線性代數(shù)第五章

1、線性代數(shù)第五章相似矩陣及二次型第五章二次型理論是一個(gè)獨(dú)立的內(nèi)容與前面四章的聯(lián)系不是太大，但求特征向量需要涉及求齊次線性方程組的解，因此也可以看成是方程組理論、矩陣?yán)碚摗⑾蛄拷M理論的一個(gè)應(yīng)用。第五章相似矩陣及二次型1 向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積、長度及正交性一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積二、向量的長度二、向量的長度三、向量間的夾角三、向量間的夾角四、正交向量組及其性質(zhì)四、正交向量組及其性質(zhì)五、規(guī)范正交基與施密特正交化過程五、規(guī)范正交基與施密特正交化過程六、正交陣六、正交陣一、向量的內(nèi)積定義：定義：設(shè)有設(shè)有n n 維向量維向量令令 x x, , y y = = x x1 1 y y1 1 +

2、 + x x2 2 y y2 2 + + + + x xn n y yn n ，則稱，則稱 x x, , y y 為向量為向量 x x 和和 y y 的的內(nèi)積內(nèi)積說明：說明： 內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù) 內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x x 和和 y y 都是都是列向量列向量時(shí)，時(shí)， x x, , y y = = x x1 1 y y1 1 + + x x2 2 y y2 2 + + + + x xn n y yn n = = x xT T y y NoImage1122, ,nnxyxyxyxy 內(nèi)積具有下列

3、性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，為實(shí)數(shù)）：l對(duì)稱性： x, y = y, xl線性性： x, y = x, y x + y, z = x, z + y, z l當(dāng) x = 0（零向量） 時(shí)， x, x = 0；當(dāng) x 0（零向量） 時(shí)， x, x 0l施瓦茲（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, yNoImagel對(duì)稱性： x, y = y, x 證：1 12 21 122 , , n nnnx yx yx yx yy xy xy xy x l線性性： x, y = x, y x + y, z = x, z + y, z 證：NoImageNoImage, ()() ,

4、 TTTx yxyxyx yx y, ()()()() , , TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy z9l當(dāng) x = 0（零向量） 時(shí)， x, x = 0；當(dāng) x 0（零向量） 時(shí)， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0l施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y證：對(duì) R x+y, x+y0 即x, x+2x, y+2 y, y 0 于是：(2x, y)2-4x, xy, y0 x, y2 x, x y, y回顧：線段的長度NoImagex1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO在二維空間中，若令在二維空間中，若令 x =

5、(x1, x2)T，則，則NoImage在三維空間中，若令在三維空間中，若令 x = (x1, x2, x3)T，則，則2212| , OPxxx x222123| , OPxxxx xNoImage二、向量的長度定義：令稱 | x |為 n 維向量 x 的長度（或范數(shù)）當(dāng) | x | = 1時(shí)，稱 x 為單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)： 非負(fù)性：當(dāng) x = 0（零向量） 時(shí)， | x | = 0； 當(dāng) x0（零向量） 時(shí)， | x | 0 齊次性： | x | = | | | x | NoImageNoImage2, , , xxxxx xx x 22212| , 0nx xxxxx2|,

6、, | , |xxxx xx xx 三角不等式： | x + y | | x | + | y | 證: | x + y|2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) ( | x | + | y |)2=(x,x)+2(| x | y |)+(y,y) 由施瓦茲不等式|(x,y)| | x | y | | x + y | | x | + | y |xyx + yyx由施瓦茲（由施瓦茲（SchwarzSchwarz）不等式）不等式 x x, , y y 2 2 x x, , x x y y, , y y = = | x | | y | 當(dāng)當(dāng) x x 0 0 且且 y y 0 0 時(shí)

7、，時(shí)，定義：定義：當(dāng)當(dāng) x x 0 0 且且 y y 0 0 時(shí)，時(shí)，稱為稱為 n n 維向量維向量 x x 和和 y y 的的夾角夾角當(dāng)當(dāng) x x, , y y = 0 = 0，稱向量，稱向量 x x 和和 y y 正交正交顯然：顯然：若若 x x = 0 = 0，則，則 x x 與任何向量都正交與任何向量都正交NoImageNoImagexyNoImage , arccos| |x yxy , 1| |x yxy 三、三、向量向量間的夾角間的夾角四、正交向量組及其性質(zhì)四、正交向量組及其性質(zhì)定義：定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組稱為兩兩正交的非零向量組成的向量組稱為正交向量組正交向量組定

