常見的離散型分布

1、2.3 2.3 常見的離散型分布常見的離散型分布 1、記住其概率分布；、記住其概率分布；2、記住、記住EX和和DX；基本要求基本要求3、了解其應(yīng)用背景，并會、了解其應(yīng)用背景，并會 應(yīng)用這幾應(yīng)用這幾 種分布解決實際問題。種分布解決實際問題。1.退化分布退化分布(1)(1)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X取常數(shù)值取常數(shù)值a a的概率為的概率為1, 即即1P Xa則稱則稱X服從服從退化分布退化分布.(2)0EXaDX注：服從退化分布的注：服從退化分布的r.vX的取值幾乎是確定的，的取值幾乎是確定的， 即退化成了一個常量。即退化成了一個常量。2.兩點分布兩點分布12(1),1.01P XxpP Xxpp概概率率

2、分分布布（） XP1xp 1p2xXP0p 11p則稱則稱 X 服從參數(shù)服從參數(shù) p 的的 0-1分布分布或或兩點分布。兩點分布。1,01.01P XpP Xpp特特別別地地，（） (2),(1)EXpDXpp例例 “拋硬幣拋硬幣”試驗試驗,觀察正、反兩面情況觀察正、反兩面情況. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 服從服從 0-1 分布分布., 1( )XX , 0, 當(dāng)當(dāng)正正面面. 當(dāng)當(dāng)反反面面XP012121其分布律為其分布律為(3)(3)描述對象：只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗描述對象：只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗 （伯努利試驗）（伯努利試驗） 兩點分布是最簡單的一種分布兩點分布是最簡單的一種分布,任何一

3、個只有任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 都可用兩點分布描述。都可用兩點分布描述。說明說明 ,(),()1A AP Ap P Ap 1,()( )0,()AA AIA A 發(fā)發(fā)生生不不發(fā)發(fā)生生定定義義-事件事件A的示性的示性r.v.( )( )ApE IP A 注：數(shù)學(xué)期望的概念是概率概念的推廣。注：數(shù)學(xué)期望的概念是概率概念的推廣。3. (n個點上的個點上的)均勻分布均勻分布（1）概率分布）概率分布XP12nxxxnnn111.(),() , ijxxijX其其中中則則稱稱服服從從均均勻勻分分布布1,1,2,iP Xxinn1_211(2)1()niiniiEXxxnD

4、Xxxn12(,nnxxx個個數(shù)數(shù)的的算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)) )實例實例 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機(jī)變量拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機(jī)變量 X,XP161234566161616161則有則有(3)(3)描述對象：古典概型描述對象：古典概型121,1,2,.niPinn :iiRXx 1,1,2,.iiP XxPnin 4. 二項分布二項分布（1）概率分布）概率分布(1),0,1,2, .kkn knP XkC ppkn ( ,)(01)Xb n pp 記記作作( ,)b k n p二項分布二項分布1 n兩點分布兩點分布(2)(2)描述對象：描述對象：n重伯努利試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)重伯努利試

5、驗中某事件發(fā)生的次數(shù)（1）從一批產(chǎn)品中有放回地抽查）從一批產(chǎn)品中有放回地抽查n次，其次，其 中抽中抽檢檢 到的次品件數(shù)。到的次品件數(shù)。例如：例如：（2）一車間有）一車間有n臺同型號的機(jī)器，假設(shè)每臺機(jī)器故臺同型號的機(jī)器，假設(shè)每臺機(jī)器故障率為障率為p，某天機(jī)器的出故障次數(shù)。，某天機(jī)器的出故障次數(shù)。,1500:按按規(guī)規(guī)定定 某某種種型型號號電電子子元元件件的的使使用用壽壽命命超超過過小小時時的的為為一一級級品品. .已已知知某某一一大大批批產(chǎn)產(chǎn)品品的的一一級級品品率率為為0 0. .2 2, ,現(xiàn)現(xiàn)在在從從中中隨隨機(jī)機(jī)抽抽查查2 20 0只只，問問2 20 0只只元元件件中中恰恰有有k k只只( (

