第一章數(shù)值計算中的誤差

1、 計算方法0 緒論 任課教師：白巍v及格線：60v考試重點所有重點都在課堂上，無一遺漏考前不提供重點匯編和往年試卷v怎樣通過考試：認(rèn)認(rèn)真真學(xué)習(xí)v考試時間：第10周周三（1105）14:00-16:00v課堂紀(jì)律：無故缺課3次取消考試資格v聯(lián)系方qq:176849452；航宇館501寫在前面的話提綱挈領(lǐng)v什么是計算方法；v計算方法是做什么的；v計算方法的學(xué)科特點；v誤差的來源；v絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限，有效數(shù)字位數(shù)等相關(guān)概念；v數(shù)值運算中應(yīng)注意的事項?！坝嬎惴椒ㄓ嬎惴椒ā保貉芯吭谟嬎銠C上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法數(shù)值算法的構(gòu)造:u計算公式和算法步驟

2、算法的理論分析：u誤差分析、收斂性、穩(wěn)定性等別名u數(shù)值分析u科學(xué)與工程計算什么是計算方法? 提問：計算方法是做什么用的？提問：計算方法是做什么用的？數(shù)值數(shù)值分析分析輸入復(fù)雜問題或運算輸入復(fù)雜問題或運算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計算機計算機近似解近似解科學(xué)計算的重要性科學(xué)計算的重要性科學(xué)計算是工程實踐的重要工具科學(xué)計算是繼理論與實驗后另一科學(xué)研 究手段Chapter 1 Introduction計算方法的學(xué)科特點計算方法的學(xué)科特點實用性實用性 理論性理論性 實踐性實踐性1 1 面向計算機，根據(jù)計算機的特點提供可行的有效算法；面向計算機，根據(jù)計算機的特點提供可行的

3、有效算法；2 2 有可靠的理論分析有可靠的理論分析: :算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析；算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析；3 3 有好的計算復(fù)雜性有好的計算復(fù)雜性: :時間和空間復(fù)雜性；時間和空間復(fù)雜性；4 4 有充分的數(shù)值實驗證明算法的有效性。有充分的數(shù)值實驗證明算法的有效性。近似替近似替代代離散化離散化遞推化遞推化構(gòu)造數(shù)值算法的基本思想構(gòu)造數(shù)值算法的基本思想實用性 理論性 實踐性v數(shù)值方法的內(nèi)涵：理論可靠：穩(wěn)定性，收斂性計算復(fù)雜性好：計算時間，迭代次數(shù)，存儲開銷能在計算機上實現(xiàn)：有限可操作性v本書討論的數(shù)值計算方法一般是近似方法。v數(shù)值計算方法是研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其相關(guān)理論的

4、一門數(shù)學(xué)分支，數(shù)值代數(shù)數(shù)值微分與積分微分方程數(shù)值解課程的主要目的v為實際問題而提供的一種為實際問題而提供的一種計算工具計算工具，故同學(xué)們的任，故同學(xué)們的任務(wù)就是學(xué)習(xí)、掌握并利用這個工具。務(wù)就是學(xué)習(xí)、掌握并利用這個工具。v培養(yǎng)學(xué)生基本的和必要的培養(yǎng)學(xué)生基本的和必要的數(shù)值計算數(shù)值計算方面的知識；方面的知識；v在學(xué)完微積分、線性代數(shù)之后繼續(xù)提高運用數(shù)學(xué)知在學(xué)完微積分、線性代數(shù)之后繼續(xù)提高運用數(shù)學(xué)知識，解決識，解決數(shù)值計算問題數(shù)值計算問題的能力。的能力。 計算機軟、硬件的發(fā)展為數(shù)值方法的實現(xiàn)提供環(huán)境，也促進(jìn)它的快速發(fā)展。計算機軟、硬件的發(fā)展為數(shù)值方法的實現(xiàn)提供環(huán)境，也促進(jìn)它的快速發(fā)展。 計算方法1 誤

5、差 任課教師：白巍1 引言v誤差的一般概念v函數(shù)的數(shù)值逼近：以簡單的函數(shù)（如多項式）去近似一個復(fù)雜的函數(shù)，包括插值法、數(shù)據(jù)擬合法； v數(shù)值積分與數(shù)值微分；v非線性方程的數(shù)值解法；v數(shù)值代數(shù)線性代數(shù)方程組的解法矩陣的特征值問題 v常微分方程數(shù)值解法（3）解線性代數(shù)方程組：）解線性代數(shù)方程組： 11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb （4）求積分：）求積分：10sin xdxx 舉例：舉例：（1）求）求 的正實根；的正實根；29sinxx （2）求一階微分方程初值問題：）求一階微分方程初值問題：( , ), (0)1