8、理：定理：若若 n 維向量維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量，是一組兩兩正交的非零向量，則則 a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)證明：證明：設(shè)設(shè) k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2從而從而 k1 = 0同理可證，同理可證，k2 = k3 = = kr =0綜上所述，綜上所述， a1, a2, , ar

9、線性無關(guān)線性無關(guān)例：例：已知已知3 維向量空間維向量空間R3中兩個(gè)向量中兩個(gè)向量 正交，試求一個(gè)非零向量正交，試求一個(gè)非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交分析：分析：顯然顯然a1a2 解：解：設(shè)設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a3 ， a2a3 ，則，則 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0NoImageNoImage12111 , 211aa 12311101210 xAxxx NoImageNoImage得得從而有基礎(chǔ)解系從而有基礎(chǔ)解系 ，令，令

10、 則則a3即為所求即為所求NoImageNoImageNoImage12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr 1320 xxx 101 3101a 五、規(guī)范正交基與施密特正交化過程五、規(guī)范正交基與施密特正交化過程定義：定義： n 維向量維向量e1, e2, , er是向量空間是向量空間 中的向量，中的向量，滿足滿足 e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基（最大無關(guān)組）；中的一個(gè)基（最大無關(guān)組）； e1, e2, , er 兩兩正交；兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量，都是單位向量，則稱則稱 e1, e2,

11、 , er 是是V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基例：例：是是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基 e1, e2, e3是是R4 中由中由e1, e2, e3生成的生成的向量空間的一個(gè)規(guī)范正交基。向量空間的一個(gè)規(guī)范正交基。NoImageNoImagenVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基NoImageNoImage是是 R4 的一個(gè)基，但不是規(guī)范正交基的一個(gè)基，但不是規(guī)范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 設(shè)設(shè) e1, e2, ,

12、 er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基，則，則V 中任意一中任意一個(gè)向量可唯一表示為個(gè)向量可唯一表示為 x = 1e1 + 2e2 + + rer于是于是特別地，若特別地，若 e1, e2, , er 是是V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基，則，則問題：問題： 向量空間向量空間 V 中的一個(gè)基中的一個(gè)基 a1, a2, , ar 向量空間向量空間 V 中的一個(gè)規(guī)范正交基中的一個(gè)規(guī)范正交基 e1, e2, , erNoImageNoImage2 , , 1,2, ,|iiiiiix ex eire ee , 1,2,iix eir 下面是求規(guī)范正交基的方法第一步：正交化

13、第一步：正交化施密特（施密特（SchimidtSchimidt）正交化過程）正交化過程設(shè)設(shè) a a1 1, a, a2 2, , a, , ar r 是向量空間是向量空間 V V 中的一個(gè)基，那么令中的一個(gè)基，那么令b b1 1=a=a1 1b b2 2=a=a2 2+ + 2121b b1 1由于由于b b1 1、b b2 2正交，正交，所以所以b b1 1, b, b2 2=0=0b b1 1,a ,a2 2+ 2121b b1 1,b ,b1 1=0=0a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基規(guī)范正交基規(guī)范正交基 b b2 2=a=a2 2- b- b1 1, a,

14、a2 2/ b/ b1 1, b, b1 1 b b1 1再令再令 b b3 3=a=a3 3+ + 3131b b1 1+ + 3232b b2 2由于由于b b3 3與與b b1 1、b b2 2正交正交所以所以 b b1 1,a ,a3 3+ 3131b b1 1,b ,b1 1=0=0 b b2 2,a ,a3 3+ 3232b b2 2,b ,b2 2=0 =0 最后，令最后，令b br r=a=ar r+ + r1r1b b1 1+ + r2r2b b2+2+ rr-1rr-1b br-1r-1 可得：可得：于是于是 b b1 1, , b b2 2, , , , b br r 兩

15、兩正交，并且與兩兩正交，并且與a a1 1, , a a2 2, , , , a ar r 等價(jià)，等價(jià)，即即 b b1 1, , b b2 2, , , , b br r 是向量空間是向量空間 V V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基特別地，特別地，b b1 1, , , , b bk k 與與a a1 1, , , , a ak k 等價(jià)（等價(jià)（1 1 k k r r）121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 第二步：單位化第二步：單位化設(shè)設(shè) b1, b2, , br 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基，那么令，那么令因?yàn)橐驗(yàn)?從

