2022年《平面向量數(shù)量積》教案

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2.4 平面對量的數(shù)量積課題名稱2.4.1 平面對量數(shù)量積的物理背景及含義科目數(shù)學(xué)年級高一 1教學(xué)時間7.24 一節(jié)課 授課者王斌一、教材內(nèi)容分析平面對量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用非常廣泛；本節(jié)內(nèi)容教材共支配兩課時，其中第一課時主要爭論數(shù)量積的概念，其次課時主要爭論數(shù)量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時；本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面對量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運算律，使同學(xué)體會類比的思想方法， 進一步培育同學(xué)的

2、抽象概括和推理論證的才能；其中數(shù)量積的概念既是對物理 背景的抽象，又是爭論性質(zhì)和運算律的基礎(chǔ)；同時也由于在這個概念中，既有 長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的正確結(jié)合點，不僅應(yīng)用 廣泛，而且很好的表達了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課 的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點；二、教學(xué)目標1 學(xué)問與技能： 闡明平面對量的數(shù)量積及其幾何意義.會算一個向量在另一個上投影的概念，運用平面對量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律和幾何意義.2 過程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)與形兩方面引導(dǎo)同學(xué)對向量數(shù)量積定義進行探究，通過作圖分析，使同學(xué)明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)

3、系與區(qū)分；3 情感態(tài)度與價值觀：由詳細的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時的數(shù)量積，使同學(xué)學(xué)習(xí)從特殊到一般，再由一般到特殊的認知規(guī)律，體會數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，體驗法就學(xué)習(xí)爭論的過程，培育同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；三、學(xué)習(xí)者特點分析精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 7 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -同學(xué)在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，把握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理學(xué)問，并且初步體會了爭論向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要

4、是物理模型）抽象出概念，然后再從概念動身，在與實數(shù)運算類比的基礎(chǔ)上爭論性質(zhì)和運算律；這為同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使同學(xué)倍感親切；但也正是這些干擾了同學(xué)對數(shù)量積概念的懂得，一方面，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后， 形卻消逝了， 同學(xué)對這一點是很難接受的；另一方面，由于受實數(shù)乘法運算的影響，也會造成同學(xué)對數(shù)量積懂得上的偏差，特殊是對性質(zhì)和運算律的懂得；因而本節(jié)課教學(xué)的難點數(shù)量積的概念；四、教學(xué)重難點重點平面對量數(shù)量積的概念.難點平面對量數(shù)量積的概念的懂得五、教學(xué)資源試驗（演示）教具運算機、黑板、粉筆教學(xué)支持資源制作高效有用的電腦多媒體課件

5、，主要作用是轉(zhuǎn)變相關(guān)內(nèi)容的出現(xiàn)方式，以此來節(jié)省課時，增加課堂容量；六、教學(xué)過程階段支配教學(xué)活動教學(xué)設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)問題問題1：我們已經(jīng)爭論了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？問題 2：我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是依據(jù)怎樣的次序爭論了這種運 算的？期望同學(xué)回答：物理模型概念性質(zhì)運算律應(yīng)用問題 3：如下列圖，一物體在力F 的作用問題 1 的設(shè)計意圖在于使同學(xué)明白數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景， 讓同學(xué)明白本節(jié)課所要爭論的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運算， 但與向量的線性運算相比，數(shù)量積運算又有其特殊性，那就是其結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化；情形，激發(fā)學(xué)習(xí)愛好下產(chǎn)生位移S，F(xiàn)問題 2 的設(shè)計

6、意圖在于使同學(xué)在與向量加法類比的基礎(chǔ)上明白本節(jié)課的爭論方法和次序，為教學(xué)活動指明方向；S（1）力 F 所做的功W=；（2） 請同學(xué)們分析這個公式的特點：W（功）是量， F（力）是量，問題 3 的設(shè)計意圖在于使同學(xué)明白數(shù)量積的物理背景， 讓同學(xué)知道，我們爭論數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 7 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -S（位移）是量，是；善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實意義的，從而產(chǎn)生了進一步爭論這種新運算的愿望；同時，也為抽象數(shù)量積的概念

7、做好鋪墊；1、概念的抽象在分析“功”的運算公式的基礎(chǔ)上提出問題 4問題 4：你能用文字語言來表述功的運算同學(xué)通過摸索不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積；這樣，探究數(shù)量積的概念公式嗎 .假如我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？2、概念的明晰已知兩個非零向量a 與 b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量a · b cos叫做 a 與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作： a ·b ，即：a ·b = a · b cos在強調(diào)記法和“規(guī)定”后，為了讓同學(xué)進一步熟悉這一概念，提出問題5問題 5：向量的數(shù)量積運算

