專題05動(dòng)點(diǎn)折疊類問(wèn)題中函數(shù)及其綜合題型(解析版)

1、專題05動(dòng)點(diǎn)折疊類問(wèn)題中函數(shù)及其綜合題型一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)綜述動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題是指題設(shè)中的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線、直線、拋物線、雙曲線、弧線等上運(yùn)動(dòng)的一類非常具有開(kāi)放性的題目.而從其中延伸出的折疊問(wèn)題，更能體現(xiàn)其解題核心 一一動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，有時(shí)需要借助或構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型來(lái)解答實(shí)行新課標(biāo)以來(lái)，各?。ㄊ校┑闹锌紨?shù)學(xué)試卷都會(huì)有此類題目，這些題目往往出現(xiàn)在選擇、填空題的 壓軸部分，題型繁多，題意新穎，具有創(chuàng)新力.其主要考查的是學(xué)生的分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力要求學(xué)生具備：運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想等等（1）函數(shù)中的折疊問(wèn)題主要考查對(duì)函數(shù)性

2、質(zhì)的把握及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力（2）綜合題型此類題目困難重重，以 2019年安徽省中考第10題而言，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的表達(dá)，解題中用到的有最短路徑、三角函數(shù)、所求變量的變化規(guī)律等等，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求通過(guò)研究歷年中考真題并結(jié)合2019年各?。ㄊ校┑闹锌颊骖}，特總結(jié)出此專題.期望能給各位老師及同學(xué)以學(xué)習(xí)教學(xué)一些啟發(fā)，一些指引，培養(yǎng)出學(xué)生的解題素養(yǎng)二、精品例題解析題型一：折疊綜合題型例1. （2019 安徽）如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F將對(duì)角線AC三等分，且AC=12,點(diǎn)P在正方 形的邊上，則滿足 PE+PF=9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A.0B.4C.6D.8【分析】當(dāng)P

3、在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)，求出PE+PF的最小值及其變化規(guī)律，進(jìn)而與 9進(jìn)行比較，得出結(jié)論【答案】D.【解析】E'F的解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E',連接E'F,交AD于P,此時(shí)PE+PF的值為最小，最小值為長(zhǎng)，如下圖所示，過(guò) F作FHLEE'于H, EE'交AD于點(diǎn)G,由題意知：AE=EF=FC=4,在RtA PEO中，由勾股定理得： PE=，OEOD22J10 ,四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線, ./ FFH = Z ACB=45° ,FH = EH=EG=E'G =2在RtHFE'中，由勾股定理得:E'

4、;F= . E' H 2 HF2 4 .5 9,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，PE + PF=12>9,當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)時(shí)，連接BD交AC于點(diǎn)O,如下圖所示,，OD=6, OE=2,PE+PF=4710 9, 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE+PF的值的變化規(guī)律為從 12逐漸減小至4J5 ,后增大至4月,在這個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè) P點(diǎn)使得PE+PF=9,.在正方形ABCD邊上有8個(gè)點(diǎn)符合要求，故答案為：D.題型二：折疊與相似例2. （2019 濟(jì)寧）如圖1,在矩形 ABCD中，AB = 8, AD=10, E是CD邊上一點(diǎn)，連接 AE,將矩 形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處

5、，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G.（1）求線段CE的長(zhǎng)；（2）如圖2, M, N分別是線段 AG, DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且/ DMN = / DAM,設(shè) AM = x, DN= y.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出 y的最小值；是否存在這樣的點(diǎn) M,使 DMN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出 x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.SL圖2【分析】（1）由翻折并利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.（2）由admsgmn,可得A0_=更L由此即可解決問(wèn)題. MG GN 有兩種情形：當(dāng) MN = MD時(shí)，當(dāng)MN=DN時(shí).分別求解即可解決問(wèn)題.【答案】見(jiàn)解析.【解答】解：（1）如圖1中，四邊形ABCD是矩

