第9章信道的糾錯編碼(ok)

1、9.1 概述概述9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理9.3 糾錯編碼的性能糾錯編碼的性能39.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼459.5 線性分組碼線性分組碼第第9 9章章 信道的糾錯編碼信道的糾錯編碼9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼9.1 9.1 概述概述1 1、概述、概述n 信道分類：從差錯控制角度看信道分類：從差錯控制角度看o 隨機信道：錯碼的出現(xiàn)是隨機的。隨機信道：錯碼的出現(xiàn)是隨機的。 o 突發(fā)信道：錯碼是成串集中出現(xiàn)的。突發(fā)信道：錯碼是成串集中出現(xiàn)的。o 混合信道：既存在隨機錯碼又存在突發(fā)錯碼。混合信道：既存在隨機錯碼又存在突發(fā)錯碼。n 差錯控制技術的種類差錯控制技術的種類o 檢錯重發(fā)檢

2、錯重發(fā)o 前向糾錯前向糾錯 o 混合糾錯混合糾錯 差錯控制編碼差錯控制編碼：常稱為糾錯編碼，不同的編碼方法，有：常稱為糾錯編碼，不同的編碼方法，有不同的檢錯或糾錯能力。不同的檢錯或糾錯能力。 9.1 9.1 概述概述o 監(jiān)督碼元監(jiān)督碼元：信息碼元序列中增加的一些差錯控制碼元，：信息碼元序列中增加的一些差錯控制碼元，它們稱為監(jiān)督碼元。它們稱為監(jiān)督碼元。 o 多余度多余度：就是指增加的監(jiān)督碼元多少。例如，若編碼序：就是指增加的監(jiān)督碼元多少。例如，若編碼序列中平均每兩個信息碼元就添加一個監(jiān)督碼元，則這種列中平均每兩個信息碼元就添加一個監(jiān)督碼元，則這種編碼的多余度為編碼的多余度為1/31/3。o 編碼

3、效率編碼效率( (簡稱碼率簡稱碼率) ) ：設編碼序列中信息碼元數量為：設編碼序列中信息碼元數量為k k，總碼元數量為總碼元數量為n n，則比值，則比值k/n k/n 就是碼率。就是碼率。o 冗余度冗余度：監(jiān)督碼元數：監(jiān)督碼元數( (n n- -k k) ) 和信息碼元數和信息碼元數 k k 之比。之比。o 理論上，差錯控制以降低信息傳輸速率為代價換取提高理論上，差錯控制以降低信息傳輸速率為代價換取提高傳輸可靠性。傳輸可靠性。9.1 9.1 概述概述2 2 差錯控制技術差錯控制技術圖圖 三種差錯控制方式示意圖三種差錯控制方式示意圖 發(fā)端糾錯碼收端前向糾錯FEC發(fā)端檢錯碼收端檢錯重發(fā)ARQ判決信

4、號發(fā)端檢錯和糾錯碼收端混合糾錯HEC判決信號 1. 1. 檢錯重發(fā)方式檢錯重發(fā)方式 檢 錯 重 發(fā) 又 稱 自 動 請 求 重 傳 方 式 ， 記 作檢 錯 重 發(fā) 又 稱 自 動 請 求 重 傳 方 式 ， 記 作ARQ(Automatic Repeat Request)ARQ(Automatic Repeat Request)。 由發(fā)端送出能夠發(fā)現(xiàn)錯由發(fā)端送出能夠發(fā)現(xiàn)錯誤的碼，由收端判決傳輸中無錯誤產生，如果發(fā)現(xiàn)錯誤，則誤的碼，由收端判決傳輸中無錯誤產生，如果發(fā)現(xiàn)錯誤，則通過反向信道把這一判決結果反饋給發(fā)端，然后，發(fā)端把收通過反向信道把這一判決結果反饋給發(fā)端，然后，發(fā)端把收端認為錯誤的信息

5、再次重發(fā)，從而達到正確傳輸的目的。其端認為錯誤的信息再次重發(fā)，從而達到正確傳輸的目的。其特點特點是需要反饋信道，譯碼設備簡單，對突發(fā)錯誤和信道干是需要反饋信道，譯碼設備簡單，對突發(fā)錯誤和信道干擾較嚴重時有效，擾較嚴重時有效， 但實時性差，主要在計算機數據通信中但實時性差，主要在計算機數據通信中得到應用。得到應用。 11.1 11.1 概述概述 2. 2. 前向糾錯方式前向糾錯方式 前向糾錯方式記作前向糾錯方式記作FEC(Forword ErrorFEC(Forword ErrorCorrection)Correction)。發(fā)端發(fā)送能夠糾正錯誤的碼，收端。發(fā)端發(fā)送能夠糾正錯誤的碼，收端收到信碼

