工程力學(xué)課件彎曲變形

1、121 概述概述122 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分123 按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角124 梁的剛度條件梁的剛度條件 第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形 125 梁的彎曲應(yīng)變能梁的彎曲應(yīng)變能125 簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法1212 概概 述述研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：對(duì)梁作剛度校核；研究目的：對(duì)梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。1.1.撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用橫截面

2、形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w(x)表示。表示。 符號(hào)：符號(hào)： 與與 w 軸軸同向?yàn)檎粗疄樨?fù)。同向?yàn)檎?，反之為?fù)。 w(x) 2.2.轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用動(dòng)的角度。用 表示，逆時(shí)表示，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。二、撓曲線：變形后，梁的軸線變?yōu)榭v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條光滑連二、撓曲線：變形后，梁的軸線變?yōu)榭v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條光滑連續(xù)的曲線，稱為撓曲線。其方程：續(xù)的曲線，稱為撓曲線。其方程： w =w (x) 撓曲線方程撓曲線方程三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量

3、PxwC C1w tan)( dxxdw小變形小變形 dxxdw)( 12-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分zzEIxM)(1 一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程zzEIxMxw)()( 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程EIxMxw)()( 3221( ) 1wxw 小變形小變形wxM00)( xwwxM00)( xw)( xw )()(xMxwEI 對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、積分法求撓曲線方程（彈性曲線）二、積分法求撓曲線方程（彈性曲線）)()(xMxwEI 1d)()

4、(CxxMxwEI 21d)d)()(CxCxxxMxEIw 1.1.微分方程的積分微分方程的積分支座邊界支座邊界條件：條件：連續(xù)條件：連續(xù)條件：光滑條件：光滑條件：0 Aw0 Bw0 Dw0 D CCww CC 右右左左或或?qū)憣懗沙蒀C 右右左左或或?qū)憣懗沙蒀Cww PABCPD討論：討論： 適用于適用于小變形小變形情況下、情況下、線彈性線彈性材料、材料、平面彎曲平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移?？蓱?yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的條件確定。積分常數(shù)由撓曲線變形的條件確定。 支座邊界條件支座邊界條件 連續(xù)條件連續(xù)條件 光滑條件

5、光滑條件 優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出撓曲線的精確解；基本方法。優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出撓曲線的精確解；基本方法。 缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。例例1 1 求等截面直梁的撓曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。求等截面直梁的撓曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程)()(xLPxM 寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù))()(xLPxMwEI 12)(21CxLPwEI 213)(61CxCxLPEIw 0610230 CPLwx0210120 CPLx 2121PLC解：解：PLxwx3261PLC 寫出撓曲線方

6、程并畫出曲線寫出撓曲線方程并畫出曲線 3233)(6)(LxLxLEIPxw EIPLwwLx33max EIPLLx22max 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xwPLEIPLxLPEIx2)(21)(22 解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程 )( 0)0( )()(LxaaxaxPxM寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分 112)(21DCaxPwEI 21213)(61DxDCxCaxPEIw )( 0)0( )(LxaaxaxPwEIxwPLa例例2 2 求等截面直梁的撓曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。求等截面直梁的撓曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求

7、積分常數(shù)0610230 CPawx0210120 CPax 32221161 ; 21PaDCPaDC axaxww axax 11CD 2121CaCDaD PLaxw3261PaC 2121PaC 寫出撓曲線方程并畫出曲線 )(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxw aLEIPawwLx 362maxEIPaax22max 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxw 22 (0)2( ) ()2Pxxa xaEIxPa axLEI 例例3 用積分法求梁（剛度為用積分法求梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。mxlmxMlmFA)(解：求支反力，列彎矩方程：

8、解：求支反力，列彎矩方程：30000mlCwDwlxx 建立微分方程并積分：建立微分方程并積分：用邊界條件確定積分常數(shù)：用邊界條件確定積分常數(shù)：CL/2L/2ABmxwmxlmxMwEI )(CmxxlmwEI 22DCxxmxlmEIw 2326FA例例3 用積分法求下列各梁（剛度為用積分法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。30000mlCwDwlxx CL/2L/2ABmxw列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：)32(12mlmxxlmEIw )326(123xmlxmxlmEIw EImlwA162 EImlB6 E

