本節(jié)內(nèi)容提要

1、第二節(jié) 函數(shù)本節(jié)內(nèi)容提要：一、變上限積分及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓萊布尼茲公式重點(diǎn)、難點(diǎn)：變上限函數(shù)，牛頓萊布尼茲公式教學(xué)方法：引入變上限函數(shù)，推出牛頓萊布尼 公式，通過(guò)例題介紹計(jì)算方法。教學(xué)手段：多媒體課件和面授相結(jié)合教學(xué)課時(shí)：課時(shí) 一變上限積分及其導(dǎo)數(shù)1 變上限積分設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，xa,b則存在在式子中的x即是積分變量，又是積分上限，為避免混淆，把積分變量改為t,則積分寫為。由于積分下限為定數(shù)a，上限x在區(qū)間a,b上變化，故的值隨x的變化而變化，也就是說(shuō)是變量x的函數(shù)。稱為變上限積分 ，記作F(x)= xa,b.( )xaf x dx( )xaf x dx( )xaf t dt( )x

2、aft dt( )xaf t dt( )xaf t dt( )xaf t dt2、變上限積分的有關(guān)定理關(guān)于變上限積分有如下定理定理1：（變上限積分對(duì)上限的求導(dǎo)定理）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)就是，即證： 取充分小，使，由定積分的性質(zhì)3和定積分中值定理，得 其中或，于是當(dāng)時(shí)由導(dǎo)數(shù)定義和的連續(xù)性，得 ( )f x,a b( )( )xaF xf t dt,a b( )f x( )( )( )xaddF xf t dtfxdxdxx,xxa b ()( )( )( )xxxaaF xxF xf t dtf t dt( )()xxxft dtfx xxxxxx 0 x ( )f x 00

3、()( )( )( )limlimxxdF xxF xfxF xdxxx 0lim( )( )xff x ( )( )( )xaddF xf t dtf xdxdx即本定理把導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)表面上看似不相干的概念聯(lián)系了起來(lái)，它表明：在某區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)f(x)，其變上限積分是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，可表述為下面的定理：( )xaf t dt定理2 （原函數(shù)存在定理） 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在該區(qū)間上，f(x)的原函數(shù)存在。 例1 求：（1） （2） （3） 解：（1）是連續(xù)函數(shù)，由定理1得 （2）設(shè)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 （3）由定積分的性質(zhì)3，對(duì)任一常數(shù)a 于是0 xtde d

4、tdx2xtxdedtdx2xtxde dtdx( )tf te0 xtxdedtedx2ux20 xuttxdddue dte dtdxdudx222uxexxe222xaxxxtttttxxaaaedtedtedtedtedt2222xxxtttxxxaaddde dte dte dtxeedxdxdx由例1可見，變限積分是變限的函數(shù)，它是一類構(gòu)造形式全新的函數(shù)。變限積分對(duì)變限的導(dǎo)數(shù)是一類新型函數(shù)的求導(dǎo)問題，完全可以與求導(dǎo)有關(guān)的內(nèi)容相結(jié)合，如導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，洛必達(dá)法則求極限，函數(shù)的單調(diào)性，極值等等，下面再看幾個(gè)例子，可從中得到啟發(fā)。例2：設(shè)，求 和0( )(21) (21)xF xxtdt

5、( )F x( )Fx解： 是由x的函數(shù)和相乘，由乘積求導(dǎo)的運(yùn)算法則，得( )F x21x0(21)xtdt00()(21)(21)(21)( (21)xxF Xxtdtxtdt02 (21)(21)(21)xtdtxx202(21)(21)xtdtx20( )221(21)2 212 212xFxtdtxxx6 21x例3 求下列極限(2) (a0為常數(shù))解（1）當(dāng)時(shí)，,因此該極限是型式，可以用洛必達(dá)法則求極限，有（2）當(dāng)時(shí)，該極限是型未定式，由洛必達(dá)法則及重要極限，得020sinlimxxtdtx1(1)limxtaxdttx0 x 0sin0 xtdt 20 x 000020002s i

6、ns ins in1limlimlim22xxxxxtd ttd txxxxx 11111limlimlim 1ttxxxaaxxxdtdtttexxx例4 證明: 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加證：由函數(shù)單調(diào)性的判別法，只需證明即可當(dāng)時(shí)，故在時(shí)單調(diào)增加 20 xtFxtedt0 x 0Fx 22223022xtxxFxte dtx exx e0 x 2320 xFxx e Fx0 x 二、牛頓萊布尼茲公式 定理 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且是它在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則有證：由定理知：是的一個(gè)原函數(shù)，由定理所給條件也是的一個(gè)原函數(shù)，則有 （兩個(gè)原函數(shù)之間相差常數(shù)）當(dāng)時(shí) 得 當(dāng)時(shí) 即：上式稱為牛頓萊布尼茲公式。(

7、 )f x , a b( )F x( )( )( )baf x dxF bF a( )xaf t dt( )f x( )F x( )f x0( )( )xaf t dtF xcxa0( )( )aaf t dtF ac0( )cF a xb0( )( )( )( )aaf t dtF bcF bF a()()()()bbaafx d xFbFaFx公式表明：1、定積分的計(jì)算不必用和式的極限，而是利用不定積分來(lái)計(jì)算。 2、只要我們求出的一個(gè)原函數(shù)，在區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值差，就是的值。( )fx( )F x( )( )F bF a( )bafx dx例5、計(jì)算解： 是的一個(gè)原函數(shù)，所以 120 x

8、 dx2313x dxxc313x2x123 133001111103333x dxx例6、計(jì)算解：因?yàn)?所以例7、求解：因?yàn)?所以121dxx1ln |dxxcx11221ln |ln1 ln2ln2dxxx 10(23 cos)x dx(2 3cos )23sinx dxxxc1100(23cos23sin 23sin1xdxxx）例8、計(jì)算解：321a rc ta n1xd xx321arctan1xd xx31232221arctan(arctan )1 117arctan()() 2 2234288xdxx例9、求解：11000(21)xdx11000(21)xdx11000101 101011011(21)(21)211(21)2 101111( 1)202101xdxx 例10、設(shè)求解：由定積分性質(zhì)3，有 1(0)()(0)xxxfxex21( )fx dx202110( )( )( )f x dxf x dxf x dx021002210(1)123xxed xxd xexxe例11、計(jì)算解：因?yàn)?當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí) 所以，由定積分性質(zhì)3，有12| ln|exdx112xln0,| ln|lnxxx 1xeln0 x |ln| lnxx1111111222| ln| ln| ln|lnlneeex