6、形，AD = BC= 10, AB=CD=8, ./ B = Z BCD = 90° ,由翻折可知： AD = AF=10. DE = EF ,設(shè) EC=m，貝U DE = EF = 8m.在RtAABF中，由勾股定理得： BF=6,.CF = BC- BF = 10- 6 = 4,在RtAEFC中，由勾股定理得：（8-m） 2= m2+42,解得：m= 3,EC =3.(2)如下圖中, AD / CG ,AD DECG EC.CG=6,BG = BC+CG= 16,在RtAABG中，由勾股定理得： AG=8 J5 ,在RtADCG中，由勾股定理得： DG= 10, ，AD = DG

7、 = 10, ./ DAG =/ AGD, / DMG = / DMN + / NMG = / DAM + / ADM , / DMN = ./ADM =Z NMG , .ADMA GMN ,.AD AM一 ,HM NG10 x8.5 x 10 y '104V51 二2 一整理得：y x x 10 x 4J5210510,當(dāng)x= 4芯時(shí),y有最小值，最小值為 2.存在.當(dāng)MN = MD時(shí), Z MDN = Z GMD , Z DMN = Z DGM ,.'.A DMN s' DGM ,MD MNDG MGMN = DM ,.-.DG = GM = 10,當(dāng)MN = DN

8、時(shí)，過(guò)M作MH，DG于H .MN = DN , ./ MDN =Z DMN , Z DMN =Z DGM ,：. Z MDG =Z MGD ,MD = MG ,.BHXDG,DH = GH = 5,由GHMsGBA,可得GHGBMGAG 'MG書【答案】見(jiàn)解析四邊形ABCD是正方形，XamX2綜上所述，滿足條件的 x的值為8曲-10或11g .題型三：折疊與全等例3. （2019 臨沂）如圖，在正方形 ABCD中，E是DC邊上一點(diǎn)，（與D、C不重合），連接AE,將 ADE沿AE所在的直線折疊得到 AFE ,延長(zhǎng)EF交BC于G,連接AG ,作GH，AG ,與AE的延長(zhǎng)線交于 點(diǎn)H,連接C

9、H,顯然AE是/ DAF的平分線，EA是/ DEF的平分線，仔細(xì)觀察，請(qǐng)逐一找出圖中其他的角平分線（僅限于小于 180。的角平分線），并說(shuō)明理由.A . AD=AB, / D = Z B=90° ,由折疊知： ADEA AFE, .AD=AF=AB, /AFG=90° 在 RtAAGB 和 RtAAGF 中， AG=AG, AF=AB, RtAAGBRtA AGF,/ 6=Z 7, / 3=Z 4,即AG是/ BAF的平分線，GA是/ BGF的平分線； . /AGH=90° ,. / 6+/HGC=90° , /7+/EGH=90° , ./

10、HGC= EGH ,即GH是/ EGC的平分線；過(guò)H作HNXBM于N, /1 = /2, /3=/4, Z 1+Z2+Z3+Z 4=90° ,，/GAH=2+ Z 3=45 ° ,AG=GH, .ABGAGNH ,NH=BG , GN=AB=BC, .GN GC= BC-GC,即 BG=CN=NH, ./ HCN=45° , / DCH =45 ° ,即CH是/ DCM的平分線.題型四：折疊與反比例函數(shù)例4. (2019 衢州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形 ABCD的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，點(diǎn) C在第一象P將 AOD

11、沿y軸翻折，使點(diǎn) A落在x軸上的點(diǎn)E處，點(diǎn)kB恰好為OE的中點(diǎn)， DE與BC交于點(diǎn)F .若y (k 0)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ,且S bef =1，則k的值 x為 【答案】24.【解析】解:由題意知：AB=CD=3BE, S；a bef= Saobf=1ABCD為平行四邊形，即 AB / CD,.BF: FC=BE: CD=1:3,連接OC, OF,如下圖所示,貝U SaOBF ： Sa OFC=BF: FC=1 : 3,S ob=4,. SaOBC： S；Aodc=OB: CD=1 : 3,Sa odc=12 ,.k=24,故答案為：24.題型五：幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)折疊問(wèn)題例5. (2019 衡陽(yáng))如

