神奇的對(duì)數(shù)換底公式(公開課)

1、4.2 4.2 神神 奇奇 的的 對(duì)對(duì) 數(shù)數(shù) 換換 底底 公公 式式一、復(fù)習(xí)與回顧一、復(fù)習(xí)與回顧2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1、對(duì)數(shù)的定義NbNaablog二、動(dòng)手實(shí)踐二、動(dòng)手實(shí)踐）（精確到和、利用計(jì)算器計(jì)算001. 0. 2lg15lg1）（精確到和、利用計(jì)算器計(jì)算001. 0. 2ln15ln2說明：第1題中是兩個(gè)常用對(duì)數(shù)，它們的底數(shù)都是10；第2題中是兩個(gè)自然對(duì)數(shù)，它們的底數(shù)都是e.利用科學(xué)計(jì)算器可以直接計(jì)算常用對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù).結(jié)果：結(jié)果：1 1、 2 2、176. 115lg301. 02lg708. 215ln693. 02ln問題：可否利用計(jì)算器的“l(fā)g”或“l(fā)n”鍵求出 的

2、值呢？2log 15我們可設(shè) ，2log 15x215x對(duì)上式兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù)可得1010log2log 15x，lg2lg15xlg2lg15xlg15lg 2x ，2lg15log 15 lg 22lg15 log 15 lg 2x3.91.從而有即即三、問題探究三、問題探究2lg15log 15lg2由抽象推廣到一般情況可得重要的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換公式：換底公式loglog(010)logabaNNba ba bN其中 ， ， 說明：對(duì)數(shù)換底公式的證明方法并不唯一，前面對(duì) 的求值過程實(shí)際上就是一種證明方法，可類似證明對(duì)數(shù)換底公式，2log 15四、獲取新知四、獲取新知.0, 1, 0,lo

3、gloglogNbababNNaab證明: 設(shè)x=logbN,根據(jù)對(duì)數(shù)定義,有 N=bx.兩邊取以a為底的對(duì)數(shù),得 logaN=logabx.而logabx=xlogab,所以 logaN=xlogab.由于b1,則logab0,解出x得.loglogbNxaa.logloglogbNNaab因?yàn)閤=logbN,所以對(duì)數(shù)換底公式換底公式好神奇換成新底可任意原底加底變分母真數(shù)加底變分子如何證明,loglogxbNaa證明二：設(shè)bxNaaloglog則xablogxbN 所以Nxblog.logloglogbNNaab所以五、知識(shí)應(yīng)用五、知識(shí)應(yīng)用五、知識(shí)應(yīng)用五、知識(shí)應(yīng)用五、知識(shí)應(yīng)用五、知識(shí)應(yīng)用六、

4、公式推論六、公式推論1loglogbaab推論1 令 ，logloglogabaNNbNa由 即可得到推論2loglogmnaanbbmlogloglogmnnamaabba直接利用換底公式loganbmloganbm如何證明如何證明七、七、跟蹤練習(xí)跟蹤練習(xí).31log321log1251log)2(;27log8log) 1 (532329計(jì)算：32lg27lg9lg8lg27log8log) 1 (329解：53232lg3lg3lg2lg2lg53lg33lg22lg31095lg31lg3lg321lg2lg1251lg31log321log1251log)2(532解：5lg3lg3

5、lg2lg2lg5lg1531532333293log2log27log8log52法二：3log2log2323231553323log2log5log31log321log1251log532法二：3log2log5log) 1()5()3(53215例例2 2 用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算下列對(duì)數(shù)（精確到用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算下列對(duì)數(shù)（精確到0.0010.001）23851.082log 48 log 10 ; log ; log 50 ; log2； 知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用585. 52lg48lg48log2解：096. 23ln10ln10log3550. 0log8431. 250log5795. 82

6、log082. 1知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用對(duì)數(shù)換底公式.0, 1, 0,logloglogNbababNNaab1loglogbaabbmnbanamloglog兩個(gè)推論你從這節(jié)課上學(xué)到了什么？你從這節(jié)課上學(xué)到了什么？八、課時(shí)小結(jié)八、課時(shí)小結(jié)思考：(1)對(duì)數(shù)換底公式的作用是什么？ (2)在什么情況下選用對(duì)數(shù)換底公式？ (3)在進(jìn)行對(duì)數(shù)的化簡與計(jì)算時(shí)，如何選用底數(shù)？九、課外作業(yè)九、課外作業(yè)十、知識(shí)延伸十、知識(shí)延伸思考：對(duì)數(shù)換底公式的作用是什么？思考：對(duì)數(shù)換底公式的作用是什么？思考：在進(jìn)行對(duì)數(shù)的化簡與計(jì)算時(shí)，如何選用底數(shù)？思考：在進(jìn)行對(duì)數(shù)的化簡與計(jì)算時(shí)，如何選用底數(shù)？思考：

7、在什么情況下選用對(duì)數(shù)換底公式？思考：在什么情況下選用對(duì)數(shù)換底公式？答：答：(1)(1)在運(yùn)算過程中，出現(xiàn)不能直接用計(jì)算器或查表在運(yùn)算過程中，出現(xiàn)不能直接用計(jì)算器或查表獲得對(duì)數(shù)值時(shí)，可化為獲得對(duì)數(shù)值時(shí)，可化為1010為底的常用對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算為底的常用對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算. .(2)(2)在化簡求值過程中，出現(xiàn)不同底數(shù)的對(duì)數(shù)不能運(yùn)用在化簡求值過程中，出現(xiàn)不同底數(shù)的對(duì)數(shù)不能運(yùn)用運(yùn)算法則時(shí)，可統(tǒng)一化成同一個(gè)底數(shù)為底的對(duì)數(shù)，再根運(yùn)算法則時(shí)，可統(tǒng)一化成同一個(gè)底數(shù)為底的對(duì)數(shù)，再根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡或求值據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡或求值. .答：利用對(duì)數(shù)換底公式可以將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)化為同答：利用對(duì)數(shù)換底公式可以將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)；或?qū)⒁话愕貙?duì)數(shù)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，底的對(duì)數(shù)；或?qū)⒁话愕貙?duì)數(shù)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，這樣便于查表和計(jì)算這樣便于查表和計(jì)算. .答：一般進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的可選用以答