6、dyf x yydx 其中：其中： 2( , )sin9f x yxx 的解，的解，1 引言數(shù)值解法：即求某個數(shù)學(xué)問題的解答（近似解答），它是以數(shù)值的數(shù)值解法：即求某個數(shù)學(xué)問題的解答（近似解答），它是以數(shù)值的形式體現(xiàn)出來形式體現(xiàn)出來.2 誤差的種類與來源 1、模型誤差、模型誤差 2、觀測誤差、觀測誤差 3、截斷誤差、截斷誤差 4、舍入誤差、舍入誤差過失誤差（疏忽誤差）：計算者粗心大意產(chǎn)生的，可以避免；過失誤差（疏忽誤差）：計算者粗心大意產(chǎn)生的，可以避免；非過失誤差：無法避免的。非過失誤差：無法避免的。2.1 模型誤差模型誤差 用數(shù)學(xué)模型來描述具體的物理現(xiàn)象時，往往要忽用數(shù)學(xué)模型來描述具體的物理

7、現(xiàn)象時，往往要忽略許多次要因素，把模型略許多次要因素，把模型“簡單化簡單化”、“理想理想化化”，因此模型本身就包含有誤差，這種誤差稱，因此模型本身就包含有誤差，這種誤差稱為模型誤差。為模型誤差。2 誤差的種類與來源模型誤差例題模型誤差例題v例我們用例我們用 ，（，（ 為重力加速度）為重力加速度） 來描述物體自由下落時距離與時間的關(guān)系設(shè)自來描述物體自由下落時距離與時間的關(guān)系設(shè)自由落體在時間由落體在時間 時的實際下落距離為時的實際下落距離為 ，則，則 就是就是 “模型誤差模型誤差”。ts21( )2s tgtgt( )tss t2 誤差的種類與來源2.2 觀測誤差觀測誤差v在數(shù)學(xué)模型中總要包含一些

8、觀測數(shù)據(jù)，這些觀測在數(shù)學(xué)模型中總要包含一些觀測數(shù)據(jù)，這些觀測數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測者的主觀因素、不可預(yù)數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測者的主觀因素、不可預(yù)料的隨機干擾等影響必然帶入誤差，這種誤差稱料的隨機干擾等影響必然帶入誤差，這種誤差稱為觀測誤差。為觀測誤差。2 誤差的種類與來源觀測誤差例題觀測誤差例題v例例2 設(shè)一根鋁棒在溫度設(shè)一根鋁棒在溫度 時的實際長度為時的實際長度為 ， 在在 時的實際長度為時的實際長度為 ，用，用 來表示鋁棒在溫來表示鋁棒在溫度為度為 時的長度計算值，并建立數(shù)學(xué)模型：時的長度計算值，并建立數(shù)學(xué)模型： ，v其中其中 是實驗觀測到的常數(shù)：是實驗觀測到的常數(shù)：v則稱則稱 為為“模型

9、誤差模型誤差”， 是是 的的“觀測觀測誤差誤差”。tLt0t 0Ltlt0(1)tlLt5(2.38 0.01) 10cttLl50.01 102 誤差的種類與來源2.3 截斷誤差截斷誤差v在解決實際問題時，數(shù)學(xué)模型常常難于直接求解，在解決實際問題時，數(shù)學(xué)模型常常難于直接求解，往往要近似代替，其近似解與精確解之間的誤差往往要近似代替，其近似解與精確解之間的誤差稱為截斷誤差。稱為截斷誤差。2 誤差的種類與來源截斷誤差例題截斷誤差例題v例例3 求求 時，可將時，可將 展開為級數(shù)形式：展開為級數(shù)形式：在實際計算時，我們只取前面有限項（例如在實際計算時，我們只取前面有限項（例如 項）項）計算部分和計算

10、部分和 作為作為 的值必然產(chǎn)生誤差，其誤的值必然產(chǎn)生誤差，其誤差為：差為：這個誤差就是這個誤差就是“截斷誤差截斷誤差”。212!nxxxexnn2()12 !nnxxSxxn1()(1)!nneRxxn0 x在 與 之間21.2nxxxexn xexexe( )nSx2 誤差的種類與來源2.4 舍入誤差舍入誤差 在計算時總是只能取有限位有效數(shù)字進(jìn)行計算而在計算時總是只能取有限位有效數(shù)字進(jìn)行計算而引起，初始參數(shù)與中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入，引起，初始參數(shù)與中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入，這個誤差稱為舍入誤差。這個誤差稱為舍入誤差。2 誤差的種類與來源舍入誤差例題舍入誤差例題 例例4 ， ， 等，在計