6、后自動地糾正傳輸中的錯誤。收到信碼后自動地糾正傳輸中的錯誤。特點特點: :是單向傳輸，實時性好，但譯碼設備較復雜。是單向傳輸，實時性好，但譯碼設備較復雜。 11.1 11.1 概述概述 3. 3. 混合糾錯方式混合糾錯方式 混合糾錯方式記作混合糾錯方式記作HEC(Hybrid ErrorHEC(Hybrid ErrorCorrection)Correction)是是FECFEC和和ARQARQ方式的結合。發(fā)端發(fā)送具有自動糾錯同時又具有方式的結合。發(fā)端發(fā)送具有自動糾錯同時又具有檢錯能力的碼。收端收到碼后，檢查差錯情況，如果錯誤在檢錯能力的碼。收端收到碼后，檢查差錯情況，如果錯誤在碼的糾錯能力范圍

7、以內，則自動糾錯，如果超過了碼的糾錯碼的糾錯能力范圍以內，則自動糾錯，如果超過了碼的糾錯能力，能力， 但能檢測出來，則經過反饋信道請求發(fā)端重發(fā)。這種但能檢測出來，則經過反饋信道請求發(fā)端重發(fā)。這種方式具有自動糾錯和檢錯重發(fā)的優(yōu)點，可達到較低的誤碼率，方式具有自動糾錯和檢錯重發(fā)的優(yōu)點，可達到較低的誤碼率，因此，因此， 近年來得到廣泛應用。近年來得到廣泛應用。11.1 11.1 概述概述9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理1 1、分組碼基本原理：（舉例說明）、分組碼基本原理：（舉例說明）n 設有一種由設有一種由3 3位二進制數字構成的碼組，它共有位二進制數字構成的碼組，它共有8 8種

8、不種不同的可能組合。若將其全部用來表示天氣，則可以表同的可能組合。若將其全部用來表示天氣，則可以表示示8 8種不同天氣，種不同天氣，n 例如：例如：“000000”（晴），（晴），“001001”（云），（云）， “010010”（陰），（陰）， “011011”（雨），（雨）， “100100”（雪），（雪），“101101”（霜），（霜）， “110110”（霧），（霧），“111111”（雹）。（雹）。n 其中任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個或多個錯碼，則將其中任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個或多個錯碼，則將變成另一個信息碼組。這時，接收端將無法發(fā)現(xiàn)錯誤。變成另一個信息碼組。這時，接收端將無法發(fā)現(xiàn)錯

9、誤。9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理o 若在上述若在上述8 8種碼組中只準許使用種碼組中只準許使用4 4種來傳送天氣，例如：種來傳送天氣，例如： “000000”晴，晴， “011011”云云 ， “101101”陰陰 ， “110110”雨雨n 這時，雖然只能傳送這時，雖然只能傳送4 4種不同的天氣，但是接收端卻種不同的天氣，但是接收端卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個錯碼。有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個錯碼。n 例如，若例如，若“000000”（晴）中錯了一位，則接收碼組將（晴）中錯了一位，則接收碼組將變成變成“100100”或或“010010”或或“001001”。這。這3 3種碼組都

10、是不準種碼組都是不準使用的，稱為使用的，稱為禁用碼組禁用碼組。9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理 接收端在收到禁用碼組時，就認為發(fā)現(xiàn)了錯碼。當發(fā)生接收端在收到禁用碼組時，就認為發(fā)現(xiàn)了錯碼。當發(fā)生3 3個錯碼時，個錯碼時，“000000”變成了變成了“111111”，它也是禁用碼組，它也是禁用碼組，故這種編碼也能檢測故這種編碼也能檢測3 3個錯碼。個錯碼。n 但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)一個碼組中的兩個錯碼，因為但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)一個碼組中的兩個錯碼，因為發(fā)生兩個錯碼后產生的是發(fā)生兩個錯碼后產生的是許用碼組許用碼組。o 上面這種編碼只能檢測錯碼，不能糾正錯碼上面這種編碼只能檢測錯碼，不能

