實驗多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較山西大學(xué)

1、實驗實驗11 11 多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 本實驗通過幾個具體的例子，說明多元函數(shù)本實驗通過幾個具體的例子，說明多元函數(shù)極值中存在著一些與一元函數(shù)極值不同的現(xiàn)象，極值中存在著一些與一元函數(shù)極值不同的現(xiàn)象，并通過圖形把這些現(xiàn)象顯示出來，從而加深對它并通過圖形把這些現(xiàn)象顯示出來，從而加深對它們的理解。們的理解。 實驗步驟實驗步驟 1. 1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 我們知道，對于二元函數(shù)若其偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，我們知道，對于二元函數(shù)若其偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它在任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，但是若其則它在任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，但是若其偏導(dǎo)數(shù)存在而不連續(xù)，則

2、它在某些方向上的方向偏導(dǎo)數(shù)存在而不連續(xù)，則它在某些方向上的方向?qū)?shù)就可能不存在，請看下面的例子。導(dǎo)數(shù)就可能不存在，請看下面的例子。多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較 例例 1 1 （1 1）證明：函數(shù)在原點處連續(xù)，而）證明：函數(shù)在原點處連續(xù)，而且在原點處的偏導(dǎo)數(shù)且在原點處的偏導(dǎo)數(shù)fxfx和和fy fy 都存在（即都存在（即沿沿x x軸和軸和y y軸方向?qū)?shù)都存在），但原點處軸方向?qū)?shù)都存在），但原點處其他方向的方向?qū)?shù)都不存在；（其他方向的方向?qū)?shù)都不存在；（2 2）利用）利用計算機作出該函數(shù)在原點附近的圖形，并計算機作出該函數(shù)在原點附近的圖形，并從圖上驗證（從圖

3、上驗證（1 1）的結(jié)論。）的結(jié)論。多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較 解：由于解：由于 是初等函數(shù)，其定義域為是初等函數(shù)，其定義域為R2R2，故函數(shù)在原點處連續(xù)，故函數(shù)在原點處連續(xù)， 而由于而由于 而而)23,2, 0(sincos0sincos)0 , 0()sin,cos(3332 ff上的方向?qū)?shù)不存在。，函數(shù)在其它方向時的極限不存在時，即sincos0),(yxf，故在原點處0, 0), 0(, 0)0 ,(yxffyfxf多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較 下面我們作出函數(shù)的圖形，由于下面我們作出函數(shù)的圖形，由于Mathem

4、aticaMathematica中中 在在x0 xNone”ClipFill-None”表示去掉因變量范圍表示去掉因變量范圍（PlotRange-10,5PlotRange-10,5）后其范圍以外部分圖形，）后其范圍以外部分圖形，最后我們再改變視角作出圖形，即鍵入：最后我們再改變視角作出圖形，即鍵入： 運行后即得圖運行后即得圖1515（c c）-202-4-202-10-505-10-505Plot3D g x, y ,x,3, 3 ,y,4, 2 , ViewPoint2.985, 1.462, 0.634 ,PlotRange10, 5 , PlotPoints40, ClipFillNone多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較 從圖上可以看出，盡管該函數(shù)在（從圖上可以看出，盡管該函數(shù)在（1 1，0 0）處有極大值卻是不存在的（事實處有極大值卻是不存在的（事實上上 ）。這種情況的發(fā)生與例）。這種情況的發(fā)生與例2 2是類似的，可見，由于多元函數(shù)自變量變是類似的，可見，由于多元函數(shù)自變量