間魔方向量空間.求求Drer魔方魔方空

28、間的一組基空間的一組基, 任意一個(gè)任意一個(gè)Drer魔方都可由這組基線性表示魔方都可由這組基線性表示.2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力2628十秒十秒鐘鐘加加數(shù)數(shù)3455891442333776109871597+2584?時(shí)間到時(shí)間到！答案是答案是 67106710。請(qǐng)請(qǐng)用十秒，用十秒，計(jì)算計(jì)算出出左左邊邊一一列數(shù)列數(shù)的的和和。272. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力29“斐波那契斐波那契數(shù)數(shù)列列”v若一若一個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)列，列，前兩項(xiàng)前兩項(xiàng)等等于于1 1，而，而從從第三第三項(xiàng)項(xiàng)起，起，每一每一項(xiàng)項(xiàng)是是其其前前兩項(xiàng)兩項(xiàng)之和之和，則稱該數(shù)列為則稱該數(shù)列為

29、斐波那斐波那契契數(shù)數(shù)列列。即：。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算盤書算盤書（1202年）年）282. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力30“十秒十秒鐘鐘加加數(shù)數(shù)”揭揭密密右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710v數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家家發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：連續(xù)連續(xù) 1010個(gè)個(gè)斐波斐波那契那契數(shù)數(shù)之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的 11 11 倍！倍！292. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力31Fibonacci兔子問題

30、兔子問題 假設(shè)假設(shè)一一對(duì)對(duì)初生兔子要初生兔子要一個(gè)月一個(gè)月才到成熟才到成熟期，而一期，而一對(duì)對(duì)成熟兔子每月成熟兔子每月會(huì)會(huì)生一生一對(duì)對(duì)( (雌雄雌雄) )兔子，那兔子，那么么，由一，由一對(duì)對(duì)初生兔子初生兔子開開始，始，12 12 個(gè)個(gè)月月后會(huì)后會(huì)有多少有多少對(duì)對(duì)兔子呢？兔子呢？302. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題32解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)312. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題33解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)2 2 月月 1 1 對(duì)對(duì)322. 培養(yǎng)觀察問題分析問

31、題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題34解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)2 2 月月 1 1 對(duì)對(duì)3 3 月月 2 2 對(duì)對(duì)332. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題35解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)2 2 月月 1 1 對(duì)對(duì)3 3 月月 2 2 對(duì)對(duì)4 4 月月 3 3 對(duì)對(duì)342. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題36解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)2 2 月月 1 1 對(duì)對(duì)3 3 月月 2 2 對(duì)對(duì)4 4 月月 3 3 對(duì)對(duì)5 5 月月 5

32、5 對(duì)對(duì)352. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題37解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)2 2 月月 1 1 對(duì)對(duì)3 3 月月 2 2 對(duì)對(duì)4 4 月月 3 3 對(duì)對(duì)5 5 月月 5 5 對(duì)對(duì)6 6 月月 8 8 對(duì)對(duì)362. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題38解答解答1 1 月月 1 1 對(duì)對(duì)2 2 月月 1 1 對(duì)對(duì)3 3 月月 2 2 對(duì)對(duì)4 4 月月 3 3 對(duì)對(duì)5 5 月月 5 5 對(duì)對(duì)6 6 月月 8 8 對(duì)對(duì)7 7 月月13 13 對(duì)對(duì)372. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力

33、培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題39 1)1) 分析問題、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。分析問題、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。 本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為大兔子大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱為稱為小兔子小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。求的是大兔子與小兔子的總和。 2 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月每月小兔小兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) =上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù). 每月每月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) =上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) +上個(gè)月上個(gè)月小兔小兔對(duì)數(shù)對(duì)

34、數(shù).=上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) +上上個(gè)月上上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù).2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力382. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力Fibonacci兔子問題兔子問題40 1)1) 分析問題、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。分析問題、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。 本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為大兔子大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱為稱為小兔子小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。求的是大兔子與小兔子的總和。 2 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律

35、）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月每月小兔小兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) =上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù). 每月每月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) =上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) +上個(gè)月上個(gè)月小兔小兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù).= 前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和. .2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力392. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力1 1）分析問題、抓住本質(zhì)）分析問題、抓住本質(zhì)41 月月 份份 大兔對(duì)數(shù)大兔對(duì)數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔對(duì)數(shù)小兔對(duì)數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子總數(shù)兔子總數(shù) 1 2 3 5 8 1