16、而從而 e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基NoImageNoImageNoImage112212111, , |rrrebebebbbb21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb111|,1ee e例：例：設(shè)設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取NoImageNoImage1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111ba

17、b ababb bb ab ababbb bb b 解：解：第二步單位化，令第二步單位化，令NoImageNoImage1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，試求非零向量，試求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交. .解：解：若若a1a2 ， a1a3 ，則，則 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系

18、正交化即為所求把基礎(chǔ)解系正交化即為所求NoImageNoImage（以保證（以保證 a2a3 成立）成立）1111a 12100, 111 231110, 2211aa 六、正交陣六、正交陣定義：定義：如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足 ATA = E，即即 A1 = AT，則稱矩陣則稱矩陣 A 為為正交矩陣正交矩陣，簡稱，簡稱正交陣正交陣 于是于是從而可得從而可得方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的的列向量列向量都是單位向量，都是單位向量，且兩兩正交即且兩兩正交即 A 的的列向量組列向量組構(gòu)成構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基 NoImage1, ( ,

19、1,2, )0,Tijijija aa ai jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a因?yàn)橐驗(yàn)锳TA = E 與與AAT = E 等價(jià)，所以等價(jià)，所以NoImageNoImage1, , ( ,1,2, )0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb bn方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣

20、的充分必要條件是 A 的的列向量列向量都是單位向都是單位向量，且兩兩正交即量，且兩兩正交即 A 的的列向量組列向量組構(gòu)成構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基n同樣，方陣同樣，方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的的行向量行向量都是都是單位向量，且兩兩正交單位向量，且兩兩正交 即即 A 的的行向量組行向量組構(gòu)成構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基. .NoImage例：例：驗(yàn)證矩陣驗(yàn)證矩陣 是正交陣是正交陣證：因?yàn)樽C：因?yàn)镻的列向量是的列向量是R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基 所以，所以，P是正交陣。是正交陣。NoImage1212001212000012120012

21、12P 1234001212001212,121200001212eeee NoImage正交矩陣具有下列性質(zhì)：正交矩陣具有下列性質(zhì)： 若若 A 是正交陣，則是正交陣，則 A1 也是正交陣，且也是正交陣，且|A| = 1 或或1 證：證： A 是正交陣。是正交陣。 ATA=E (AT) 1 A1=E (A1) T A1=E 故故 A1 也是正交陣也是正交陣 若若 A 和和B是正交陣，則是正交陣，則 A B 也是正交陣也是正交陣 證：證：(AB)TAB=BTATAB=BTB=E定義：定義：若若 P 是正交陣，則線性變換是正交陣，則線性變換 y = Px 稱為稱為正交變換正交變換經(jīng)過正交變換，線段

22、的長度保持不變（從而三角形的形狀保經(jīng)過正交變換，線段的長度保持不變（從而三角形的形狀保持不變），這就是正交變換的優(yōu)良特性持不變），這就是正交變換的優(yōu)良特性|() ()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx表示一個(gè)從變量表示一個(gè)從變量 到變量到變量 線性變換，線性變換，其中其中 為常數(shù)為常數(shù). . n 個(gè)變量個(gè)變量 與與 m 個(gè)變量個(gè)變量 之間的之間的關(guān)系式關(guān)系式NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12

23、,nxxx12,myyy12,nxxx2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量一、特征值、特征向量的定義一、特征值、特征向量的定義二、特征值的性質(zhì)二、特征值的性質(zhì)向量x經(jīng)線性變換 y=Ax后，一般其方向均要發(fā)生變化；但有的向量很特別，它經(jīng)過變換y=Ax后，方向不變，這樣的向量是在該變換下的所謂的“不變量”?，F(xiàn)在我們就對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行研究。一、一、特征值、特征向量的定義特征值、特征向量的定義定義：定義：設(shè)設(shè) A A 是是 n n 階矩陣，如果數(shù)階矩陣，如果數(shù) 和和 n n 維維非零非零向量向量 x x 滿足滿足A Ax x = = x x，那么這樣的數(shù)那么這樣的數(shù) 稱為矩陣稱為矩陣 A A