11、糾正錯碼。例如，當。例如，當接收碼組為禁用碼組接收碼組為禁用碼組“100100”時，接收端將無法判斷是哪時，接收端將無法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯誤，因為晴、陰、雨三者錯了一位都可一位碼發(fā)生了錯誤，因為晴、陰、雨三者錯了一位都可以變成以變成“100100”。9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理o 檢錯和糾錯檢錯和糾錯n 要能夠糾正錯誤，還要增加多余度要能夠糾正錯誤，還要增加多余度。例如，若規(guī)定許用。例如，若規(guī)定許用碼組只有兩個：碼組只有兩個：“000000”（晴），（晴），“111111”（雨），其他都（雨），其他都是禁用碼組，則能夠檢測兩個以下錯碼，或能夠糾正一是禁用碼組，則能夠

12、檢測兩個以下錯碼，或能夠糾正一個錯碼。個錯碼。n 例如，當收到禁用碼組例如，當收到禁用碼組“100100”時，若當作僅有一個錯碼，時，若當作僅有一個錯碼，則可以判斷此錯碼發(fā)生在則可以判斷此錯碼發(fā)生在“1 1”位，從而糾正為位，從而糾正為“000000”（晴）。因為（晴）。因為“111111”（雨）發(fā)生任何一位錯碼時都不會（雨）發(fā)生任何一位錯碼時都不會變成變成“100100”這種形式。這種形式。 n 但是，這時若假定錯碼數不超過兩個，則存在兩種可能但是，這時若假定錯碼數不超過兩個，則存在兩種可能性：性：“000000”錯一位和錯一位和“111111”錯兩位都可能變成錯兩位都可能變成“100100

13、”，因而只能檢測出存在錯碼而無法糾正錯碼。因而只能檢測出存在錯碼而無法糾正錯碼。9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理2 2、分組碼的結構、分組碼的結構n 將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼稱將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼稱為為分組碼分組碼 。n 在分組碼中，監(jiān)督碼元僅監(jiān)督本碼組中的信息碼元。信在分組碼中，監(jiān)督碼元僅監(jiān)督本碼組中的信息碼元。信息位和監(jiān)督位的關系：舉例如下（偶校驗）息位和監(jiān)督位的關系：舉例如下（偶校驗）信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位晴晴000云云011陰陰101雨雨1109.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理n 分組碼的一般結構分

14、組碼的一般結構o 分組碼的符號：分組碼的符號：( (n n, , k k) )nN N 碼組的總位數，又稱為碼組的長度（碼長），碼組的總位數，又稱為碼組的長度（碼長），nk k 碼組中信息碼元的數目，碼組中信息碼元的數目，nn n k k r r 碼組中的監(jiān)督碼元數目，或稱監(jiān)督位碼組中的監(jiān)督碼元數目，或稱監(jiān)督位數目。數目。 9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理3 3、分組碼的碼重和碼距、分組碼的碼重和碼距n 碼重：碼重：把碼組中把碼組中“1 1”的個數目稱為碼組的重量，簡稱碼的個數目稱為碼組的重量，簡稱碼重。重。n 碼距：碼距：把兩個碼組中對應位上數字不同的位數稱為碼組把兩個碼

15、組中對應位上數字不同的位數稱為碼組的距離，簡稱碼距。碼距又稱漢明距離。的距離，簡稱碼距。碼距又稱漢明距離。n 例如，例如，“000000”晴，晴，“011011”云，云，“101101”陰，陰，“110110”雨，雨，4 4個碼組之間，任意兩個的距離均為個碼組之間，任意兩個的距離均為2 2。n 最小碼距：最小碼距：把某種編碼中各個碼組之間距離的最小值稱把某種編碼中各個碼組之間距離的最小值稱為最小碼距為最小碼距( (d d0 0) )。例如，上面的編碼的最小碼距。例如，上面的編碼的最小碼距d d0 0 = 2 = 2。碼距和檢糾錯能力的關系碼距和檢糾錯能力的關系 (1)(1)在一個碼組內要想檢出

16、在一個碼組內要想檢出e e位誤碼，要求最小碼位誤碼，要求最小碼 距為距為 d dminmine e+1 +1 (2) (2)在一個碼組內要想糾正在一個碼組內要想糾正t t位誤碼，要求最小碼位誤碼，要求最小碼 距為距為 d dminmin22t t+1 +1 (3) (3)在一個碼組內要想糾正在一個碼組內要想糾正t t位誤碼，同時檢測出位誤碼，同時檢測出e e 位誤碼（位誤碼（e ett）, ,要求最小碼距為要求最小碼距為 d dminmint t+ +e e+1+1 9.2 9.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理9.3 9.3 糾錯編碼的性能糾錯編碼的性能o 系統(tǒng)帶寬和信噪比的矛盾：系統(tǒng)

17、帶寬和信噪比的矛盾：n 由上節(jié)所述的糾錯編碼原理可知，為了減少接收錯由上節(jié)所述的糾錯編碼原理可知，為了減少接收錯誤碼元數量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督誤碼元數量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元。這樣作的結果使發(fā)送序列增長，冗余度增大。碼元。這樣作的結果使發(fā)送序列增長，冗余度增大。若仍須保持發(fā)送信息碼元速率不變，則傳輸速率必若仍須保持發(fā)送信息碼元速率不變，則傳輸速率必須增大，因而須增大，因而增大了系統(tǒng)帶寬。系統(tǒng)帶寬的增大將增大了系統(tǒng)帶寬。系統(tǒng)帶寬的增大將引起系統(tǒng)中噪聲功率增大，使信噪比下降。引起系統(tǒng)中噪聲功率增大，使信噪比下降。信噪比信噪比的下降反而又使系統(tǒng)接收碼元序列中的錯碼增多。

18、的下降反而又使系統(tǒng)接收碼元序列中的錯碼增多。一般說來，采用糾錯編碼后，一般說來，采用糾錯編碼后，誤碼率總是能夠得到誤碼率總是能夠得到很大改善的。很大改善的。改善的程度和所用的編碼有關。改善的程度和所用的編碼有關。9.3 9.3 糾錯編碼的性能糾錯編碼的性能o 編碼性能舉例編碼性能舉例o 未采用糾錯編碼時，未采用糾錯編碼時，若接收信噪比等于若接收信噪比等于7dB7dB，編碼前誤碼率，編碼前誤碼率約為約為8 8 1010-4-4，圖中，圖中A A點，在采用糾錯編碼點，在采用糾錯編碼后，誤碼率降至約后，誤碼率降至約4 4 1010-5-5，圖中，圖中B B點。這樣，點。這樣，不增大發(fā)送功率就能不增大

19、發(fā)送功率就能降低誤碼率約一個半降低誤碼率約一個半數量級。數量級。10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEAB信噪比 (dB)9.3 9.3 糾錯編碼的性能糾錯編碼的性能n 由圖還可以看出，若保持由圖還可以看出，若保持n 誤碼率在誤碼率在1010-5-5，圖中，圖中C C點，點，n 未采用編碼時，約需要信噪未采用編碼時，約需要信噪n 比比E Eb b/n/n0 0 =10.5dB =10.5dB。在。在采用這種編碼時，約需要采用這種編碼時，約需要信噪比信噪比7.5 dB7.5 dB，圖中，圖中D D點。點?？梢怨?jié)省功率可以節(jié)省功率2 dB2 dB。通常。通常稱這稱這2dB

20、2dB為為編碼增益編碼增益。n 上面兩種情況付出的代上面兩種情況付出的代價是帶寬增大。價是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEAB信噪比 (dB)9.3 9.3 糾錯編碼的性能糾錯編碼的性能n 傳輸速率和傳輸速率和E Eb b/n/n0 0的關系的關系對于給定的傳輸系統(tǒng)對于給定的傳輸系統(tǒng) 式中，式中，R RB B為碼元速率。為碼元速率。若希望提高傳輸速率，若希望提高傳輸速率，由上式看出勢必使信由上式看出勢必使信噪比下降，誤碼率增噪比下降，誤碼率增大。假設系統(tǒng)原來工作大。假設系統(tǒng)原來工作在圖中在圖中C C點，提高速率后點，提高速率后由由C C點升到點升到E

21、E點。但加用點。但加用糾錯編碼后，仍可將誤碼糾錯編碼后，仍可將誤碼率降到率降到D D點。這時付出的點。這時付出的代價仍是帶寬增大。代價仍是帶寬增大。BsssbRnPTnPnTPnE0000)/ 1 (10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEAB信噪比 (dB)9.4 9.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼o 1 1、 奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼 奇偶監(jiān)督碼分為奇數監(jiān)督碼和偶數監(jiān)督碼兩種，兩者的奇偶監(jiān)督碼分為奇數監(jiān)督碼和偶數監(jiān)督碼兩種，兩者的原理相同。在偶數監(jiān)督碼中，無論信息位多少，監(jiān)督位原理相同。在偶數監(jiān)督碼中，無論信息位多少，監(jiān)督位只有只有1 1位，它使碼組中位，它使碼組中“

22、1 1”的數目為偶數，即滿足下式條的數目為偶數，即滿足下式條件：件：式中式中a a0 0為監(jiān)督位，其他位為信息位。為監(jiān)督位，其他位為信息位。這種編碼能夠檢測奇數個錯碼。在接收端，按照上式求這種編碼能夠檢測奇數個錯碼。在接收端，按照上式求“模模2 2和和”，若計算結果為，若計算結果為“1 1”就說明存在錯碼，結果為就說明存在錯碼，結果為“0 0”就認為無錯碼。就認為無錯碼。奇數監(jiān)督碼與偶數監(jiān)督碼相似，只不過其碼組中奇數監(jiān)督碼與偶數監(jiān)督碼相似，只不過其碼組中“1 1”的的數目為奇數：數目為奇數：0021aaann1021aaann9.4 9.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼o 2 2、二維奇偶監(jiān)督

23、碼（方陣碼）、二維奇偶監(jiān)督碼（方陣碼）n 二維奇偶監(jiān)督碼的構成二維奇偶監(jiān)督碼的構成它是先把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，它是先把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，每一碼組寫成一行，然后再按列的方向增加第二每一碼組寫成一行，然后再按列的方向增加第二維監(jiān)督位，如下圖所示維監(jiān)督位，如下圖所示012101212021222110111211ccccaaaaaaaaaaaannmmmnmnnnnn9.4 9.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼n 圖中圖中a a0 01 1 a a0 02 2 a a0 0m m為為m m行奇偶監(jiān)督碼中的行奇偶監(jiān)督碼中的m m個監(jiān)個監(jiān)督位。督位。c cn n-1-1 c

24、 cn n-2-2 c c1 1 c c0 0為按列進行第二次編碼所增加為按列進行第二次編碼所增加的監(jiān)督位，它們構成了一監(jiān)督位行。的監(jiān)督位，它們構成了一監(jiān)督位行。o 二維奇偶監(jiān)督碼的性能二維奇偶監(jiān)督碼的性能n 這種編碼有可能檢測偶數個錯碼。因為每行的這種編碼有可能檢測偶數個錯碼。因為每行的監(jiān)督位雖然不能用于檢測本行中的偶數個錯碼，監(jiān)督位雖然不能用于檢測本行中的偶數個錯碼，但按列的方向有可能由但按列的方向有可能由c cn n-1-1 c cn n-2-2 c c1 1 c c0 0等監(jiān)督等監(jiān)督位檢測出來。有一些偶數錯碼不可能檢測出來。位檢測出來。有一些偶數錯碼不可能檢測出來。9.4 9.4 簡單

25、的實用編碼簡單的實用編碼o 例如，構成矩形的例如，構成矩形的4 4個錯碼，如圖中個錯碼，如圖中錯了，就檢測不出。錯了，就檢測不出。n 這種二維奇偶監(jiān)督碼適于檢測突發(fā)錯碼。因為突發(fā)這種二維奇偶監(jiān)督碼適于檢測突發(fā)錯碼。因為突發(fā)錯碼常常成串出現(xiàn)，隨后有較長一段無錯區(qū)間。錯碼常常成串出現(xiàn)，隨后有較長一段無錯區(qū)間。n 由于方陣碼只對構成矩形四角的錯碼無法檢測，故由于方陣碼只對構成矩形四角的錯碼無法檢測，故其檢錯能力較強。其檢錯能力較強。 n 二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來檢錯，還可以用來糾正二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來檢錯，還可以用來糾正一些錯碼。一些錯碼。 例如，僅在一行中有奇數個錯碼時。例如，僅在一行中有奇數

26、個錯碼時。mmnnaaaa1221229.4 9.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼3、恒比碼恒比碼n 在恒比碼中，每個碼組均含有相同數目的在恒比碼中，每個碼組均含有相同數目的“1 1”（和（和“0 0”）。由于）。由于“1 1”的數目與的數目與“0 0”的數目之比的數目之比保持恒定，故得此名。保持恒定，故得此名。n 這種碼在檢測時，只要計算接收碼組中這種碼在檢測時，只要計算接收碼組中“1 1”的數的數目是否對，就知道有無錯碼。目是否對，就知道有無錯碼。n 恒比碼的主要優(yōu)點是簡單和適于用來傳輸電傳機恒比碼的主要優(yōu)點是簡單和適于用來傳輸電傳機或其他鍵盤設備產生的字母和符號。對于信源來或其他鍵盤設備

27、產生的字母和符號。對于信源來的二進制隨機數字序列，這種碼就不適合使用了。的二進制隨機數字序列，這種碼就不適合使用了。11.4 11.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼4 4、正反碼、正反碼o 正反碼的編碼：正反碼的編碼：n 它是一種簡單的能夠糾正錯碼的編碼。其中的監(jiān)督位數它是一種簡單的能夠糾正錯碼的編碼。其中的監(jiān)督位數目與信息位數目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相目與信息位數目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相反則由信息碼中反則由信息碼中“1 1”的個數而定。的個數而定。n 例如，若碼長例如，若碼長n n = 10 = 10，其中信息位，其中信息位 k k = 5 = 5，監(jiān)督位，監(jiān)督位 r

28、r = = 5 5。其編碼規(guī)則為：。其編碼規(guī)則為：o 當信息位中有奇數個當信息位中有奇數個“1 1”時，監(jiān)督位是信息位的簡單時，監(jiān)督位是信息位的簡單重復；重復；o 當信息位有偶數個當信息位有偶數個“1 1”時，監(jiān)督位是信息位的反碼。時，監(jiān)督位是信息位的反碼。9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼o 一、基本概念一、基本概念n 代數碼代數碼：建立在代數學基礎上的編碼。：建立在代數學基礎上的編碼。n 線性碼線性碼：按照一組線性方程構成的代數碼。在：按照一組線性方程構成的代數碼。在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數方線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數方程聯(lián)系著的。程聯(lián)系著的。n 線性分組碼線性

29、分組碼：按照一組線性方程構成的分組碼：按照一組線性方程構成的分組碼 。 本節(jié)將以漢明碼為例引入線性分組碼的一般原理。本節(jié)將以漢明碼為例引入線性分組碼的一般原理。9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼漢明碼漢明碼能夠糾正能夠糾正1 1位錯碼且編碼效率較高的一種線性分組碼位錯碼且編碼效率較高的一種線性分組碼1 1、漢明碼的構造原理、漢明碼的構造原理。o 在偶數監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位在偶數監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位a a0 0，它和信，它和信息位息位a an-1n-1 a a1 1一起構成一個代數式：一起構成一個代數式：在接收端解碼時，實際上就是在計算在接收端解碼時，實際上就是在計算若若S

30、 S = 0 = 0，就認為無錯碼；若，就認為無錯碼；若S S = 1 = 1，就認為有錯，就認為有錯0021aaann021aaaSnn9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼 碼?，F(xiàn)將上式稱為碼。現(xiàn)將上式稱為監(jiān)督關系式監(jiān)督關系式，S S稱為稱為校正子校正子。由于校正。由于校正子子S S只有兩種取值，故它只能代表有錯和無錯這兩種信息，只有兩種取值，故它只能代表有錯和無錯這兩種信息，而不能指出錯碼的位置。而不能指出錯碼的位置。 一般來說，若碼長為一般來說，若碼長為n n，信息位數為，信息位數為k k，則監(jiān)督位數，則監(jiān)督位數r rn nk k。如果希望用如果希望用r r個監(jiān)督位構造出個監(jiān)督位構造出r

31、 r個監(jiān)督關系式來指個監(jiān)督關系式來指示示1 1位錯碼的位錯碼的n n種可能位置，則要求種可能位置，則要求下面通過一個例子來說明如何具體構造這些監(jiān)督關系式。下面通過一個例子來說明如何具體構造這些監(jiān)督關系式。1212rknrr或9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼o 例：設分組碼例：設分組碼( (n n, , k k) )中中k k = 4 = 4，為了糾正，為了糾正1 1位錯碼，由上式位錯碼，由上式可知，要求監(jiān)督位數可知，要求監(jiān)督位數 r r 3 3。若取。若取 r r = 3 = 3，則，則n n = = k k + + r r = = 7 7。我們用。我們用a a6 6 a a5 5 a a