12、圖，在等邊 ABC中，AB=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速 運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿 BC的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以 t (s).過(guò)點(diǎn)P作PEAC于E,連接PQ交AC邊于D.以CQ、CE為邊 作平行四邊形 CQFE.(1)當(dāng)t為何值時(shí)， BPQ為直角三角形；(2)是否存在某一時(shí)刻 t,使點(diǎn)F在/ ABC的平分線上？若存在，求出 t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 由；(3)求DE的長(zhǎng)；(4)取線段BC的中點(diǎn)M,連接PM,將 BPM沿直線PM翻折，得 B' PM,連接AB',當(dāng)t為何 值時(shí)，AB&

13、#39;的值最?。坎⑶蟪鲎钚≈?B Sd C > Q【答案】見(jiàn)解析【解析】解：(1) .ABC是等邊三角形,B=60° ,當(dāng) BQ = 2BP 時(shí)，/ BPQ=90° ,即 6+t= 2 (6 - t),解得：t=3,故t= 3時(shí)， BPQ是直角三角形.(2)存在.理由：如下圖，連接 BF交AC于M.4§C f Q副 BF 平分/ ABC, BA= BC, BFXAC, AM =CM = 3cm, EF / BQ, ./ EFM = / FBC=1/ABC = 30。,2EF=2EM ,. .t=2?(3 解得t=3.(3)如下圖，作 PK / BC交AC于

14、K.副.ABC是等邊三角形，Z B= Z A= 60° , PK/ BC, ./ APK = Z B = 60° ,.A=/APK = /AKP = 60° , . APK是等邊三角形，PA= PK, PEXAK, . AE= EK, ，AP=CQ=PK, /PKD=/DCQ, /PDK = /QDC, . PKDA QCD (AAS),DK = DC, . DE= EK+DK= 1 (AK+CK) = - AC=3 (cm).22(4)如下圖，連接 AM, AB'.4BM= CM=3, AB = AC,AM± BC,由勾股定理得：AM=3J3,

15、根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得：AB' >AM-MB',即 AB' > 3事-3,故AB'的最小值為373-3.題型六：函數(shù)圖象中動(dòng)點(diǎn)折疊問(wèn)題例6. (2019 湖州)如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C分別在x.3軸和y軸的正半軸上，連接 ac, oa=3, tanZOAC= , D是BC的中點(diǎn).3(1)求OC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；P、D、B三點(diǎn)(2)如圖2, M是線段OC上的點(diǎn)，OM = 2oc,點(diǎn)P是線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)3的拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn) E,連接DE交AB于點(diǎn)F.將 DBF沿DE所在的直線翻折，若點(diǎn) B

16、恰好落在AC上，求此時(shí)BF的長(zhǎng)和點(diǎn)E的坐標(biāo)；以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊 DFG,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)G也 隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).【答案】見(jiàn)解析-.3【解析】解：（1） OA=3, tanZOAC=,3在 RtAAOC 中,tan / OAC =oc3OA 3ABCD是矩形,BC=OA=3,又D是BC的中點(diǎn),CD= 3-即D的坐標(biāo)為（2,32、知：/ OAC=30° , ./ACB=/OAC=30° ,若4DBF折疊后，B的落點(diǎn)為B'由折疊性質(zhì)，知:DB' DB=DC, /BDF=/B'DF, ./DB&#

17、39;C=/ACB=30° , ./ BDB' =60 , / BDF=30° ,在 RtABDF 中，BF=BD tan30AF=BF=,AF=BF,在4BFD 和AFE 中，/ BFD = Z EFA, / B=/FAE=90BFDA AFE,3AE=BD=2一9即 OE=OA+AE = 一,29故E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）2由題意知：F點(diǎn)橫坐標(biāo)不變?yōu)?,而/ DFB=60° ,即G點(diǎn)與F點(diǎn)的連線與y軸平行，即G點(diǎn)橫坐標(biāo) 不變，所以G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段，求出 P點(diǎn)從O點(diǎn)至M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差即為 G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).y=ax2+bx,將點(diǎn)D3（-,B，B（3, 73）代入解析式,2可得:9 -a49a3b23b解得:2,39、3,即拋物線解析式為：y293x2 令y=0,得xi0,X20),設(shè)直線DE的解析式為:.3y=kx+b,將 D (一,2J3 )、E ( , 0)代入得:233x三，3.將點(diǎn) D (萬(wàn)，J3) , B (3,-2_