第二類曲線積分的計算

1、 第二類曲線積分的計算定義 設,為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線上的函數,對任一分割,它把分成個小弧段；其中=.記各個小弧段弧長為,分割的細度為,又設的分點的坐標為,并記 , . 在每個小弧段上任取一點,若極限存在且與分割與點的取法無關,則稱此極限為函數,在有向線段上的第二類曲線積分,記為或 也可記作 或 注：(1) 若記=,則上述記號可寫成向量形式:.(2) 倘若為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線,為定義在上的函數,則可按上述辦法定義沿空間有向曲線的第二類曲線積分,并記為按照這一定義 , 有力場沿平面曲線從點到點所作的功為.第二類曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對二類曲線積分有 ,定

2、積分是第二類曲線積分中當曲線為軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場沿空間曲線所作的功. 為空間曲線上的第二類曲線積分 .與第一類曲線積分的區(qū)別 首先要弄清楚兩類積分的定義，簡單地說，第一類曲線積分就是 第二類曲線積分就是 （1）這兩種曲線積分的主要區(qū)別就在于，第一型曲線積分的積分中是乘的si，si是一小段弧的弧長，si總是正值；而第二類曲線積分和積分和中是乘的一段弧的x,y坐標的增量xi=xi-xi-1，yi=yi-yi-1，xi與yi是可正可負的。當積分的路徑反向時，si不變，而xi與yi反號，因此第一類曲線積分不變而第二類曲線積分反號，在這一性質上，第二類曲線積分與定積分是一樣的。計算

3、曲線積分的基本方法是利用的參數方程將其轉化成定積分，但兩類曲線積分有些不同。設曲線的參數方程為x=x(t)y=y(t) t 則第一類曲線積分的計算公式為 這里要注意，即對t的定積分中，下限比上限小時才有dt0，也就有dt=dt，這樣才有上述計算公式。這個問題在計算中也要特別注意。沿曲線上的點由A變到B，即t的下限對應曲線積分的起點A，他的上限對應曲線積分的起點A，t的上限對應終點B。歷年真題1、設曲線L:fx,y=1，f(x,y)具有一階連續(xù)偏導數，過第二象限內的點M和第四象限內的點N，為L上從點M到點N的一段弧，則下列小于零的選項是(A)fx,ydx (B)fx,ydy (C)fx,yds

4、(D)fxx,ydx+fyx,ydy(2007，數一，4分)【解析】設點M，N的坐標分別為M(x1,y1)，N(x2,y2)，則有題設可知fx,ydx=dx=x2-x10fx,ydy=dy=y2-y10fxx,ydx+fyx,ydy=0dx+0dy=0答案為B。2、計算曲線積分Lsin2xdx+2x2-1ydy，其中L是曲線y=sinx上從點(0,0)到點(,0)的一段。 (2008，數一，9分)【解析】Lsin2xdx+2x2-1ydy=Lsin2xdx+2x2-1sinxcosxdx=Lx2sin2xdx=-x22cos2x0+Lxcos2xdx=-22+x2sin2x0-120sin2x

5、dx=-223、設L是柱面x2+y2=1與平面z=x+y的交線，從z軸正方向往z軸負方向看去為逆時針方向，則曲線積分Lxzdx+xdy+y22dz=(2011，數一，4分)【解析】采用斯托克斯公式直接計算Lxzdx+xdy+y22dz=z=x+yydydz+xdzdx+dxdy=x2+y211-x-ydxdy=02d011-rcos-rsinrdr=4、已知L是第一象限中從點(0,0)沿圓周x2+y2=2x到點(2,0),再沿圓周x2+y2=4到點(0,2)的曲線段，計算曲線積分I=L3x2ydx+x3+x-2ydy(2012，數一，10分)【解析】I=Ly+zdx+z2-x2+ydy+x2y2dz=Ddxdy-20-2ydy=2-45、已知L的方程z=2-x2-y2z=x ，起點為A(0,2,0)，終點為B(0,-2,0)，計算曲線積分I=Ly+zdx+z2-x2+ydy+x2y2dz(2015，數一，10分)【解析】曲線L的參數方程為：x=cosy=2