6、k k= =1 1, ,2 2, , ,2 20 0) )一一級級品品的的概概例例率率是是多多少少？202020 (20,0.2).0.2 0.8,0,1,2,20.kkkXXbP XkCk 解解：用用 表表示示只只元元件件中中一一級級品品的的只只數(shù)數(shù)，則則因因此此.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20Px135790246810200.22 51015200.050.10.150.2對固定的對固定的 n、p, P ( X = k) 的取的取 值呈不值呈不 對稱分布對稱分布固定固

7、定 p, 隨著隨著 n 的增大，其取值的增大，其取值的分布趨于對稱的分布趨于對稱k=4k=4稱為最可能出現(xiàn)次數(shù)稱為最可能出現(xiàn)次數(shù)()()(n+1)pZ, k = n+1 pk = n+1 p-1(n+1)pZ, k = n+1)p 或或練習(xí)：練習(xí)： 在相同條件下相互獨立地進(jìn)行在相同條件下相互獨立地進(jìn)行 5 次射擊次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,求擊中目標(biāo)的求擊中目標(biāo)的次數(shù)次數(shù) X 的分布及最有可能擊中次數(shù)的分布及最有可能擊中次數(shù).5) 4 . 0(14506 04C . 223506 04C . 332506 04C . 4450604C. 56 . 0

8、Xkp012345k = ( n + 1)p = ( 5+ 1)0.6 =3(3),(1).EXnpDXnpqnpp 11 20iAX,i, ,n.A 證證明明：令令11niiiXXX b( , p), 則則且且iXp E E1niiEXEXnp 5. 泊松分布泊松分布 0 1 2kP Xk e,k!k, , , （1）概率分布）概率分布0.PX () 記記作作，是是常常數(shù)數(shù)2EX,DX （ ） 0kkEXkek! 11)!1(kkke ee 證：證：2EX.2 22)()()(XEXEXD 22 （3）應(yīng)用背景）應(yīng)用背景二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析克兩位科

9、學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的放射性物質(zhì)放出的 粒子個粒子個數(shù)的情況時數(shù)的情況時, ,他們做了他們做了2608 2608 次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.5 7.5 秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi)段時間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X X 服從泊松分布服從泊松分布. . 短時間內(nèi)至多發(fā)生一次的事件短時間內(nèi)至多發(fā)生一次的事件-描述描述“稀有事件稀有事件”發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)數(shù)地震地震 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中等問題中 , 泊松分布是常見的分布。例如地震、火山爆發(fā)、

10、特大洪泊松分布是常見的分布。例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)商場接待的顧客數(shù)泊松分布的圖形泊松分布的圖形二項分布的圖形二項分布的圖形（4 4）二項分布與泊松分布的關(guān)系）二項分布與泊松分布的關(guān)系nnknnnAp ,nnp,k,limb(k;n, p )ek! 在在 重重伯伯努努利利實實驗驗中中，事事件件 在在每每次次實實驗驗中中發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為如如果果時時，定定則則對對任任意意給給定定的的有有理理( (泊泊松松定定

11、理理) )二項分布二項分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小注注： 00 11n10kkknknnpb( n, p )n)p( p. )( np )e.kp ()!pnp 當(dāng)當(dāng)二二項項分分布布的的參參數(shù)數(shù) 很很大大（，而而 很很小小時時，可可用用參參數(shù)數(shù)為為的的泊泊松松分分布布C C來來近近似似，即即8000 002 2520.紡紡織織廠廠女女工工照照顧顧個個紡紡錠錠，每每一一紡紡錠錠在在某某一一段段時時間間內(nèi)內(nèi)發(fā)發(fā)生生斷斷頭頭的的概概率率為為（設(shè)設(shè)短短時時間間內(nèi)內(nèi)最最多多只只發(fā)發(fā)生生一一次次斷斷頭頭）. .求求在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)總總共共發(fā)發(fā)生生斷斷頭頭次次數(shù)數(shù)超超過過例例的的