36、3 21 34 55 89 144 23312121,3,4,5nnnFFFFFn二階遞二階遞推公式推公式 2 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月每月小兔小兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) =上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù). 每月每月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) =上個(gè)月上個(gè)月大兔大兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) +上個(gè)月上個(gè)月小兔小兔對(duì)數(shù)對(duì)數(shù).= 前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和. .Fn2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力402. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力2 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律42 3 3）深入研究問題）深入研究問題12121,3,4,5nnnFFFFFn二

37、階遞二階遞推公式推公式123214321FFFFFFFF由21320111FFFF可得23340111FFFF2120111FF 2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力412. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研究問題）深入研究問題43 3 3）深入研究問題）深入研究問題12121,3,4,5nnnFFFFFn二階遞二階遞推公式推公式因此23340111FFFF2120111FF 11120111nnnFFFF2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力422. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研

38、究問題）深入研究問題441 1）樹杈）樹杈的的數(shù)數(shù)目目13853211生活中的斐波那契數(shù)生活中的斐波那契數(shù)432. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數(shù)生活中的斐波那契數(shù)452 2）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù) 種子按順、逆時(shí)針的種子按順、逆時(shí)針的螺線排列，螺線排列，兩組螺兩組螺線的條數(shù)線的條數(shù)往往成往往成相相繼繼的兩個(gè)斐波那契的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是數(shù)，一般是34和和55; 89和和144; 144和和233條螺線。條螺線。442. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數(shù)生活中的斐波那契數(shù)46

39、松果松果種種子的排列子的排列的螺線數(shù)的螺線數(shù)(8-13)452. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數(shù)生活中的斐波那契數(shù)47菜花表面排列的螺線數(shù)（菜花表面排列的螺線數(shù)（5 5- -8 8）462. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力生活中的斐波那契數(shù)生活中的斐波那契數(shù)48分析：分析： (1) 若若A是對(duì)角陣是對(duì)角陣 ，則易求，則易求 A = .A = P 1 Q 1 (2)一般方陣一般方陣A可與對(duì)角陣可與對(duì)角陣 相抵，即存相抵，即存在在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得 PAQ = . Ak = (P 1 Q 1) (P 1 Q 1)(P

40、1 Q 1)若若Q 1 =P ,則則 Ak =P 1 k Q 1 = Q k Q 1(3) 因此，當(dāng)存在因此，當(dāng)存在n階可逆陣階可逆陣Q, 使得使得 Q 1AQ = (對(duì)角陣對(duì)角陣 )時(shí)時(shí), 易求易求方陣方陣Ak.此時(shí)稱方陣此時(shí)稱方陣A可與對(duì)角陣可與對(duì)角陣 相似。相似。2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力 3 3）深入研究問題）深入研究問題472. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研究問題）深入研究問題49問題：?jiǎn)栴}：當(dāng)當(dāng)A可與對(duì)角陣可與對(duì)角陣 相似相似, Q 與與 的關(guān)系如何的關(guān)系如何 ?當(dāng)方陣當(dāng)方陣A可與對(duì)角陣可與對(duì)角陣 相似，即相似，

41、即存在存在n階可逆陣階可逆陣Q, 使得使得 Q 1AQ = (對(duì)角陣對(duì)角陣 )時(shí)時(shí), 易求易求方陣方陣Ak.QQ設(shè)設(shè)Q 的列向量為的列向量為q1, q2, , qn. 顯然顯然它們線性無關(guān)它們線性無關(guān).2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力 3 3）深入研究問題）深入研究問題482. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3 3）深入研究問題）深入研究問題50(1)任給任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就的一組值，就可唯一確定可唯一確定Drer魔方魔方.Drer魔方空間魔方空間是是7維的維的.110 17 2011

