高三數(shù)學(xué)(理科)綜合內(nèi)切球和外接球問題(附習(xí)題)

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、有關(guān)外接球的問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點。一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為解析：球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故表面積為27n.例2一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為4向12、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上

2、的三條棱長分別為1,2,3,則此球的表面積為解析：體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為J14,故球的表面積為14n.例4、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為A. 16二B 20nC 24nD 32 n1解析：長、寬、高分別為2,2,43.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同91I x - - ,2h = 3.一個球面上，且該六棱柱的體積為8,底面周長為3,則這個球的體積為6x=3,9巾326xh,解設(shè)正六棱柱的底面邊長為X,高為h，則有J4rd3，正六棱柱的底面圓的半徑2,球心到底面的

3、距離2.，外接球的半徑R=r2d2=122.2小結(jié)本題是運用公式R=r+d求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構(gòu)造法（補形法）1、構(gòu)造正方體例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為J3,則其外接球的表面積是解把這個三棱錐可以補成一個棱長為由的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.則有（2*2=（而十（而十（而=9R2924 .故表面積S = 4江R = 9江.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直222徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有2R=Va+b+c.出現(xiàn)“

4、墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。例6.一個四面體的所有棱長都為J2,四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為A. 3 二B. 4二D. 6 二5解析：聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個正方體，再尋找棱長相等的四面體，如圖2,四面體滿足條件，由此可求得正方體的棱長為1,體對角線為J3,從而外接球的直徑也為3例7（2006年山東高考題）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=600,E為AB的中點，將MDE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P,則三棱奉|P-DCE的外接球的體積為（C4 .3nA. 27,6JTB. 2C. 6n8,6nD. 24解析：（

5、如圖3）AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1即三棱錐P-DCE為正四面體,至此，這與例6就完全相同了DA _L 平面 ABC例8（2008年浙江高考題）已知球O的面上四點A、B、C、D,ABIBC,DA=AB=BC=®則球O的體積等于解析：DA=AB=BC=J3,則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球的直徑，禾IJ9一31用直角三角形解出CD=3.故球O的體積等于2.（如圖4）2、構(gòu)造長方體例9.已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB_L平面BCD,BC_LDC,若AB=6,AC=2而,AD=8,則球的體積是解析：構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的直徑（如圖5）D三.尋求軸

6、截面圓半徑法例4正四棱錐S -ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 短，點、S、在同一球面上，則此球的體積為解球心O必在SO1所在的直線上.4Ase的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 AASC 中，由 SA=SC = V5, AC =2,得3 2 2 AC 2 .4 二球=.故3 .AASC是以AC為斜邊的RtAAC12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑A B、C、D 都五.確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B -AC -D則四面體ABCD的外接球的體積為（C ）125125125125nkJinA.

7、 12B. 9C. 6D. 3解 點0到四面體的四個頂點 A、B、C、D的距離相等，即點0為5、,4一3125 R = OA = - V 球=-R R = 江四面體的外接球的球心，2 .故36P【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球。的球面上，AB1BC且尸，pB=5PC=百，4c=10,求球。的體積。解：+回,=10，所以知=+所以戶W戶CcR=-AC=5取斜邊的中點°,即為該四面體的外接球的球心2所以該外接球的體積為500開1.（陜西理？6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（A.乎B.SC.1答案B1的球面上，其中底面的三個頂點.-3122.

8、直三柱ABC-ABiCi的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,NBAC=120©,則此球的表面積等于解:在AABC中AB=AC=2,/BAC=120、可得BC=2j3,由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O',球心為O,在RTAOBO'中，易得球半徑R=J5,2故此球的表面積為4二R=20二.3 .正三棱柱ABC-ABG內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為冗，則正三棱柱的體積為.答案84 .表面積為2J3的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為3答案A2Ji32.2ji398M等=2向知,a =1,則此球的直徑為5 .已知

9、正方體外接球的體積是V2,故選32元，3A。那么正方體的棱長等于（A.2 22,3B.34,2C.34,3D.3答案 D6 . （ 2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為C. 1 ： 3 . 3D. 1 ： 9【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由答案C7. （2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為底面周長為3,則這個球的體積為答案38. （2007天津理？12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表面積為答案14冗2 cm的球

10、面上。如果正四9. （2007全國H理？15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為棱柱的底面邊長為 1 cm,那么該棱柱的表面積為cm2.10. （2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF ,則此正六棱錐的側(cè)面積是P。I*AFB答案 6,711. （遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中 三角形（正四面體的截面）的面積是 答案212. （2009棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 （ ）A.C.3 二16 二B. 2nD.以上都不對213.（吉林省吉林市2008屆上期末）設(shè)正方體的棱長為則它的外接球的表面積為（D.A.8nB.2兀C.4兀3答案C1.（20