11、算機上運算時只能用有限等，在計算機上運算時只能用有限位小數(shù)，如果取小數(shù)點后四位數(shù)字，則位小數(shù)，如果取小數(shù)點后四位數(shù)字，則 ， ， ，就是就是“舍入誤差舍入誤差 ”3.141592621.4142135610 .3 3 3 3313.14160.000074l21.414220.000013l 310.33330.0000333l 2 誤差的種類與來源2.5 誤差來源分析誤差來源分析總之，誤差一般來自模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差?？傊`差一般來自模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差。 在計算方法課程中，不分析模型誤差；觀測誤差作為初始舍入誤在計算方法課程中，不分析模型誤差；觀測誤差

12、作為初始舍入誤差；截斷誤差是主要討論對象，是計算中誤差的主要部分。差；截斷誤差是主要討論對象，是計算中誤差的主要部分。 在各種算法中，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截斷誤差限的公式；舍入在各種算法中，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截斷誤差限的公式；舍入誤差產(chǎn)生往往有很大的隨機性，討論比較困難，在問題本身呈現(xiàn)病態(tài)誤差產(chǎn)生往往有很大的隨機性，討論比較困難，在問題本身呈現(xiàn)病態(tài)或不穩(wěn)定時，它可能成為計算中誤差的主要部分。或不穩(wěn)定時，它可能成為計算中誤差的主要部分。誤差分析是一門專門的學(xué)科，經(jīng)過訓(xùn)練的計算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計誤差分析是一門專門的學(xué)科，經(jīng)過訓(xùn)練的計算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與實際不符時，應(yīng)當(dāng)能找出誤差的來源，并采取

13、相應(yīng)的措施加算結(jié)果與實際不符時，應(yīng)當(dāng)能找出誤差的來源，并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，甚至對模型進(jìn)行修改。以改進(jìn)，甚至對模型進(jìn)行修改。2 誤差的種類與來源v誤差、誤差限、有效數(shù)字誤差、誤差限、有效數(shù)字v相對誤差及與有效數(shù)字的聯(lián)系相對誤差及與有效數(shù)字的聯(lián)系v算術(shù)運算的誤差和相對誤差算術(shù)運算的誤差和相對誤差3 誤差理論誤差的概念誤差的概念 定義定義1.1 設(shè)設(shè) 為準(zhǔn)確值，為準(zhǔn)確值， 為為 的一個近似值，的一個近似值，稱稱 為為 近似值的絕對誤差，簡稱誤差。近似值的絕對誤差，簡稱誤差。 誤差是有量綱的量，量綱同誤差是有量綱的量，量綱同 ，它可正可負(fù)。，它可正可負(fù)。*xx*x*xxxx3 誤差理論 當(dāng)絕對誤

14、差為正時，近似值偏大，叫強近似值；當(dāng)絕對誤差為正時，近似值偏大，叫強近似值； 當(dāng)絕對誤差為負(fù)時，近似值偏小，則稱弱近似值。當(dāng)絕對誤差為負(fù)時，近似值偏小，則稱弱近似值。絕對誤差限絕對誤差限 通常我們并不知道準(zhǔn)確值通常我們并不知道準(zhǔn)確值 ，也不能算出誤差，也不能算出誤差的準(zhǔn)確值，但能根據(jù)測量工具或計算情況估計出的準(zhǔn)確值，但能根據(jù)測量工具或計算情況估計出誤差的絕對值的上限，這個上限稱為近似值誤差的絕對值的上限，這個上限稱為近似值 的誤差限。記為的誤差限。記為 。 在工程中常記為：在工程中常記為： ( )*xxx*xxx*x3 誤差理論絕對誤差限例題v例例5 我們用一把毫米刻度的米尺來測量桌子的長我們

15、用一把毫米刻度的米尺來測量桌子的長度度 ，讀出的長度為，讀出的長度為 ， 是是 的近似值，由于米尺的精度知道，它的的近似值，由于米尺的精度知道，它的誤差限為誤差限為0.5mm，則有，則有*12350.51234.51235.51234.5,1235.512350.5xxxmmxxxmm即這表明 在區(qū)間內(nèi)，寫成*1235xmm*xxx3 誤差理論相對誤差相對誤差v定義誤差與精確值的比值定義誤差與精確值的比值 稱作近似值稱作近似值 的相對誤差，記作。相對誤差的相對誤差，記作。相對誤差是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)。是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)。( )*( )rxxxxxx*x