42、26 5616 314 1520 09 12 7(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性自由變量還有其他的選取方式嗎？自由變量還有其他的選取方式嗎？只要選取系數(shù)矩陣只要選取系數(shù)矩陣23列中列中16個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的列，其余列，其余7列對(duì)應(yīng)的變列對(duì)應(yīng)的變量就可取為自由變量量就可取為自由變量.x32 xx+4x 117 xx 523 x 26 x3.3.培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維49511111111111111111A 求逆陣的方法：求逆陣的方法：(1) 定義法：定義法：AB=BA=E(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性(2) 公式

43、法：公式法：A =A*/ |A| (3) 初等變換法：初等變換法：(A,E) (E,A )解：解：且且 A AT = A2 = 4E所以所以 A = A/ 43.3.培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維503. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性52Drer空間的子空間和擴(kuò)張空間的子空間和擴(kuò)張(3) 7維維Drer魔方空間魔方空間D D：R=C=D=S(2) 要求所有數(shù)都相等要求所有數(shù)都相等: 一維向量空間一維向量空間G G = rE,rR.(1) 0維向量空間維向量空間 OO G G D D魔方空間魔方空間 維維 數(shù)數(shù) 0 1 7(4) 8維維魔

44、方空間魔方空間Q Q：R=C=D(5) 16維維數(shù)字空間數(shù)字空間MM：數(shù)字可任意取值數(shù)字可任意取值 Q Q MM 8 16(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 3.3.培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維513. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 53(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 ,0,n nARr Arn 0,B 證明：證明：(1)證：證： 設(shè)設(shè) x 是是Ax = 0的非零解的非零解.,n nBR 0,AB 0.AB 令令B=(x,0,0),則則 .r Bn r (2)證證1： 設(shè)設(shè) x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.0

45、.AB 令令B=(x1,x2,xn-r),則則(2)證證2： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 則則523. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 54(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 ,0,n nARr Arn 0,B (3)證明：證明：,n nBR 0,AB .r Bn r (2)證證1： 設(shè)設(shè) x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.0.AB 令令B=(x1,x2,xn-r),則則(2)證證2： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣

46、階可逆陣P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 則則,BA (3)證：證： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令11n rOOPBQOE 0.ABBA 則則533. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換探討變換問題的條件問題的條件 55ABBAE0Ax 只只有有零零解解Axb 有有唯唯一一解解n階方陣階方陣A可逆可逆 0A r An A與與E相抵相抵的行最簡(jiǎn)形矩陣為的行最簡(jiǎn)形矩陣為E. A = P1P2Ps, Pi為初等陣為初等陣. (3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 A的行的行(列列)向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān) 任一任一

47、n維向量維向量 都可由都可由行行(列列)向量組線性表示向量組線性表示A的的 A的行的行(列列)向量組的秩都是向量組的秩都是n.(非奇異陣、非退化陣非奇異陣、非退化陣)(滿秩滿秩) A的行的行(列列)向量組是向量組是Rn的基的基. A為為Rn的兩組基下的過渡矩陣的兩組基下的過渡矩陣. A的解空間的維數(shù)為的解空間的維數(shù)為0. A的列空間的維數(shù)為的列空間的維數(shù)為n.ATA543. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 560Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個(gè)的一個(gè)2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：證證1：| 0.A

48、(反證法反證法)則則A可逆可逆.121A AA A AE 產(chǎn)生矛盾產(chǎn)生矛盾.假設(shè)假設(shè)利用可逆性利用可逆性 (3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解553. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 570Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個(gè)的一個(gè)證證2：AE 利用利用 r(A)n. 0AE2AA 0A AE 0.A r Ar AEn 1r AE r Anr AEn 2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解563. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培

49、養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 580Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個(gè)的一個(gè)證證3：AE 利用齊次方程組有非零解利用齊次方程組有非零解. 0AE2AA 0A AE 0Ax 有有非非零零解解0.A 2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解573. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 590Ax 有有非非零零解解n階方陣階方陣A不可逆不可逆 0A r AnA的一個(gè)的一個(gè)證證4：AE 利用利用A的一個(gè)的一個(gè) 0AE2AA 0A AE 0Ax 有有非非零零解解 所以所以A的一個(gè)的一個(gè)|0.iA 2,n nARAA AE | 0.A 證明：證明：(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 一題多解一題多解583. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(3) 培養(yǎng)多角度看問題培養(yǎng)多角度看問題 600Ax 有有