9、ImlA3 RA例例4 用積分法求梁（剛度為用積分法求梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。lPaFB解：求支反力，列彎矩方程：解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：建立微分方程并積分：CLaABP alxllxlalPxlPalxxlPawEI)()(0 alxlClxlalPxlPalxCxlPawEI22212)(2)(202xw alxllxlalPxlPalxxlPaxM)()(0)(FB例例4 用積分法求梁（剛度為用積分法求梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。CLaABP alxlClxlalPxlPalxCxlPawEI22212)(2)(202 alxlDxC

10、lxlalPxlPalxDxCxlPaEIw2233113)(6)(606xw lxlxlxlxxwwwww 0 00用邊界條件確用邊界條件確定積分常數(shù)：定積分常數(shù)：0 62121 DDPalCCFB列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：EIaalPwA3)(2 EIPalB6 CLaABP alxlPallxlalPxlPaEIlxPalxlPaEIw)6)(2)(2(10)62(1222 alxlxPallxlalPxlPaEIlxxPalxlPaEIw6)(6)(610)66(1333xwRB例例5 試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫

11、出邊界條件。試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDamv 試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。解：作彎矩圖：解：作彎矩圖：0020 axxww邊界條件：邊界條件：（a）CaaABmDam/2m/2 axaxaxaxww axaxaxaxww2222 解：作彎矩圖：解：作彎矩圖：0020 axxww邊界條件：邊界條件： axaxaxaxww （b）CaaABqqa2/49qa2/32解：作彎矩圖：解：作彎矩圖：CDaxxlww 300邊界條件：邊界條件

12、： axaxaxaxww3333 （c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作彎矩圖：解：作彎矩圖：0000 xxw 邊界條件：邊界條件： axaxaxaxww axaxaxaxww2222 （d）CaaABmDamm12-3 12-3 按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加（直接疊加法）：一、載荷疊加（直接疊加法）： 多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。)()()(),(nnFFFFFF 2121)()()(),(nnFwFwFwFF

13、Fw 2121CL/2L/2BF1F2F3FnCL/2L/2ABMEIMlwA162EIMlB6 EIMlC3 CL/2L/2ABFCL/2L/2ABqCabABF348AFlwEI EIFlC162 EIFlB162 EIqlwA38454 EIqlCB243 22(34 )48AFb lbwEI EIMlwB22EIMlB qLABFLABLABMEIFlB2 2 EIFlwB33EIqlB6 3 EIqlwB84例例1 1 按疊加原理求按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)點(diǎn)撓度。撓度。解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。查簡(jiǎn)單

14、載荷引起的變形。EIFawCF63EIFaAF42 EIqawCq2454EIqaAq33 qqFF=+AAABBBCaaqqFF=+AAABBB Caa疊加AqAPA )(qaFEIa43122EIFaEIqawC624534EIFawCF63EIFaAF42 EIqawCq2454EIqaAq33 例例2 按疊加原理求按疊加原理求C點(diǎn)撓度。點(diǎn)撓度。 解：載荷無(wú)限分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。疊加EI)bL(dF)b(dwC484322 02bqdFq(x)dxdbL dbEIL)bL(bq24432220 CCqdww LdbEILbLbq5.00222024)43

15、(q00.5L0.5LxdxxwCbEILq24040 dF例例3 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wB 和和 B 。解：解：Cl/2l/2ABF2lwwAAB EIFlwA243EIFl4853AwEIFlA82 A BwEIFlAB82 EIFlEIFlwB162433Cl/2l/2ABFqCl/2l/2ABq BqwBqBqBFB BqBFBwwwEIqlEIFl6832EIqlEIFl848543例例4 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wB 和和 B 。解：解：Cl/2l/2ABqAwA Bw2lwwAAB EIqlw

16、A1284 EIql38474 EIqlA483 EIqlAB483 EIqlEIqlwB9612844 Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABq B2wB221BBB 21BBBwww EIqlEIql64833 EIqlEIql8384744 EIql4853 EIql384414 qCABl/2l/2例例5 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wC 。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：解：21CCCwww EIql76854 2CCww 121CCww 例例6 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wA