16、r3 誤差理論相對誤差限相對誤差限v相對誤差也不能準(zhǔn)確計算，而是用相對誤差限來相對誤差也不能準(zhǔn)確計算，而是用相對誤差限來估計的：估計的： 就是相對誤差限就是相對誤差限*rxxx3 誤差理論*( )( )rxxx另一個定義相對誤差限相對誤差限3 誤差理論*11( )( )( )rrxxxxx2*1 ( )xx x 21( )1( )rrxx 2*( )( )2( )rrrxxx( )2rx相對誤差限例題相對誤差限例題稱兩堆蘋果，第一堆稱兩堆蘋果，第一堆 ，誤差為，誤差為 ；第二；第二堆為堆為 ，誤差為，誤差為 ，雖然后者的誤差限比前者，雖然后者的誤差限比前者大，但不能簡單地認(rèn)為前者精確，還必須注

17、意到大，但不能簡單地認(rèn)為前者精確，還必須注意到該數(shù)本身的大小。該數(shù)本身的大小。 相對誤差分別為：相對誤差分別為：顯然，稱第一堆蘋果的相對誤差大。顯然，稱第一堆蘋果的相對誤差大。100kg9kg2kg1kg110%10r22%100r3 誤差理論有效數(shù)字位數(shù)有效數(shù)字位數(shù)v定義：如果近似值定義：如果近似值 的絕對誤差限的絕對誤差限 是某一位數(shù)是某一位數(shù)字的半個單位，我們就說字的半個單位，我們就說 準(zhǔn)確到該位，從這一準(zhǔn)確到該位，從這一位起直到前面的第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字位起直到前面的第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為稱為 的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。*x*x*x4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系有效數(shù)字位

18、數(shù)(續(xù))413.1416102513.14159102則說則說x* 近似表示近似表示 x 準(zhǔn)確到小數(shù)后第準(zhǔn)確到小數(shù)后第n位，并從這第位，并從這第n位起位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。定義：定義：如果如果*1102nxx由上述定義由上述定義3.140.0015926有效數(shù)位為有效數(shù)位為3位位3.14160.0000074 有效數(shù)位為有效數(shù)位為5位位3.14150.0000926有效數(shù)位為有效數(shù)位為4位位4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系有效數(shù)字位數(shù)例題0.034039*0.0342*0.03403*0.

19、034044xxxx例：設(shè)，那么取2位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；取3位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；取4位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系 有效數(shù)字有效數(shù)字 相對誤差限相對誤差限4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系 相對誤差限相對誤差限 有效數(shù)字有效數(shù)字例題分析 例若例若 是是 的具有六位有效數(shù)字的的具有六位有效數(shù)字的近似值，那么它的誤差限是：近似值，那么它的誤差限是： 若若 是是 的具有五位有效數(shù)字的近似的具有五位有效數(shù)字的近似值，則誤差限是：值，則誤差限是： *3587.64x xx4 6211*101022xx2 5711*101022xx *0.0023156x 4 有效數(shù)字及其與誤差的

20、關(guān)系 1 1、避免兩個相近的數(shù)相減；、避免兩個相近的數(shù)相減； 2 2、避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法；、避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法； 3 3、要防止大數(shù)、要防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)；小數(shù)； 4 4、盡可能減少運算次數(shù)；、盡可能減少運算次數(shù)； 5 5、要設(shè)法控制誤差的傳播。、要設(shè)法控制誤差的傳播。在近似計算中應(yīng)該注意的事項在近似計算中應(yīng)該注意的事項5 誤差的傳播與估計避免兩個相近的數(shù)相減11()( )nniiiixx*111()( )nniririniiiixxxx*121212*1212()( )()rrrxxxxxxxxxx*121212*1212()()()rrrxxx

21、xxxxxxx避免兩個相近的數(shù)相減l弊端：有效數(shù)字減少求解方程01162xx638,63821xx937.763 0627. 06381063. 063811xx避免兩個相近的數(shù)相減21 cos2sin ( / 2)xx0 x21xx 2121logloglogxxxx1xxxxx111l幾個小技巧避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法例：用單精度計算例：用單精度計算 的根。的根。010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計算機內(nèi)，在計算機內(nèi)，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時

22、，做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時就成為：單精度時就成為： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx避免大數(shù)吃小數(shù)減少運算次數(shù)直接算：(n+1)n/2次乘法，n次加法12210( )(.().)nnnP xa xaxaxaxa xa秦九韶算法秦九韶算法1247 (又稱為又稱

23、為Horner算法算法1819)：n次乘法，n次加法0111.)(axaxaxaxPnnnn6 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性一個算法，如果在執(zhí)行它的過程中舍入誤差在一定條件下可以得到控制（或者說初始誤差和舍入誤差的增長不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果），則稱它是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱該算法數(shù)值不穩(wěn)定。數(shù)值穩(wěn)定截斷誤差小控制誤差的傳播例：例：蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng) 一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起德州的一場龍卷偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起德州的一場龍卷風(fēng)風(fēng)！AT以上是一個以上是一個病態(tài)問題病態(tài)問題 /* ill-posed problem*/關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學(xué)家去頭