24、 的的特征值特征值，非零向，非零向量量 x x 稱為稱為 A A 對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 的的特征向量特征向量 A Ax x = = x x = = E E x x 非零向量非零向量 x x 滿足滿足 ( (A A E E) ) x = x = 0 0（零向量）（零向量）齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解系數(shù)行列式系數(shù)行列式 | | A A E E | | = 0= 0特征方程特征方程特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式 特征方程 | AE | = 0 特征多項(xiàng)式| AE |NoImage111212122212| 0nnnnnnaaaaaaAEaaa 二、二、特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì) 根據(jù)多項(xiàng)式

25、理論：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)根據(jù)多項(xiàng)式理論：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣階矩陣 A 有有 n 個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算） 設(shè)設(shè) n 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為 1, 2, , n，則，則根據(jù)韋達(dá)定理根據(jù)韋達(dá)定理 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann 1 2 n = |A|例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量(P.118)解：解：A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為所以所以 A 的特征值為的特征值為 1 = 2， 2 = 4 當(dāng)當(dāng) 1 = 2 時(shí)，時(shí)， 對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即，即解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系

26、NoImageNoImageNoImageNoImageNoImagek p1（k 0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量就是對(duì)應(yīng)的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231012302xx 12110110 xx 111p 例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為所以所以 A 的特征值為的特征值為 1 = 2， 2 = 4 當(dāng)當(dāng) 2 = 4 時(shí)，時(shí)， 對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即，即解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImagek p2（k 0）就是對(duì)應(yīng)

27、的特征向量就是對(duì)應(yīng)的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231014304xx 12110110 xx 211p 例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值為的特征值為 1 = 1， 2 = 3 = 2 NoImageNoImage211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AE 例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（續(xù)）：解（續(xù)）：當(dāng)當(dāng) 1 = 1 時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)榻夥匠探M解方程組 (A + E) x = 0解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系 NoImageNoIm

28、ageNoImagek p1（k 0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量就是對(duì)應(yīng)的特征向量211020413A 1111101030 010414000rAEAE 1101p 例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（續(xù)）：解（續(xù)）：當(dāng)當(dāng) 2 = 3 = 2 時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)榻夥匠探M解方程組 (A2E) x = 0解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同時(shí)為零）不同時(shí)為零）就是對(duì)應(yīng)的特征向量就是對(duì)應(yīng)的特征向量NoImageNoImageNoImage211020413A 4114112000 000411000rAE 23100 , 141pp 例：例：

29、設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A 的特征值，證明的特征值，證明(1) 2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 當(dāng)當(dāng) A 可逆時(shí)，可逆時(shí)，1/ 是是 A1 的特征值的特征值證：設(shè)證：設(shè)p 是是 A 對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量，則的特征向量，則 A2p=A(Ap)=A( p)= (Ap)= ( p)= 2 2p Ap= p A1(Ap)= A1( p) = (A1 p) A1 p = (1/ p結(jié)論：結(jié)論：若非零向量若非零向量 p 是是 A 對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量，則的特征向量，則p 2 是是 A2 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是 p p k 是是 Ak

30、 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是 p p當(dāng)當(dāng) A 可逆時(shí)，可逆時(shí)，1/ 是是 A1 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍然的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍然是是 p 若若 是是 A A 的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組 ( (A A E E) ) x = x = 0 0的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于特征值為的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于特征值為 的的全體特征向量的最大無關(guān)組全體特征向量的最大無關(guān)組 若若 是是 A A 的一個(gè)特征值，則的一個(gè)特征值，則 ( ( ) = ) = a a0 0 + + a a1 1 + + + + a am m m m是矩陣多項(xiàng)式是矩陣多項(xiàng)式 (

31、(A A) = ) = a a0 0 + + a a1 1 A A + + + + a am m A A m m 的特的特征值征值例：例：設(shè)設(shè)3 階方陣階方陣 A 的特征值為的特征值為1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值(P.120)解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 設(shè)設(shè) 是是 A 的一個(gè)特征值，的一個(gè)特征值， p 是對(duì)應(yīng)的特征向量令是對(duì)應(yīng)的特征向量令則則故所求特征值為故所求特征值為(1)=-1, (-1)=-3, (2)=3NoImageNoImage2( )32