12、概概率率。800,X設(shè)設(shè) 為為個個紡紡錠錠在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)發(fā)發(fā)生生斷斷頭頭的的次次數(shù)數(shù)解解 (800,0.005),800 0.0054,Xb 則則它它近近似似服服從從參參= =數(shù)數(shù)的的泊泊松松分分布布 故故220002( ;800,0.005)kkPXP Xkb k 24040.2381!kkek 210210.23810.7619P XPX 1010.01180.9831176P XP X 啟示：啟示：小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù) 多了，就成大概率事件多了，就成大概率事件.6. 幾何分布幾何分布 11,2,(1)kkP Xkqpqp （1）概率分

13、布）概率分布X G( p)記記作作（2）應(yīng)用背景：描述伯努利實驗序列中，應(yīng)用背景：描述伯努利實驗序列中， 事件事件A (P(A)=p)首次出現(xiàn)的次數(shù)首次出現(xiàn)的次數(shù). .21(3),qEXDXpp6918P例例：(4)-幾幾何何分分布布的的無無記記憶憶性性特特征征性性質(zhì)質(zhì)|P Xmn XmP Xn |P XmnP Xmn XmP Xm 證證明明1111kk m nkk mqpqp nq P Xn(1)(1)m nmqpqq pq 7.超幾何分布超幾何分布（1）概率分布）概率分布1212,0,.kn kNNnNCCP Xkkn NNNC 112(2),1NNNNnEXnDXnNNNN （3 3）超

14、幾何分布與二項分布的關(guān)系）超幾何分布與二項分布的關(guān)系12,NNNn當(dāng)當(dāng)很很大大，均均較較大大， 相相對對很很小小時時，1212kn kkn kNNnNnNCCNNCCNN 二項分布二項分布泊松分布泊松分布1000 1,.np 兩點分布兩點分布1 n小結(jié)小結(jié)離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布 兩點分布兩點分布均勻分布均勻分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布幾何分布幾何分布超幾何分布超幾何分布退化分布退化分布例例 為了保證設(shè)備正常工作為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修需配備適量的維修工人工人 (工人配備多了就浪費工人配備多了就浪費 , 配備少了又要影響生配備少了又要影響生產(chǎn)產(chǎn)),現(xiàn)有同

15、類型設(shè)備現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺臺,各臺工作是相互獨立的各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備多少工人問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于但不能及時維修的概率小于0.01?解解.人人設(shè)需配備設(shè)需配備 N設(shè)設(shè)備備記記同同一一時時刻刻發(fā)發(fā)生生故故障障的的,X臺臺數(shù)數(shù)為為).,(,010300BX那末那末所需解決的問題所需解決的問題,N是確定最小的是確定最小的使得使得合理配備維修

16、工人問題合理配備維修工人問題.99. 0 NXP,!303 NkkkeNXP故有故有,99.0!303 Nkkke. 8是是小的小的查表可求得滿足此式最查表可求得滿足此式最N個工人個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于概率小于0.01.故至少需配備故至少需配備80.,0 0 013X 由由泊泊松松定定理理， 近近似似服服從從參參數(shù)數(shù)的的3 3泊泊松松分分布布= =故故練習(xí)：練習(xí)： (人壽保險問題人壽保險問題) 在保險公司里在保險公司里 有有2500個個同年齡同社會階層的人參加了人壽保險同年齡同社會階層的人參加了人壽保險,在每一在每一年里每個人死亡的概率為年里每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的每個參加保險的人在人在1月月1日付日付12元保險費元保險費,而在死亡時而在死亡時,家屬可在家屬可在公司里領(lǐng)取公司里領(lǐng)取2000元元.問問 (1)保險公司虧本的概率是多少保險公司虧本的概率是多少? (2) 保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少? 保險公司在保險公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 設(shè)設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù)