微積分中求極限的常用方法

1、微積分中求極限的常用方法    摘 要： 極限是微積分的一個(gè)重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限計(jì)算又是學(xué)好微積分的前提條件。本文對(duì)微積分中一元函數(shù)極限的常見求解方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，旨在提高微積分的教學(xué)水平和學(xué)習(xí)方法，給初學(xué)者提供幫助。    微積分 極限 常用計(jì)算方法微積分是研究變量的一門學(xué)科，極限又是微積分的一個(gè)重要概念。 其理論的確立使微積分有了堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)， 使得微積分在日常生活和科學(xué)研究中得以更廣泛合理地應(yīng)用和發(fā)展， 所以求極限成為微積分的重中之重。極限計(jì)算是學(xué)好微積分的前提條件，熟練掌握求極限的方法

2、，能夠提高微積分的學(xué)習(xí)能力。求極限的方法有很多，這些方法應(yīng)因題而異，靈活運(yùn)用。我結(jié)合自己的工作經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)和分析了微積分中極限若干求法及注意事項(xiàng)以供參考。一、利用極限定義求極限例1：證明e=0證明：|f(x)-A|=|e-0|=e，故?坌0這些等價(jià)關(guān)系在極限的運(yùn)算中非常重要。需要注意的是在利用等價(jià)窮小求極限時(shí)無窮小與函數(shù)其他組成部分必須是乘、除關(guān)系，否則就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。例3：求解：因?yàn)閤0時(shí)，ln三、兩個(gè)重要極限=1與(1+)=e這兩個(gè)公式在極限中占有重要位置。而我們在使用公式時(shí)并非完全套用公式，而是對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?。?1，或=1，(1+)=e或(1+f(x)=e，其中f(x)代表相同的表達(dá)式

3、。例5：求(sin+cos)解：原式=(sin+cos)=(1+sin)=(1+sin)=e注意：在利用重要公式時(shí)要注意條件=1，(1+x)=e，但=0，(1+)e.四、利用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則是一種常用的、有效的求極限得的方法，它可以求形如，型的未定式，對(duì)于形如0、1、-，0型的未定式，可將它們轉(zhuǎn)化為或型的未定式來計(jì)算，其中0和-型的未定式可通過代數(shù)恒等變形將它們轉(zhuǎn)化為或型的未定式，而1、0型的未定式可通過取對(duì)數(shù)化成0型的未定式。例6：求解：當(dāng)x0時(shí)，(e-1)sinxx，因此有=從例子中可看出先對(duì)極限進(jìn)行無窮小量的等價(jià)代換， 然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則，這種方法在應(yīng)用洛必達(dá)法則計(jì)算未定式過

4、程中往往能使計(jì)算簡單化。例7：求（-1）解：方法一：用洛必達(dá)法則。分析可用洛必達(dá)法則，必須改為求（-1），但對(duì)本題用洛必達(dá)計(jì)算較為繁瑣。方法二：原式=洛必達(dá)法則雖然是有效的求極限得方法，但它不是萬能的求極限的方法。應(yīng)用時(shí)要注意幾點(diǎn)：（1）lim必須是或型未定式。（2）如果lim不存在，不能判定lim不存在，只能用其他方法來判定這個(gè)極限是否存在。（3）在計(jì)算過程中要及時(shí)化簡極限后面的分式及檢查是否滿足所要求的未定式，若不是則不能對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則將導(dǎo)致結(jié)果。（4）lim存在時(shí)，式子是分別對(duì)分子分母求導(dǎo)數(shù)再求極限而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)數(shù)。總之，除了上面所列的求極限的常用方法外還有其他的方法。例

5、如利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，夾逼定理，拆項(xiàng)或添項(xiàng)，定積分的定義、 利用收斂級(jí)數(shù)求極限、 利用泰勒展式求極限、利用左右極限與極限關(guān)系來求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限等。函數(shù)極限涉及到很多方面的知識(shí)， 在求極限時(shí)應(yīng)該充分考慮， 首先應(yīng)該分析已知函數(shù)極限的類型， 再根據(jù)條件考慮求解方法。各種求極限方法應(yīng)靈活掌握，一種方法并不一定就可以解決極限的計(jì)算，有些時(shí)候要注意極限方法的綜合應(yīng)用，以求達(dá)到最終的目的。參考文獻(xiàn)：                                     &