32、j j 11( )( 232)2()3()2223232( )A pAAE pApApppppppj j j j 定理：定理：設(shè)設(shè) 1, 2, , m 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 1, 2, , m 各不相同，則各不相同，則p1, p2, , pm 線性無關(guān)線性無關(guān)例：例：設(shè)設(shè) 1 和和 2 是方陣是方陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為向量依次為 p1 和和 p2， 證明證明 p1 + p2不是不是 A 的特征向量的特征向量(P.121)3 相似矩陣相

33、似矩陣一、相似矩陣的定義一、相似矩陣的定義二、對(duì)角陣二、對(duì)角陣三、矩陣的對(duì)角化三、矩陣的對(duì)角化一、相似矩陣的定義一、相似矩陣的定義定義：定義：設(shè)設(shè) A A, , B B 都是都是 n n 階矩陣，若有可逆矩陣階矩陣，若有可逆矩陣 P P 滿足滿足P P 1 1APAP = = B B ，則稱，則稱 B B 為矩陣為矩陣 A A 的的相似矩陣相似矩陣，或稱矩陣，或稱矩陣A A 和和 B B 相似記為相似記為A A B B。對(duì)對(duì) A A 進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算 P P 1 1AP AP 稱為稱為對(duì)對(duì) A A 進(jìn)行進(jìn)行相似變換相似變換稱可逆矩陣稱可逆矩陣 P P 為把為把 A A 變成變成 B B 的的相

34、似變換矩陣相似變換矩陣矩陣的相似關(guān)系具有以下性質(zhì)：矩陣的相似關(guān)系具有以下性質(zhì)：(1)(1)自返性：自返性：A A A A；(2)(2)對(duì)稱性：若對(duì)稱性：若A A B B，則，則B B A A；(3)(3)傳遞性：若傳遞性：若A A B B，B B C C，則，則A A C C。定理：定理：若若 n n 階矩陣階矩陣 A A 和和 B B 相似，則相似，則 A A 和和 B B 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式相同相同, ,從而從而 A A 和和 B B 的特征值也相同的特征值也相同證明：證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣根據(jù)題意，存在可逆矩陣 P P ，使得，使得 P P 1 1APAP = = B B 于

35、是于是 | B E | = | P 1AP P 1( E) P | = | P 1(A E ) P |= | P 1| |A E | |P | = |A E | 推論：推論：若若 n n 階矩陣階矩陣 A A 和和 B B 相似，則相似，則 A A 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 j j (A) 和和 B 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 j j (B) 相似相似證明：證明：設(shè)存在可逆矩陣設(shè)存在可逆矩陣 P P ，使得，使得 P P 1 1APAP = = B B ，則，則P P 1 1A Ak kP P = = B Bk k . .設(shè)j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j

36、(A) P = P 1 cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E= j (B) .定理：定理：若若A A可逆，可逆，A A B B，則，則B B可逆，且可逆，且A A-1 -1 B B-1 -1. .證：證： A A可逆，可逆，|A|A| 0 0 又又 A A B B， |B|=|B|=| P P 11AP |=AP |=|A|A| 0 0，故，故B B可逆可逆 B B-1 -1=(=(P P 11

37、AP )AP )-1 -1= P= P 11A A-1 -1P P 二、對(duì)角陣定理：設(shè) n 階矩陣 L = diag(1, 2, , n )是對(duì)角陣，則1, 2, , n 就是 L 的 n 個(gè)特征值證明：故 1, 2, , n 就是 L 的 n 個(gè)特征值NoImage1212()()()nnE L L 若 n 階矩陣 A 和 n 階對(duì)角陣 L = diag(1, 2, , n ) 相似，則P P 11LP = AP = A P P 11L 2P = P P = P 11 L P P P P 11 L P = AP = A2 2 ，P P 11Lm mP = AP = Am m從而通過計(jì)算j (

38、L) 可方便地計(jì)算j (A).1211()()( )()()nAPPPPj jj jj jj j j jLL哈密爾頓-凱萊定理：若j () = | AE |，那么 j (A) = 0（零矩陣）三、矩陣的對(duì)角化三、矩陣的對(duì)角化下面討論對(duì)下面討論對(duì)n n 階矩陣階矩陣 A A ，如何尋求可逆矩陣，如何尋求可逆矩陣P P，使得，使得P P 11AP =AP = L L 為對(duì)角陣。這稱為把矩陣為對(duì)角陣。這稱為把矩陣A A對(duì)角化。對(duì)角化。若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣P P，使得，使得 P P 11AP =AP = L L 那么那么 AP = AP = P PL L 設(shè)設(shè)P=(pP=(p1 1,p ,p2

39、 2,p,pn n) )于是于是 (Ap (Ap1 1, Ap, Ap2 2, Ap, Apn n)=()=( 1p p1 1, , 2p p2 2, np pn n) ) ApApi i= = i ip pi i, (i=1,2,n), (i=1,2,n)121212(,)(,)nnnA pppppp 可見：可見： i i (i=1,2,n) (i=1,2,n)是是A A的特征值，而的特征值，而P P的列向量的列向量p pi i就就是是A A的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值 i i的特征向量。同時(shí)，由于的特征向量。同時(shí)，由于P P可逆，可逆，所以，所以， p p1 1,p ,p2 2,p,pn

40、n線性無關(guān)。線性無關(guān)。于是可得于是可得定理：定理：n 階矩陣階矩陣 A 和對(duì)角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)和對(duì)角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)A 有有 n 個(gè)線性個(gè)線性無關(guān)的特征向量。無關(guān)的特征向量。由于不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，所以可得由于不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，所以可得推論：推論：如果如果 A 有有 n 個(gè)不同的特征值，則個(gè)不同的特征值，則 A 和對(duì)角陣相和對(duì)角陣相似似注意：注意：當(dāng)特征方程的某個(gè)特征值有重根時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性當(dāng)特征方程的某個(gè)特征值有重根時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)未必與特征值的重?cái)?shù)相同，從無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)未必與特征值的重?cái)?shù)相同，從而，而，A也就未必可以對(duì)角化。也就未必可以對(duì)

41、角化。例：設(shè)例：設(shè) 問問x x為何值時(shí)，矩陣為何值時(shí)，矩陣A A能對(duì)角化？能對(duì)角化？解：解： |A- |A- E|= =(1-E|= =(1- ) =-() =-( -1)-1)2 2( ( +1)+1) 故特征值為：故特征值為： 1 1=-1 =-1 2 2= = 3 3=1=1為使為使A A能對(duì)角化，必須能對(duì)角化，必須(A-E)x=0(A-E)x=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解有兩個(gè)線性無關(guān)的解也就是也就是 R(A-E)=1R(A-E)=1而而 A-E= A-E=故故x+1=0 x+1=0 即即x=-1x=-1時(shí)矩陣時(shí)矩陣A A能對(duì)角化。能對(duì)角化。4 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一、實(shí)對(duì)稱陣的特

42、點(diǎn)一、實(shí)對(duì)稱陣的特點(diǎn)二、實(shí)對(duì)稱陣二、實(shí)對(duì)稱陣A A對(duì)角化的步驟對(duì)角化的步驟一、實(shí)對(duì)稱陣的特點(diǎn)一、實(shí)對(duì)稱陣的特點(diǎn)定理：定理：實(shí)對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。證：證：設(shè)設(shè)x x為為A A的對(duì)應(yīng)特征值的對(duì)應(yīng)特征值 的的特征向量，考慮特征向量，考慮 一方面一方面 = = = = 另一方面另一方面 = = = = = = = =0 =0 0 0 故故 即即 為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。 定理：定理：設(shè)設(shè) 1 和和 2 是是實(shí)實(shí)對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2 是對(duì)應(yīng)的是對(duì)應(yīng)的特征向量，如果特征向量，如果 1 2 ，則，則 p1, p2 正交正交（P.124定理定理6）證明：證明：

43、 A p1= 1 p1， A p2= 2 2 p2 ， 1 2 考慮考慮 p1T A p2 則一方面則一方面 p1T A p2 = p1T 2 p2 = 2 p1T p2 另一方面另一方面 p1T A p2 = p1T AT p2 = (Ap1 ) T p2 = ( 1 p1 )T p2 = 1 p1T p2 2 p1T p2 = 1 p1T p2 ( 1 2) p1T p2 = 0因?yàn)橐驗(yàn)?1 2 ，則，則 p1T p2 = 0，即，即 p1, p2 正交正交定理：定理：設(shè)設(shè) A 為為 n 階對(duì)稱陣，則必有階對(duì)稱陣，則必有正交陣正交陣 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中

