線性代數(shù)：特征值習題課

1、1習題課習題課第四章第四章2P153,1.P153,1.解解(3)(3)求下列矩陣的特征值與特征向量：求下列矩陣的特征值與特征向量： 122212221122212221 AE125215225 121211221)5( 100010221)5( ,)1)(5(2 3122212221 AE,)1)(5(2 ,51 4222422245AE 660660121,000110121 對應全部特征向量為對應全部特征向量為 1111k;)0(1 k4122212221 AE,)1)(5(2 對應全部特征向量為對應全部特征向量為,12 222222222AE,000000111 10101132kk（

2、32,kk不不全全為為零零） 5P153,1.P153,1.解解(4)(4)求下列矩陣的特征值與特征向量：求下列矩陣的特征值與特征向量： 21110211321112113 AE21012112 21011111)2( 210010111)2( ,)1()2(2 621112113 AE,)1()2(2 ,21 0111221112AE,000100111 特征向量為特征向量為 0111k ) 0(1 k； 721112113 AE,)1()2(2 特征向量為特征向量為 1102k) 0(2 k。 ,12 111112112AE,000110111 8P153,2.P153,2.證證設設 ,是

3、矩陣是矩陣A的不同特征值的特征向量的不同特征值的特征向量, ,證明：證明： 不是不是A的特征向量的特征向量. . ( (反證反證) )設設 , A , A , , 線性無關(guān)線性無關(guān), , 若若 是是A的的特特征征向向量量, , 即即 , )()( kA , )( k,)()( kk,0,0 kk 從從而而 , 矛矛盾盾。 所所以以 不不是是A的的特特征征向向量量。 , 線線性性無無關(guān)關(guān), , 9P153,3.P153,3.證證設設 , A 證證明明：對對合合陣陣A( (即即EA 2) )的的特特征征值值只只能能為為1 1 或或- -1 1。 兩邊左乘兩邊左乘A, ,)(2 AA A ,2 ,

4、2EA , 2 E,)1( 2 , 而而,01 2 .1 10P153,6.P153,6.證證由由條條件件知知,存存在在可可逆逆矩矩陣陣QP ,使使得得 設設DCBA ,，證證明明： DOOBCOOA。 ,1APPB ,1CQQD ，取取 QOOPX 則則X可可逆逆,且且 111QOOPX, QOOPCOOAQOOPXCOOAX111 CQQOOAPP11, DOOB. DOOBCOOA即即11 確定下列矩陣能否相似于對角陣確定下列矩陣能否相似于對角陣, ,若能若能, ,求出這求出這個對角陣和變換矩陣個對角陣和變換矩陣P. . P153,7.P153,7.解解(2)(2) 6333123216

5、33312321 AE630311321 630630321)1( ,)9()1( 12633312321 AE,)9()1( ,11 733322322AE,000100322 ,0111 ,02 633312321A,000110321 ,1112 ,93 3333823289AE,000120111 ,2113 13,210111111 P.9011 APP,11 ,0111 ,02 ,1112 ,93 ,2113 可對角化可對角化, ,14 確定下列矩陣能否相似于對角陣確定下列矩陣能否相似于對角陣, ,若能若能, ,求出這求出這個對角陣和變換矩陣個對角陣和變換矩陣P. . P153,7

6、.P153,7.解解(3)(3) 12110136512111365 AE 321ccc 12111361)2( 280260361)2( ,)2(3 12212362 1512111365 AE,)2(3 ,2 1211213632AE,000000121 只有兩個線性無關(guān)的特征向量只有兩個線性無關(guān)的特征向量, ,故不能對角化。故不能對角化。 16P154,9.P154,9.解解設設 2101A，計算，計算10A。 2101 AE,)2)(1( ,11 ,1100 AE,111 ,22 01012AE,0001 ,102 ,1101 P,20011 APP,11011 P.221011101

7、2001110110101010 A17對對下下列列實實對對稱稱矩矩陣陣A，求求可可逆逆陣陣P和和對對角角陣陣 ，使使 APP1。 P154,11.P154,11.解解(1)(1) 32420242332422423 AE3212042131 cc74020421)1( ,)8()1(2 1832422423 AE,)8()1(2 ,11 424212424AE,000000212 ,0211 ,1012 ,82 5242824258AE,000120141 ,2123 ,210102211 P.8111 APP19對對下下列列實實對對稱稱矩矩陣陣A，求求可可逆逆陣陣P和和對對角角陣陣 ，使使