32、0 0表示這表示這7 7個碼元，用個碼元，用S S1 1、S S2 2和和S S3 3表示表示3 3個個監(jiān)督關系式中的校正子，則監(jiān)督關系式中的校正子，則S S1 1、S S2 2和和S S3 3的值與錯碼位置的對的值與錯碼位置的對應關系可以規(guī)定如下表所列（表應關系可以規(guī)定如下表所列（表1 1）S1 S2 S3錯碼位置錯碼位置S1 S2 S3錯碼位置錯碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯碼無錯碼9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼由表中規(guī)定可見，僅當一位錯碼的位置在由表中規(guī)定可見，僅當一位錯碼的位置在a a2 2 、a a4 4、a a5 5或或

33、a a6 6時，校正子時，校正子S S1 1為為1 1；否則；否則S S1 1為零。這就意味著為零。這就意味著a a2 2 、a a4 4、a a5 5和和a a6 6四個碼元構成偶數監(jiān)督關系：四個碼元構成偶數監(jiān)督關系：同理，同理， a a1 1、a a3 3、a a5 5和和a a6 6構成偶數監(jiān)督關系：構成偶數監(jiān)督關系：以及以及a a0 0、a a3 3、a a4 4 和和a a6 6構成偶數監(jiān)督關系構成偶數監(jiān)督關系24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼n 在發(fā)送端編碼時，信息位在發(fā)送端編碼時，信息位a a6 6、a a5 5、a

34、a4 4和和a a3 3的值決定的值決定于輸入信號，因此它們是隨機的。監(jiān)督位于輸入信號，因此它們是隨機的。監(jiān)督位a a2 2、a a1 1和和a a0 0應根據信息位的取值按監(jiān)督關系來確定，即監(jiān)督應根據信息位的取值按監(jiān)督關系來確定，即監(jiān)督位應使上位應使上3 3式中式中S S1 1、S S2 2和和S S3 3的值為的值為0 0（表示編成的碼（表示編成的碼組中應無錯碼）：組中應無錯碼）：上式經過移項運算，解出監(jiān)督位上式經過移項運算，解出監(jiān)督位000034613562456aaaaaaaaaaaa346035614562aaaaaaaaaaaa9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼信息位信息位a6

35、a5 a4 a3監(jiān)督位監(jiān)督位a2 a1 a0信息位信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位監(jiān)督位a2 a1 a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111給定信息位后，給定信息位后，可以直接按上可以直接按上式算出監(jiān)督位，式算出監(jiān)督位， 結果見表結果見表2 2：9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼n 接收端收到每個碼組后，先計算出接收端收到每個碼組后，先計算出S S1 1、S S2 2和和S S3 3，再查，再查表判斷錯碼

36、情況。例如，若接收碼組為表判斷錯碼情況。例如，若接收碼組為00000110000011，按上述公式計算可得：按上述公式計算可得：S S1 1 = 0 = 0，S S2 2 = 1 = 1，S S3 3 = 1 = 1。由于由于S S1 1 S S2 2 S S3 3 等于等于011011，故查表，故查表1 1可知在可知在a a3 3位有位有1 1錯碼。錯碼。 o 按照上述方法構造的碼稱為漢明碼按照上述方法構造的碼稱為漢明碼。表中所列的。表中所列的(7, 4)(7, 4)漢明碼的最小碼距漢明碼的最小碼距d d0 0 = 3 = 3。因此，這種碼能夠糾正。因此，這種碼能夠糾正1 1個個錯碼或檢測錯

37、碼或檢測2 2個錯碼。由于碼率個錯碼。由于碼率k k/ /n n = ( = (n n - - r r) /) /n n =1 =1 r r/ /n n，故當，故當n n很大和很大和r r很小時，碼率接近很小時，碼率接近1 1?？梢?，漢。可見，漢明碼是一種高效碼。明碼是一種高效碼。 9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼二、線性分組碼的一般原理二、線性分組碼的一般原理1 1、線性分組碼的構造、線性分組碼的構造nH H矩陣矩陣上面上面(7, 4)(7, 4)漢明碼的例子有漢明碼的例子有現(xiàn)在將上面它改寫為現(xiàn)在將上面它改寫為上式中已經將上式中已經將“ ”簡寫成簡寫成“+ +”。 00003461356

38、2456aaaaaaaaaaaa010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼上式可以表示成如下矩陣形式：上式可以表示成如下矩陣形式：010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa）（模20001011001110101011101000123456aaaaaaa該式可以簡記為該式可以簡記為H H A AT T = 0 = 0T T 或或 A A H HT T = 0 = 09.5 9.5

