通信原理_抽樣定理

1、通信原理抽樣定理抽樣定理周文炯周文炯學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 1. 了解模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸系統(tǒng)的過(guò)程了解模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸系統(tǒng)的過(guò)程 2. 2. 掌握理想低通抽樣定理掌握理想低通抽樣定理 重點(diǎn)：重點(diǎn)：理想低通抽樣定理理想低通抽樣定理 難點(diǎn)：難點(diǎn)：由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)2模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸數(shù)字通信系統(tǒng)具有許多優(yōu)點(diǎn)而成為當(dāng)今通信的發(fā)展方向數(shù)字通信系統(tǒng)具有許多優(yōu)點(diǎn)而成為當(dāng)今通信的發(fā)展方向自然界的許多信息經(jīng)各種傳感器感知后都是模擬量，例如電自然界的許多信息經(jīng)各種傳感器感知后都是模擬量，例如電話、電視等通信業(yè)務(wù)，其信源輸出的消息都是模擬信號(hào)。話、電視等通信業(yè)務(wù)，其信源輸出的消息都是模擬信號(hào)。若要利

2、用數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸模擬信號(hào)，一般需要三個(gè)步驟：若要利用數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸模擬信號(hào)，一般需要三個(gè)步驟： （1 1）把模擬信號(hào)數(shù)字化，即模數(shù)轉(zhuǎn)換（）把模擬信號(hào)數(shù)字化，即模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/DA/D） （2 2）進(jìn)行數(shù)字方式傳輸）進(jìn)行數(shù)字方式傳輸 （3 3）把數(shù)字信號(hào)還原為模擬信號(hào)，即數(shù)模轉(zhuǎn)換（）把數(shù)字信號(hào)還原為模擬信號(hào)，即數(shù)模轉(zhuǎn)換（D/AD/A）3模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸A/D轉(zhuǎn)換中有三個(gè)基本過(guò)程：轉(zhuǎn)換中有三個(gè)基本過(guò)程：抽樣、量化、編碼抽樣、量化、編碼。4模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸?shù)南到y(tǒng)框圖模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸?shù)南到y(tǒng)框圖 抽樣、量抽樣、量化、編碼化、編碼 數(shù)字?jǐn)?shù)字通信系統(tǒng)通信系統(tǒng) 譯碼和譯碼和低通濾波低通濾波 模擬模擬信

3、息源信息源 tmkSkS)( tm模擬隨機(jī)信號(hào)模擬隨機(jī)信號(hào)數(shù)字隨機(jī)序列數(shù)字隨機(jī)序列數(shù)字隨機(jī)序列數(shù)字隨機(jī)序列模擬隨機(jī)信號(hào)模擬隨機(jī)信號(hào)5te模擬信號(hào)抽樣量化0t2t4te1tt0t2t4tt2 .12 .06 .0e編碼量化等級(jí) 量化電平 二進(jìn)制編碼 實(shí)際抽樣值 00V00000.01V 10.2V00010.21V 20.4V00100.42V30.6V00110.59V40.8V01000.80V51.0V01010.99V61.2V01101.18V71.4V011181.6V100091.8V1001A/D 轉(zhuǎn)換步驟轉(zhuǎn)換步驟示意圖示意圖抽樣定理抽樣抽樣是把時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)變成一系列時(shí)間

4、上離散的是把時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)變成一系列時(shí)間上離散的抽樣值的過(guò)程。抽樣值的過(guò)程。抽樣定理的大意是，如果對(duì)一個(gè)頻帶有限的時(shí)間連續(xù)的模抽樣定理的大意是，如果對(duì)一個(gè)頻帶有限的時(shí)間連續(xù)的模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，當(dāng)抽樣速率達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，那么根據(jù)擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，當(dāng)抽樣速率達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，那么根據(jù)它的抽樣值就能重建原信號(hào)。也就是說(shuō)，若要傳輸模擬信它的抽樣值就能重建原信號(hào)。也就是說(shuō)，若要傳輸模擬信號(hào)，不一定要傳輸模擬信號(hào)本身，而只需傳輸按抽樣定理號(hào)，不一定要傳輸模擬信號(hào)本身，而只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。得到的抽樣值即可。抽樣定理抽樣定理是模擬信號(hào)數(shù)字化的理論依據(jù)。是模擬信號(hào)數(shù)字化的理論依據(jù)。能否由樣值

5、序列重建原信號(hào)能否由樣值序列重建原信號(hào), ,是抽樣定理要回答的問題。是抽樣定理要回答的問題。 6抽樣定理舉一個(gè)放電影的例子舉一個(gè)放電影的例子, ,自然界中連續(xù)運(yùn)動(dòng)的物體自然界中連續(xù)運(yùn)動(dòng)的物體, ,經(jīng)過(guò)攝像機(jī)經(jīng)過(guò)攝像機(jī)的拍攝的拍攝( (抽樣抽樣) )后變?yōu)橐粡垙埡笞優(yōu)橐粡垙垺半x散離散”的膠片的膠片在放映時(shí)由于人眼的暫留效應(yīng)對(duì)光線的變化就有低通特性在放映時(shí)由于人眼的暫留效應(yīng)對(duì)光線的變化就有低通特性( (人人眼對(duì)緩慢變化的光線可以察覺到眼對(duì)緩慢變化的光線可以察覺到, ,而對(duì)迅速變化的光線則無(wú)法而對(duì)迅速變化的光線則無(wú)法察覺察覺) )。光線的暫時(shí)中斷被人眼自動(dòng)連接上了。所以在屏幕上。光線的暫時(shí)中斷被人眼

6、自動(dòng)連接上了。所以在屏幕上看到的畫面就是一個(gè)連續(xù)動(dòng)作的圖像?？吹降漠嬅婢褪且粋€(gè)連續(xù)動(dòng)作的圖像。要使要使“離散離散”的圖像被人眼平滑成連續(xù)的圖像的圖像被人眼平滑成連續(xù)的圖像, ,要求攝影機(jī)在要求攝影機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)能拍攝出足夠多的畫面單位時(shí)間內(nèi)能拍攝出足夠多的畫面( (即采樣頻率要足夠高即采樣頻率要足夠高) )。如果攝像機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)拍攝的畫面數(shù)不夠如果攝像機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)拍攝的畫面數(shù)不夠, ,在放映時(shí)看到的在放映時(shí)看到的動(dòng)作就有跳動(dòng)的感覺動(dòng)作就有跳動(dòng)的感覺, ,而不是連續(xù)的感覺而不是連續(xù)的感覺, ,這時(shí)就產(chǎn)生了畫面這時(shí)就產(chǎn)生了畫面的失真。的失真。7抽樣定理對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣和拍電影一樣對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)

7、行抽樣和拍電影一樣, ,當(dāng)抽樣頻率足夠高時(shí)當(dāng)抽樣頻率足夠高時(shí), ,模擬信號(hào)迅速變化的部分都采集到了模擬信號(hào)迅速變化的部分都采集到了, ,接收端利用一個(gè)低接收端利用一個(gè)低通濾波器進(jìn)行平化處理通濾波器進(jìn)行平化處理, ,可恢復(fù)出原信號(hào)。而抽樣頻率不可恢復(fù)出原信號(hào)。而抽樣頻率不夠高時(shí)夠高時(shí), ,模擬信號(hào)迅速變化的部分沒有都采集到模擬信號(hào)迅速變化的部分沒有都采集到, ,低通濾波低通濾波器平滑輸出的波形就會(huì)產(chǎn)生失真。器平滑輸出的波形就會(huì)產(chǎn)生失真。結(jié)論結(jié)論：抽樣后的樣值序列含有原模擬信號(hào)的信息：抽樣后的樣值序列含有原模擬信號(hào)的信息, ,如果要如果要把樣點(diǎn)恢復(fù)成原模擬信號(hào)把樣點(diǎn)恢復(fù)成原模擬信號(hào), ,在抽樣時(shí)一

8、定要滿足一定的條在抽樣時(shí)一定要滿足一定的條件件抽樣定理抽樣定理。抽樣定理告訴我們抽樣定理告訴我們, ,究竟需要多高的采樣頻率究竟需要多高的采樣頻率, ,在收端可以在收端可以用低通濾波器不失真地恢復(fù)出原信號(hào)。用低通濾波器不失真地恢復(fù)出原信號(hào)。8抽樣定理9 根據(jù)信號(hào)根據(jù)信號(hào)m(t)是低通型信號(hào)還是帶通型信號(hào)是低通型信號(hào)還是帶通型信號(hào), ,抽樣定理可分為抽樣定理可分為抽樣定理和抽樣定理和抽樣定理。抽樣定理。 根據(jù)抽樣脈沖根據(jù)抽樣脈沖T(t)是時(shí)間上等間隔序列還是非等間隔序列是時(shí)間上等間隔序列還是非等間隔序列, ,抽樣定理可抽樣定理可分為分為抽樣定理和抽樣定理和抽樣定理。抽樣定理。抽樣器抽樣器m(t)

9、T(t)ms(t)抽樣定時(shí)脈沖抽樣定時(shí)脈沖 根據(jù)根據(jù)T(t)是沖激序列還是非沖激序列是沖激序列還是非沖激序列, ,抽樣定理可分為抽樣定理可分為抽樣定理抽樣定理和和抽樣定理。抽樣定理。時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)：)()()(ttmtmTs6.1.1 低通抽樣定理低通抽樣定理低通抽樣定理:一個(gè)頻帶限制在(0, fH) Hz內(nèi)的時(shí)間連續(xù)信號(hào)m(t),如果以1/(2 fH)秒的間隔對(duì)它進(jìn)行等間隔抽樣,則m(t)將被所得到的抽樣值完全確定。 2 fH奈奎斯特速率奈奎斯特速率；1/(2 fH)奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔。10 此定理告訴我們：若此定理告訴我們：若m(t)的頻譜在