8、 APP1。 P154,11.P154,11.解解(2)(2) 110143031110143031 AE11) 1( 3140031331 cc1100140031)1( ,)6)(1)(1( 20110143031 AE,)6)(1)(1( ,11 010133030AE,000010133 ,3011 ,12 210153032AE,000210121 ,1232 ,63 5101230356AE,000510211 ,1533 21,11 ,3011 ,12 ,1232 ,63 ,1533 ,113520331 P.6111 APP22典型例題典型例題23已知已知1 是矩陣是矩陣 41

9、121111aA的特征值，的特征值，試確定試確定a的值，并求出的值，并求出A的所有的特征值和特征向量。的所有的特征值和特征向量。 例例11 是是A的的特特征征值值, 解解, 02231120110 aaAE411211111 AE,1 a, )4()1(2 321rrr 24411211111 AE, )4()1(2 ,11 311201110AE,000110201 對應全部特征向量為對應全部特征向量為 1121k;)0(1 k25411211111 AE, )4()1(2 ,42 0112311134AE,000120011 對應全部特征向量為對應全部特征向量為 2112k. )0(2 k

10、26設設 A= 122212221, 求求 A 的的特特征征值值及及對對應應的的特特征征向向量量；求求可可逆逆陣陣 P, 使使APP1 為為對對角角陣陣, 并并計計算算5A。 例例2解解122212221 AE125215225 100010221)5( ,)1)(5(2 27122212221 AE,)1)(5(2 ,51 4222422245AE,000110121 ;1111 ,12 222222222AE,000000111 ,0112 ,1013 ,101011111 P,1151 APP28,101011111 P,211121111311 P,1151 APP155 PPA 21

11、112111111312510101111131.104110421042104210411042104210421041 29已已知知 2001,23121BPPP，求求nB。 例例3解解1200)1( PPAnnn,23121 P 2312200)1(2312nn.2)1(323)1(62)1(2234)1(2111 nnnnnnnn30設設A是是 3 階階可可逆逆矩矩陣陣，已已知知1 A的的特特征征值值是是 1、2、3，求求A的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式 332211AAA 的的值值。 例例4解解因為因為1 A的特征值為的特征值為 1、2、3， 故故A的的特特征征值值為為1、12 、13 ，

12、 ,61 A A的特征值的特征值 A是是,21,31,61 A的的對對角角線線上上元元素素之之和和為為 .1213161332211 AAA31END32補充題補充題1.設設 1630310104A, 求求 A 的的特特征征值值及及對對應應的的特特征征向向量量；并并計計算算10A。 2.201034011的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求矩矩陣陣 A3. .3,3, 2 , 13EAAA 求求的的特特征征值值為為三三階階矩矩陣陣已已知知33解解,)1)(2(2010340112 AE,21 1. 0010140132AE,1001 ,000010001 ；的全部特征向量為的全部特征向量為

13、對應于對應于)0(211 kk .201034011的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求矩矩陣陣 A34,000210101 ,)1)(2(2010340112 AE,12 101024012AE,1212 . )0(122 kk 的全部特征向量為的全部特征向量為對應于對應于352. 解解, )2() 1(2 AE,11 ,0121 ;1002 ,3153 ,23 ,310101502 P,021363051311 P11010 PPA.1204610230681341034101706 36解解3. .3,3, 2 , 13EAAA 求求的的特特征征值值為為三三階階矩矩陣陣已已知知若若0

14、 是是矩矩陣陣A的的特特征征值值， 則則)(0 p是是)(Ap的的特特征征值值。 EAA 33的特征值是的特征值是,1 ,3,17 故故.51)17(3)1(33 EAA371 . (2) 用正交變換化標準型用正交變換化標準型.111111111:A解解111111111AI11011211221cc 1102011212rr ) 1)(2)(2(所以所以 A 的特征值為的特征值為: 2，-2 ，1 .38當當 = = 2 時，時，0001000113111111112AITX0 , 1 , 11基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為.0 , 1 , 1211TY 單單位位化化為為當當 = - = - 2 時，時，1111311132A