44、其中 L L 是以是以 A 的的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一）一）. .（P.124定理定理7）證明：證明：略略推論：推論：設(shè)設(shè) A 為為 n 階對(duì)稱陣，階對(duì)稱陣， 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，重根，則則矩陣矩陣 A A E E 的秩等于的秩等于 n kn k，恰有恰有 k 個(gè)線性無關(guān)的特征向量與特征值個(gè)線性無關(guān)的特征向量與特征值 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)二、實(shí)對(duì)稱陣二、實(shí)對(duì)稱陣 A 對(duì)角化的步驟對(duì)角化的步驟1. 求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 1, 2, , s ，它們的重，它們的重?cái)?shù)依次為數(shù)依次為k1, k2, , ks

45、 （k1 + k2 + + ks = n）2. 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ki 重特征值重特征值 i ，求方程組，求方程組 | A i E | = 0 的基礎(chǔ)解的基礎(chǔ)解系，得系，得 ki 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量把這把這 ki 個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個(gè)兩兩正交的單位特征向量個(gè)兩兩正交的單位特征向量因?yàn)橐驗(yàn)閗1 + k2 + + ks = n ，總共可得，總共可得 n 個(gè)兩兩正交的單位個(gè)兩兩正交的單位特征向量特征向量3. 這這 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P，便有，便有P 1AP

46、= L L L L 中對(duì)角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng)中對(duì)角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng). .例：例：設(shè)設(shè) ，求，求正交陣正交陣 P，使，使P1AP = L L對(duì)角陣對(duì)角陣. .解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?A 是對(duì)稱陣，所以是對(duì)稱陣，所以 A 可以對(duì)角化可以對(duì)角化求得求得 A 的特征值的特征值 1 = 2， 2 = 3 = 1 NoImageNoImage011101110A 211|11(1) (2)11AE 當(dāng)當(dāng) 1 = 2 時(shí)，時(shí)， 解方程組解方程組 (A + 2E) x = 0 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系 當(dāng)當(dāng) 2 = 3 = 1 時(shí)，時(shí)， 解方程組解方程組 (AE) x

47、= 0 ，得，得 令令 ，則，則 . 問題：這樣的解法對(duì)嗎？問題：這樣的解法對(duì)嗎？NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage2111012121 011112000rAE 1111 111111111 000111000rAE 23111, 001 123111(,)110101P 1000000211PAP L L p當(dāng)當(dāng) 1 = 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ；p當(dāng)當(dāng) 2 = 3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 . .顯然，必有顯然，必有 1 2 ， 1 3 ，但，但 2 3 未必成立未必成立于是把于是把 2, 3

48、正交化：正交化：此時(shí)此時(shí) 1h h2 ， 1h h3 ，h h2h h3 NoImageNoImageNoImage1111 23111, 001 32223322211,11, 1,202 h hhhhhhhh hh h 單位化：單位化：p當(dāng)當(dāng) 1 = 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ；p當(dāng)當(dāng) 2 = 3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 . .NoImageNoImageNoImageNoImage1111 231111, 1202h hh h 111131p 2311111, 12602pp p當(dāng)當(dāng) 1 = 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ；p當(dāng)當(dāng)

49、 2 = 3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為于是于是 p1, p2, p3 構(gòu)成正交陣構(gòu)成正交陣從而從而 NoImageNoImageNoImageNoImage111131p 2311111, 12602pp 123111326111(,)32612036Pppp 1000000211PAP L L 例：例：設(shè)設(shè) ，求，求 An . .分析：分析：p數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法NoImageNoImageNoImageNoImage2112A 22222212154131311212452 1313A 3332335421141313131451213142 1313AA A 11

50、111211313131311212213131313nnnnnnnnnnAAA 例：例：設(shè)設(shè) ，求，求 An . .分析：分析：p數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法p因?yàn)橐驗(yàn)?A 是對(duì)稱陣，所以是對(duì)稱陣，所以 A 可以對(duì)角化可以對(duì)角化求得求得 A 的特征值的特征值 1 = 1， 2 = 3下面求滿足下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣的可逆矩陣 P NoImageNoImageNoImageNoImage2112A 221|(2)1(1)(3)12AE 1003 L L 1003nn L L 下面求滿足下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣的可逆矩陣 P 當(dāng)當(dāng) 1 = 1 時(shí)，時(shí)， 解方程組解方程組 (