10、某一頻率的頻譜在某一頻率fH以上為零，則以上為零，則m(t)中的中的全部信息完全包含在其間隔不大于全部信息完全包含在其間隔不大于1/(2 fH)秒的均勻抽樣序列里。秒的均勻抽樣序列里。換句話換句話說(shuō)，在信號(hào)最高頻率分量的每一個(gè)周期內(nèi)起碼應(yīng)抽樣兩次說(shuō)，在信號(hào)最高頻率分量的每一個(gè)周期內(nèi)起碼應(yīng)抽樣兩次?；蛘哒f(shuō)，抽?；蛘哒f(shuō)，抽樣速率樣速率fs（每秒內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)）應(yīng)不小于（每秒內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)）應(yīng)不小于2 fH ，若抽樣速率，若抽樣速率fs2 fH ，則，則會(huì)產(chǎn)生失真，這種失真叫會(huì)產(chǎn)生失真，這種失真叫混疊失真混疊失真。抽樣定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式 下面我們從頻域角度來(lái)證明這個(gè)定理m(t)為低通信號(hào),頻譜在0 fH范

11、圍抽樣函數(shù)為周期性沖激函數(shù)：11 )snTnTtt（)()()(ttmtmTs)()()()(sssnnnTtnTmnTttm抽樣后輸出信號(hào)為ms(t)抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜12)( 2)(nssTnT)(1)(sssnMTM）()()()(TTssMtmtMtm)()()(ttmtmTs MMTS21 所以，理想抽樣后信號(hào)的頻譜Ms()由無(wú)限多個(gè)間隔為s的M()相疊加而成，這意味著抽樣后的信號(hào)ms(t)包含了信號(hào)m(t)的全部信息。n=0時(shí)就是 本身，所以通過(guò)一個(gè)低通濾波器就可以恢復(fù)信號(hào)m(t)。 ）(M低通抽樣定理13tms(t)-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts低通信

12、號(hào)沖激抽樣過(guò)程的時(shí)間函數(shù)及對(duì)應(yīng)頻譜低通信號(hào)沖激抽樣過(guò)程的時(shí)間函數(shù)及對(duì)應(yīng)頻譜 -2s -s 0 s 2sm(t)t0T(t)t-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts -H 0 HM(T()-2s -s -H 0 H s 2sMs()低通抽樣定理14抽樣頻率fs對(duì)頻譜M(f)的影響 -H 0 HM(Ms()-2s -s 0 s 2s -H 0 HM(-2s -s -H 0 H s 2sM() -H 0 HM(-2s -s -H 0 H s 2sM()低通信號(hào)的抽樣定理：低通信號(hào)的抽樣定理： 一個(gè)頻帶限制在0fH內(nèi)的低通信號(hào)m(t)，如果抽樣頻率fs 2fH，則可以由抽樣序列無(wú)失真地重建恢復(fù)原始信號(hào)m(

13、t) 。 s2 Hs-ms+m s2 Hs-Hs+H s=2 H頻譜重疊信號(hào)恢復(fù)15低通濾低通濾波器波器ms(t)如何由樣值序列恢復(fù)原始基帶信號(hào)？如何由樣值序列恢復(fù)原始基帶信號(hào)？由抽樣頻譜圖可知,樣值序列通過(guò)一適當(dāng)?shù)牡屯V波器即可恢復(fù)原始信號(hào)。 )(0tm HHH| , 0| , 1 tSathHH MTHnMTHMSnSSS11 HMTMSS根據(jù)時(shí)域卷積定理，得到：)()()(thtmTtmsS)()()(snssnTtnTmtm信號(hào)恢復(fù)16 該式是重建信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式，稱為內(nèi)插公式。 它說(shuō)明以奈奎斯特速率抽樣的帶限信號(hào)m(t)可以由其樣值利用內(nèi)插公式重建。這等效為將抽樣后信號(hào)通過(guò)一個(gè)沖激響

14、應(yīng)為 的理想低通濾波器來(lái)重建m(t)。)()(sin)()()()()()()(sHsHnssHnsHHsnsSnTtnTtnTmnTtSanTmtSanTtnTmTtmHHSST222tSaHH 由圖可見， 以每個(gè)樣值為峰值畫一個(gè)Sa函數(shù)的波形， 則 合成的波形就是m(t)。 由于Sa函數(shù)和抽樣后信號(hào)的恢復(fù)有密切的聯(lián)系，所以Sa函數(shù)又稱為抽樣函數(shù)。低通抽樣定理在實(shí)際中,邊界陡峭的理想濾波器無(wú)法制作,當(dāng)fs = 2fH時(shí),雖然M(f)的頻譜不會(huì)出現(xiàn)重疊現(xiàn)象,但通過(guò)非理想濾波器得到的頻譜仍然有失真。所以實(shí)際應(yīng)用中一般要留有一定的防衛(wèi)帶,取fs 2fH。例如話音信號(hào)的最高頻率被限制在3400 Hz,抽樣頻率應(yīng)大于23400=6800Hz,為了留有一定防衛(wèi)帶, CTU-T規(guī)定話音信號(hào)的抽樣頻率為fs = 8000Hz, Ts=125s。抽樣頻率越高,對(duì)防止頻譜混疊越有利,但將使總碼速率增高,給傳輸帶來(lái)不便。17人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說(shuō)古人說(shuō)“書中自有黃金屋。書中自