17、 和和 B 。解：將載荷分解：解：將載荷分解：（a）CL/2L/2ABFLFCL/2L/2ABFCL/2L/2ABFLEIlFlEIlFwA223223)()(EIlFlEIlFB222)( EIFlwA63EIFl892=+PL1L2ABCBCPL2w1等價(jià)等價(jià)xw21www wPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1ACMxwxw二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：w2例例7 用疊加法求梁（剛度為用疊加法求梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。解：用逐段剛化法：解：用逐段剛化法：EIqaaEIaqaaEIaqawA83)2(21

18、16)4(422 EIqaEIaqaEIaqaB123)2(216)4(322 qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaaqAqaCaABaaqa2/2EIqawA2454 B1 B2例例8 已知：梁的剛度為已知：梁的剛度為EI，欲使，欲使wD 0，求：，求：P 與與 q 的關(guān)系及的關(guān)系及 wC 。解：解：DDPDmwww Pq 332486DPPaPawEIEI CaABaaD 2246 2Dmmawaaa EI 48qaEI qCqaqa2/2CaABaaDPCaABaaD34qaP 0Dw 例例8 已知：梁的剛度為已知：梁的剛度為EI，欲使，欲使wD 0，求：，求：P 與與 q 的

19、關(guān)系及的關(guān)系及 wC 。解：解：CqCmCPCwwww Pq EIaaPawBCP1622 CaABaaD EIaamawBmCm32 EIqa34 EIPa43 qCqaqa2/2CaABaaDPCaABaaDEIqawCq84 EIqawC48134 EImlEIFlA3162 ACBFBACFBAFFaEIFalEIFl3162 EIFaEIFalEIFlC231622 )31624(4822lalaEIF )31616(483223lalaEIFaaEIFawAC ACCFFF例例9 用疊加法求梁（剛度為用疊加法求梁（剛度為EI）的）的 wC 和和 C 。CABl/2l/2aEIqlE

20、ImlEIqlA24532433 BACmBACmACmACBqACBq)125(2424523alEIqlEImaEIqlC )65(24222alEIaqlaEImawAC 例例10 用疊加法求梁（剛度為用疊加法求梁（剛度為EI）的）的 wC 和和 C 。AqCBqla22qlm 12-4 12-4 梁的剛度條件梁的剛度條件 m ax w max一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中 稱為許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角；w 稱為許用撓度許用撓度。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：、校核剛度：校核剛度：、設(shè)計(jì)截面尺寸；設(shè)計(jì)截面尺寸；、確定許可載荷。確定許可載荷。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m2

21、00mmDP1=1kNB例例1111 下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的=0.00001m,B點(diǎn)的=0.001弧度,試核此桿的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPawBC162111 EILPB16211 EILaPEIMLB3323 EILaPawBC32233 解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單 載荷變形。02 B EIaPwC3322 PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BC

22、DAMxwP2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxwEILaPEIaPEIaLPwC3316223221 EILaPEILPB316221 疊加求復(fù)雜載荷下的變形)(6444dDI 10)4080(6414. 3 1244 48m10188 m1019. 533166223221 EILaPEIaPEIaLPwC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧弧度度 EILaPEILPB 001. 010423. 04B 655.1910m10mCw

23、校核剛度習(xí)題習(xí)題 已知：已知：P=20kN，E=200GPa，規(guī)定，規(guī)定A處的許可轉(zhuǎn)角為：處的許可轉(zhuǎn)角為： =0.50 。 試確定軸的直徑。試確定軸的直徑。解：用逐段剛化法：（設(shè)軸的直徑為解：用逐段剛化法：（設(shè)軸的直徑為d） 1806434dEmlACABP20001000CABP20001000mP 4180364 Emld41202 64mPkNmdlmI 1803 EImlAmmd7.1111805.01020032200006449 zEIxMw)( xwPLEIPLwwLx33max F增大增大EI。F減小跨度。減小跨度。F改善梁的受力情況。改善梁的受力情況。F增加支承。增加支承。

