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1、平行四邊形中常用輔助線的添法徐衛(wèi)東 劉建英 平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì),所以在添輔助線方法上也有共同之處,目的都是造就線段的平行、垂直,構(gòu)成三角形的全等、相似,把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理,其常用方法有下列幾種,舉例簡(jiǎn)解如下:一、連對(duì)角線或平移對(duì)角線:例1 如圖1,E是平行四邊形ABCD中AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),ED交BC于F,求證:。簡(jiǎn)證:連BD,由圖易得(同底等高),(同底等高)所以,所以,即。 例2 如圖2,平行四邊形ABCD中,對(duì)角
2、線AC、BD交于O,AC=a+b,BD=a+c(),AB=m,求m的取值范圍。簡(jiǎn)解:要求AB的值,需把AC、BD、AB集中在一個(gè)三角形中,過(guò)C作CEDB交AB的延長(zhǎng)線于E,由圖易得DBEC是平行四邊形,所以,即,在ACE中,即。 二、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形 例3 如圖3,平行四邊形ABCD中,DBC=,DEDB交BC的延長(zhǎng)線于E,AD=a,DE=b,求。簡(jiǎn)解:過(guò)D作DFBE于F,由題意得DEB=,所以DF=,BE=,則,所以。 例4 如圖4,平行四邊形
3、ABCD的周長(zhǎng)為40,ABC=,E、F是BD上的三等分點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線交BC于M,MF的延長(zhǎng)線交AD于N,設(shè),試求y與x的函數(shù)關(guān)系。簡(jiǎn)解:過(guò)A作AHBC于H。因?yàn)?,所以,所以。因?yàn)锳DBC,所以,所以,則。 三、連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn),或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線,構(gòu)造線段平行或中位線 例5 如圖5,平行四邊形ABCD中,N是AB中點(diǎn),BE=,NE與BD交于F,求的值。簡(jiǎn)解:作AC交BD于O,連ON,由 圖得ON,因?yàn)椋?,所以,所以,則。 例6 如圖6,平行
4、四邊形ABCD中,O是對(duì)角線交點(diǎn),F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),OF交BC于E,AB=a,BC=b,BF=c。求BE長(zhǎng)。簡(jiǎn)解:作OGCB交AB于G,因?yàn)镺是AC中點(diǎn),所以O(shè)G=,又,所以。 四、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段,構(gòu)造三角形相似或等積三角形。例7 如圖7,正方形ABCD中,E、F分別為CD、DA的中點(diǎn),BE、CF交于P,求證AP=AB。簡(jiǎn)證:延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于G。因?yàn)镕D=FA,易得CDFGAF,所以AG=CD=AB,則A為BG中點(diǎn),又CE=DF,CB=CD,所以RtBCERtCDF,所以1=2,因?yàn)?+3=,所以2+3=,所以CPB=,所以BPG=。則
5、PA是RtBPG的斜邊上中線,所以AP=AB。 例8 如圖8,平行四邊形ABCD中,E、F分別是DC、DA上一點(diǎn),AE=CF,AE與CF交于P,求證PB平分APC。簡(jiǎn)證:連BE、BF,由圖易證得。過(guò)B作BHCF、BGAE,垂足分別為H、G。因?yàn)椋訠G=BH,所以B點(diǎn)在APC的角平分線上,則PB平分APC。 五、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線,構(gòu)成線段平行或三角形全等 例9 如圖9,E是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn),EFBC,EGBA,垂足分別為F、G,求證:。簡(jiǎn)證:作AHBD于H,CKBD于K,易得AHCK,連AE、CE。因?yàn)椋?。又,所以,所以,則。 例10 如圖10,ABCD是正方形,BEAC,AE=AC,CFAE,求證:AEB=2BCF。 簡(jiǎn)證:連BD,過(guò)A作AHAC交BE于H,AC與BD交于O。由圖中易證得AHBO
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