8、與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？3、探究數(shù)量積的幾何意義如圖，我們把 b cos（ a cos）叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影，記做： OB1= b cos問題 6：數(shù)量積的幾何意義是什么？4、爭論數(shù)量積的物理意義數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，同學(xué)就會明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積；問題 7：(1) 請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積；（ 2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10 千克，分別做以下運動：、在水平面上位移為10 米；、豎直下降10 米；、豎直向上提升10 米；、沿傾角為30 度的斜

9、面對上運動10同學(xué)事實上已經(jīng)得到數(shù)量積概 念的文字表述了， 在此基礎(chǔ)上，我進一步明晰數(shù)量積的概念；通過此環(huán)節(jié)不僅使同學(xué)熟悉到數(shù)量積的結(jié)果與線性運算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且熟悉到向量的夾角是打算數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地懂得數(shù)量積的性質(zhì)和運算律做好預(yù)備；這樣做不僅讓同學(xué)從 “形” 的角度重新熟悉數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投 影的關(guān)系，同時也更符合學(xué)問 的連貫性， 而且也節(jié)省了課時；好鋪墊；我設(shè)計問題一方面使同學(xué)嘗試運算數(shù)量積，另一方面使同學(xué)懂得數(shù)量積的物理意 義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆；米；分別求重力做的功；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3

10、 頁，共 7 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -探究數(shù)量積的運算性質(zhì)1、性質(zhì)的發(fā)覺教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式顯現(xiàn)的，為了很好地完成這一 探究活動，在完成上述練習(xí)后，我不失時機地 提出問題8：（ 1）將嘗試練習(xí)中的的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？（2）比較 a ·b 與 a × b 的大小，你有什么結(jié)論？在同學(xué)爭論溝通的基礎(chǔ)上，老師進一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由同學(xué)利用數(shù)量積的定義賜予證明，完成探究活動；2、明晰數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè) a 和 b 都是非零向量，就1 、 a b

11、 a · b =02 、當(dāng) a 與 b 同向時， a · b = a b ；當(dāng) a 與 b 反向時， a · b = - a b ，特殊地，這樣設(shè)計表達了老師只是教學(xué)活動的引領(lǐng)者，而同學(xué)才是學(xué)習(xí)活動的主體，讓同學(xué)成為學(xué)習(xí)的爭論者，不斷地體驗到勝利的歡樂，激發(fā)同學(xué)參加學(xué)習(xí)活動的熱忱，不僅使同學(xué)獲得了學(xué)問，更培育了同學(xué)由特殊到一般的思維品質(zhì) .2a · a = a 或 a =aa3、性質(zhì)的證明探究數(shù)量積的運算律1、運算律的發(fā)覺關(guān)于運算律，教材仍舊是以探究的形式顯現(xiàn)，為此，第一提出問題9問題 9：我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？ 同

12、學(xué)可能會提出以下推測： a · b =b · a（ a · b ） c = a b · c （ a +b ）· c = a · c + b · c推測的正確性是顯而易見的；關(guān)于推測的正確性，我提示同學(xué)摸索下面的問題：推測的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們肯定相等嗎？同學(xué)通過爭論不難發(fā)覺，推測是不正確的；這時老師在確定推測的基礎(chǔ)上明晰數(shù)量積的運算律：通過此問題主要是想使同學(xué)在類比的基礎(chǔ)上，推測提出數(shù)量積的運算律；我把運算運算律 （ 2）的證明交給同學(xué)完成，在證明時， 同學(xué)可能只考慮到 >0 的情形, 為了幫忙同學(xué)完善證明，提

13、出以下問題：當(dāng)<0 時，向量 a 與 a ，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 7 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -應(yīng)用與提高2、明晰數(shù)量積的運算律3、證明運算律同學(xué)獨立證明運算律（2） 師生共同證明運算律（3）運算律（ 3 ）的證明對同學(xué)來說是比較困難的，為了節(jié)省課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意；在這個環(huán)節(jié)中，我仍舊是第一為同學(xué)創(chuàng)設(shè)情形，讓同學(xué)在類比的基礎(chǔ)上進行猜想歸納， 然后老師明晰結(jié)論，最終再完成證明，這樣做不僅培育了同學(xué)推理論證的才能，同時也