24、3max3PLwEI 減小最大彎矩減小最大彎矩EIPLw3max021. 0 EIPLw3max014. 0 EIPLw3max0073. 0 合理布置外力（包括支座），使合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5對(duì)稱MxqL2/10EIqLw4max013.0 Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxqL/2L/2EIqLw43max107875. 0 EIqLw43max10326. 0 322qL MxEIqL51294 同類同類材料材料，“E”值相差不多，不能提高剛度值

25、相差不多，不能提高剛度。 不同類材料，不同類材料，E相差很多（鋼相差很多（鋼E= =200GPa , , 銅銅E= =100GPa）, , 故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度的目的。但是，改換材故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度的目的。但是，改換材 料，其料，其原料費(fèi)用原料費(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！dxxFSFS+dFSMM+dM彎曲應(yīng)變能的計(jì)算：彎曲應(yīng)變能的計(jì)算：125 梁的彎曲應(yīng)變能梁的彎曲應(yīng)變能EIxM)(1 d)(21dd xMWVxEIxMVd2)(d2 LxEIxMVd2)( 2 xdd 應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能并略去ddMdM(x)P1MxwP2dx

26、d 例例1 1 用能量法求用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。CPfW21 解：外力功等于應(yīng)變能 LxEIxMVd2)( 2 )0( ; 2)(axxPxM應(yīng)用對(duì)稱性，得：EIaPxxPEIVa12d)2(2123202 VW 思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？PaaqxwCEIPafC63 12-6 簡(jiǎn)單超靜定簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法梁的求解方法處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。力。解法：解法：建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng) 確定超靜定次數(shù)，用反力確定超靜定次數(shù)，用

27、反力代替多余約束得到原結(jié)構(gòu)的靜代替多余約束得到原結(jié)構(gòu)的靜定基相當(dāng)系統(tǒng)（定基相當(dāng)系統(tǒng)（基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)）。）。=EIq0LABLq0MABAq0LFBABxw幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0 BBFBqBwww+q0LFBAB=FBABq0AB物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程EILFwEIqLwBBFBqB3;834 03834 EILFEIqLB83qLFB 求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、 變形等）變形等）q0LFBAB83qLFB 求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形等）求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形等）MAFA85 0qLFFAy 8

28、02qLMmAA FS85qL83qLM82qL12892qL由由幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）和物理方程（變形幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）和物理方程（變形與力的關(guān)系）建立與力的關(guān)系）建立補(bǔ)充方程。補(bǔ)充方程。求多余約束反力，必要時(shí)需建立平衡方程。求多余約束反力，必要時(shí)需建立平衡方程。求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形及強(qiáng)度與剛度求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形及強(qiáng)度與剛度計(jì)算。）計(jì)算。）建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)：確定超靜定次數(shù)，用反力建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)：確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束，得到靜定基相當(dāng)系統(tǒng)（代替多余約束，得到靜定基相當(dāng)系統(tǒng)（基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)）。）。幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)BC

29、BFBqBLwwwB =例例1 1 結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBCEAxwq0LABCq0LFBABEI=FBAB+q0AB=LBCEAxfq0LABCFBAB+q0AB物理方程變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程 反力與反力與 EIEI、EA EA 有關(guān)有關(guān)EILFwEIqLwBBFBqB3; 834 EALFEILFEIqLBCBB 3834)3(834ILALIqLFBCB EALFLBCBBC 例例2 已知：梁已知：梁AB、CD長(zhǎng)度均為長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，抗彎剛度均為，抗彎剛度均為EI，求：，求：B點(diǎn)的撓度。點(diǎn)的撓度。解：此結(jié)構(gòu)為一次超靜定，取靜定基相當(dāng)系解：此結(jié)構(gòu)為一次超靜定，取靜定基相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示：統(tǒng)如圖所示：OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F利用變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程：利用變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程：OOww EIFLEIPLw24485330 EIFLwO483 EIFLwEIFLEIPLwwwOoOO4824485333 EIFLEIFLEIPL4824485333 EIPLLEILFEILFEIPLwB1442322)2(3)2