51、AE) x = 0 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系 當(dāng)當(dāng) 2 = 3 時(shí)，時(shí)， 解方程組解方程組 (A3E) x = 0 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系 問題：是否需要單位化？問題：是否需要單位化？于是于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即，即 若若 ，則，則 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage11111100rAE 111p 111131100rAE 211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即NoImageNoImageNo

52、Image11()11101112 1103111110111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPPLLLL 11003PAP L L 1AP P L L5 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型、二次型標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型、二次型標(biāo)準(zhǔn)形的定義二、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的一種方法二、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的一種方法一、二次型、二次型標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型、二次型標(biāo)準(zhǔn)形的定義定義：定義：含有含有 n n 個(gè)變量個(gè)變量 x x1 1, x, x2 2, , x, , xn n 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)稱為稱為二次型二次型令令 aij = aji，則，則 2 aij xi

53、 xj = aij xi xj + aji xi xj ，于，于是是NoImage22212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage

54、NoImage對(duì)稱陣對(duì)稱陣212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax NoImageNoImage對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 的

55、秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩. .對(duì)稱陣的對(duì)稱陣的二次型二次型二次型二次型的矩陣的矩陣111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 定義：定義：只含平方項(xiàng)的二次型只含平方項(xiàng)的二次型即：即：f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 稱為二次型的稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）（或法式）.如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù) k1 , k2 , , kn 只在只在1, 0, 1三個(gè)數(shù)三個(gè)數(shù)中取值中取值,即即 f = y12 + + yp2 yp+

56、12 yr2 則上式稱為二次型的則上式稱為二次型的規(guī)范形規(guī)范形說明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于說明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍實(shí)數(shù)范圍.二、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的一種方法二、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的一種方法對(duì)于二次型，我們主要討論尋找可逆的線性變換對(duì)于二次型，我們主要討論尋找可逆的線性變換使二次型成為使二次型成為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）（或法式）或成為或成為規(guī)范形規(guī)范形定義：定義：設(shè)設(shè) A, B 都是都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣階矩陣，若有可逆矩陣 C 滿足滿足CTAC = B ，則稱矩陣，則稱矩陣A 和和 B 合同合同（P.129定義定義9）顯然，顯然，(1) BT =

57、 (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B即若矩陣即若矩陣A 和和 B 合同合同時(shí)，時(shí)，A 為對(duì)稱陣，則為對(duì)稱陣，則 B 也為對(duì)稱陣也為對(duì)稱陣 (2) R(B) = R(A) NoImage簡記為簡記為 x = C y ，于是于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y11111221221122221122,.nnnnnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 即經(jīng)過合同變換后，二次型即經(jīng)過合同變換后，二次型 f 的矩陣由的矩陣由 A 變?yōu)榕c變?yōu)榕c A 合同的矩合同的矩陣陣CTAC，且二次型的秩不變，且二次

58、型的秩不變?nèi)舳涡腿舳涡?f 經(jīng)過可逆變換經(jīng)過可逆變換 x = C y 變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，即變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，即NoImage問題：問題：對(duì)于對(duì)稱陣對(duì)于對(duì)稱陣 A，如何尋找可逆矩陣，如何尋找可逆矩陣 C，使，使 CTAC 為對(duì)為對(duì)角陣角陣,（把對(duì)稱陣合同對(duì)角化）（把對(duì)稱陣合同對(duì)角化）2221122112212()()()(,)TTTTnnnnnfx AxCyA CyyC AC yk yk yk ykykyyyyky 定義：定義：如果如果 n 階矩陣階矩陣A 滿足滿足 ATA = E，即即 A1 = AT，則稱矩陣則稱矩陣A 為為正交矩陣正交矩陣，簡稱，簡稱正交陣正交陣定理：定理：設(shè)設(shè) A 為為 n 階對(duì)

59、稱陣，則必有階對(duì)稱陣，則必有正交陣正交陣 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一）個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理：任給二次型任給二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，總存在，總存在正交變換正交變換 x = P y ，使，使 f 化為化為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 f (P y) = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 其中其中 1 , 2 , , n 是是 f 的矩陣的矩陣 A 的特征值的特征值推論：推論：任給二次型任給二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，總存在，總存在可逆變換可逆變換 x = C z ，使，使 f (Cz) 為為規(guī)范形規(guī)范形證明：證明：f (P y) = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2若若R(A) = r，不妨設(shè)，不妨設(shè)