第三章一階微分方程的解的存在定理(1)

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理研究對象初值問題(Cauchy Problem) 1 基本概念1）利普希茲(Lipschitz)條件函數(shù)稱為在閉矩形區(qū)域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果存在常數(shù)使得不等式對所有都成立。其中稱為利普希茲常數(shù)。2 ）局部利普希茲條件稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)關(guān)于滿足局部利普希茲條件，如果對區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，存在以其為中心的完全含于內(nèi)的矩形域，在上關(guān)于滿足利普希茲條件。注意：對內(nèi)不同的點(diǎn)，矩形域大小和常數(shù)可能不同。3）一致利普希茲條件稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)一致地關(guān)于滿足局部利普希茲條件，如果對內(nèi)的每一點(diǎn)都存在以為中心的球，使得對任何，成立不等式其中是與無關(guān)的正數(shù)。4）解的延拓設(shè)方程(3.1)

2、右端函數(shù)在某一有界區(qū)域中有意義，是初值問題(3.1)、(3.2)的解，若也是初值問題的解，且，當(dāng)時，則稱解是解在區(qū)間上的一個延拓。5）包絡(luò)和奇解曲線族的包絡(luò)是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解 在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切，這條特殊的積分曲線所對應(yīng)的解稱為方程的奇解。注意：1）奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。 2）通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。3）一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線

3、族等都是沒有包絡(luò)的。2 基本定理1）存在性與延拓性定理定理3.1 （皮卡(Picard）解的存在唯一性定理）如果函數(shù)在閉矩形域上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茲條件，則方程(3.1)存在唯一的連續(xù)解，定義在區(qū)間上, 且滿足初始條件，這里。證明分五個步驟完成。步驟1 求解微分方程的初值問題等價于求解一個積分方程；步驟 2 構(gòu)造一個連續(xù)的逐步逼近序列；步驟 3 證明此逐步逼近序列一致收斂；步驟 4 證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解；步驟 5 證明唯一性。注意：定理3.1中的條件是解存在唯一的充分條件而非必要條件。定理3.2（皮亞諾(Peano）解的存在性定理）如果微分方程(3.1)的右端函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)

4、連續(xù)，任給點(diǎn)，則滿足初始條件的解在含的某區(qū)間上存在。定理3.3 對于隱式方程，如果在點(diǎn)的某一鄰域中，對所有的變元連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；。則方程存在唯一的解，（為足夠小的正數(shù)）且滿足條件。定理3.4 如果方程(3.1)右端的函數(shù)在有界區(qū)域中連續(xù)，且在內(nèi)滿足局部利普希茲條件，那么方程(3.1)通過內(nèi)任何一點(diǎn)的解可以延拓。直到點(diǎn)任意接近區(qū)域的邊界。以向增大一方的延拓來說，如果只能延拓到區(qū)間 上，則當(dāng)時，趨近于區(qū)域的邊界。推論 如果是無界區(qū)域，在解的延拓定理的條件下, 則方程(3.1)的通過點(diǎn)的解可以延拓，以向增大一方的延拓來說，有下面的兩種情況:) 解可以延拓到區(qū)間，) 解可以延拓到區(qū)間，其中為

5、有限數(shù)，當(dāng)時，或者無界，或者趨于區(qū)域的邊界。定理3.5 第一比較定理若函數(shù)都在平面區(qū)域上連續(xù)，且有不等式成立，則方程滿足初始條件的解和方程滿足初始條件的解在它們共同存在的區(qū)間上，滿足不等式：當(dāng)時，當(dāng)時。2）解對初值的連續(xù)性與可微性定理定理3.6 假設(shè)函數(shù)于區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部利普希茲條件，是初值問題的解，它于區(qū)間 有定義，其中，那么，對任意給定的，必存在正數(shù)，使得當(dāng)時，初值問題的解在區(qū)間也有定義，并且， 。定理3.7 假設(shè)函數(shù)于區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部利普希茲條件，則初值問題的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。定理3.8 對于方程 （）用表示區(qū)域。假設(shè)函數(shù)于區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于一致地滿足局部利普希茲條件，是方程通過點(diǎn)的解，在區(qū)間有定義，其中， 那么，對任意給定的，必存在正數(shù)，使得當(dāng)時，方程滿足條件的解在區(qū)間也有定義，并且，。定理3.9假設(shè)函數(shù)于區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于一致地滿足局部利普希茲條件，則方程的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。定理3.10 若函數(shù)以及都在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則初值問題的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的。3 基本計算1) 近似計算和誤差估計第次近似解的計算公式 。第次近似解的誤差公式。2）求奇解（包絡(luò)線）的方法a）自然法找出方程不滿足唯一性條件的點(diǎn)集合，例如，再驗證它是否是奇解或是否包含有奇解。b） -判別曲線法結(jié)論1 通積分作為曲線族