14、增強了同學(xué)類比創(chuàng)新的意識，將學(xué)問的獲得和才能的培育有機的結(jié)合在一起；例 1、（師生共同完成）已知a =6，b =4,a與 b的 夾 角 為60 ° ， 求（ a +2 b）·（ a -3 b ），并摸索此運算過程類似于哪種運算？例 2、（同學(xué)獨立完成）對任意向量a，b是否有以下結(jié)論：（1） a + b 2=a 2+2 a · b + b 2（2） a + b · a - b =a 2 b 2例 3、（師生共同完成）已知a =3，b =4,且 a與 b 不共線， k 為何值時，向量a +k b與 a -k b 相互垂直？并摸索： 通過此題你有什么收成？解決

15、有關(guān)問題，再支配如下練習(xí)： 以下兩個命題正確嗎？為什么？、如 a 0 ，就對任一非零向量b ，有a · b 0b 與 b 的 方 向的 關(guān) 系 如何？此時，向量 a 與 b 及 a與 b 的夾角與向量a 與 b 的夾角相等嗎？本節(jié)教材共支配了四道例 題，我依據(jù)同學(xué)實際挑選了其 中的三道，并對例1 和 例 3 增加了題后反思；例1 是數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的綜合應(yīng)用， 教學(xué)時，我重點從對運算原理 的分析和運算過程的規(guī)范書寫 兩個方面加強示范；完成運算 后，進一步提出問題：此運算 過程類似于哪種運算？目的是 想讓同學(xué)在類比多項式乘法的 基礎(chǔ)上自己推測提出例2 給出的兩個公式，再由同學(xué)獨立完

16、 成證明，一方面這并不困難， 另一方面培育了同學(xué)通過類比 這一思維模式達到創(chuàng)新的目的；例 3 的主要作用是，在連續(xù)鞏固性質(zhì)和運算律的同時， 教給同學(xué)如何利用數(shù)量積來判定兩個向量的垂直，是平面對量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教、如 a 0， a · b a · c ，就 b c 學(xué)時重點給同學(xué)分析數(shù)與形的2、已知 ABC中， AB = a ,AC = b ，當(dāng)a · b <0 或 a · b 0 時，試判定 ABC的外形；支配練習(xí)1 的主要目的是，使同學(xué)在與實數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面熟悉數(shù)量積這一重 要運算，通過練習(xí) 2 使同學(xué)學(xué)會用數(shù)量積表示兩個向量的夾角

17、，進一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價值；轉(zhuǎn)化原理；為了使同學(xué)更好的懂得數(shù)量積的含義，嫻熟把握性質(zhì)及運算律，并能夠應(yīng)用數(shù)量積精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 7 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面對量數(shù)量積的兩個基本應(yīng)用是什么？3、我們是依據(jù)怎樣的思維模式進行概念通過上述問題，使同學(xué)不僅對本節(jié)課的學(xué)問、技能及方法有了更加全面深刻的熟悉，小結(jié)提升與作業(yè)布置的歸納和性質(zhì)的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？4、類比向量的線性運算，我們

18、仍應(yīng)當(dāng)怎樣爭論數(shù)量積？布置作業(yè)：1、課本 P108 習(xí)題 2.4A 組 1、2、 3；2、拓展與提高：已知 a 與 b 都是非零向量，且a +3 b與7 a -5b 垂直， a -4 b 與 7 a -2 b 垂直求 a 與 b 的夾角；同時也為下一節(jié)做好鋪墊，連續(xù)激發(fā)同學(xué)的求知欲；在這個環(huán)節(jié)中，我第一考慮檢測全體同學(xué)是否都達到了 “課標”的基本要求，因此支配了一組教材中的習(xí)題，目的是讓全部的同學(xué)連續(xù)加深對數(shù)量積概念的懂得和應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)；其次，為了能讓不同的同學(xué)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到不同的進展，我又支配了一道有肯定難度的問題供學(xué)有余力的同學(xué)選做；開頭創(chuàng)設(shè)問題情形，激發(fā)學(xué)習(xí)愛好同學(xué)摸索形成概念師生溝通，明晰概念否完成教學(xué)過程師生共同明晰、證明性質(zhì)同學(xué)爭論溝通數(shù)量積的性質(zhì)否流程圖完成師生共同明晰、 證明運算律同學(xué)爭論溝通數(shù)量積的運算律否完成講解例題同學(xué)摸索，做練習(xí)，反思否精選名師 優(yōu)秀名師 - 完- -成 - - - - - - -第 6 頁，共 7 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -教學(xué)內(nèi)容與老師的活動媒體的運用學(xué)生的活動老師進行規(guī)律挑選七、教學(xué)評判評判方式的轉(zhuǎn)變是新課程改革的一大亮點，課標指出：相對于結(jié)果，過程更能反映每個同學(xué)的進展變化，表達出同學(xué)