39、 線性分組碼線性分組碼 式中式中 A A = = a a6 6 a a5 5 a a4 4 a a3 3 a a2 2 a a1 1 a a0 0 ，0 = 0000 = 000將將H H 稱為稱為監(jiān)督矩陣監(jiān)督矩陣。 只要監(jiān)督矩陣只要監(jiān)督矩陣H H 給定，編碼時監(jiān)督位和信息位的關系給定，編碼時監(jiān)督位和信息位的關系就完全確定了。就完全確定了。 101100111010101110100H9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼oH H矩陣的性質：矩陣的性質： 1) 1) H H 的行數就是監(jiān)督關系式的數目，它等于監(jiān)督位的行數就是監(jiān)督關系式的數目，它等于監(jiān)督位的數目的數目r r。H H 的每行中的每行

40、中“1 1”的位置表示相應碼元之間存的位置表示相應碼元之間存在的監(jiān)督關系。例如，在的監(jiān)督關系。例如，H H的第一行的第一行11101001110100表示監(jiān)督位表示監(jiān)督位a a2 2是由是由a a6 6 a a5 5 a a4 4之和決定的。之和決定的。H H矩陣可以分成兩部分，矩陣可以分成兩部分，例如例如rPIH001101101011011001110式中，式中，P P為為r r k k 階矩陣，階矩陣，I Ir r為為r r r r階單位方陣。階單位方陣。我們將具有我們將具有 P IP Ir r 形式形式的的H H 矩陣稱為矩陣稱為典型陣典型陣。9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼2)

41、2) 由代數理論可知，由代數理論可知，H H矩陣的各行應該是線性無關矩陣的各行應該是線性無關的，否則將得不到的，否則將得不到 r r個線性無關的監(jiān)督關系式，從個線性無關的監(jiān)督關系式，從而也得不到而也得不到 r r個獨立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫成典個獨立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫成典型陣形式型陣形式 PIPIr r ，則其各行一定是線性無關的。因為，則其各行一定是線性無關的。因為容易驗證容易驗證 I Ir r 的各行是線性無關的，故的各行是線性無關的，故 PIPIr r 的各行的各行也是線性無關的。也是線性無關的。9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼G G矩陣：矩陣：上面漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為上面

42、漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為也可以改寫成矩陣形式：也可以改寫成矩陣形式： 或者寫成或者寫成346035614562aaaaaaaaaaaa3456012101111011110aaaaaaa Q34563456012011101110111aaaaaaaaaaa9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼式中，式中，Q Q 為一個為一個k k r r 階矩陣，它為階矩陣，它為P P 的轉置，即的轉置，即 Q Q = = P PT T 上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣乘矩陣Q Q 就產生出監(jiān)督位。就產生出監(jiān)督位。Q34563456012011101

43、110111aaaaaaaaaaa9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼我們將我們將Q Q的左邊加上的左邊加上1 1個個k k k k階單位方陣，就構成階單位方陣，就構成1 1個矩陣個矩陣G G G G稱為稱為生成矩陣生成矩陣，因為由它可以產生整個碼組，即有，因為由它可以產生整個碼組，即有或者或者因此，如果找到了碼的生成矩陣因此，如果找到了碼的生成矩陣G G，則編碼的方法就完全確定了。具，則編碼的方法就完全確定了。具有有 I Ik kQ Q 形式的生成矩陣稱為形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣典型生成矩陣。由典型生成矩陣得出的碼。由典型生成矩陣得出的碼組組A A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后

44、。這種形式的碼稱為中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼。 0110001101001011001001111000QGkI IG34560123456aaaaaaaaaaaGA3456aaaa9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼oG G矩陣的性質：矩陣的性質：1) 1) G G矩陣的各行是線性無關的。因為由上式可以看出，矩陣的各行是線性無關的。因為由上式可以看出，任一碼組任一碼組A A都是都是G G的各行的線性組合。的各行的線性組合。G G共有共有k k行，若它們行，若它們線性無關，則可以組合出線性無關，則可以組合出2 2k k種不同的碼組種不同的碼組A A，它

45、恰是有，它恰是有k k位信息位的全部碼組。若位信息位的全部碼組。若G G的各行有線性相關的，則不的各行有線性相關的，則不可能由可能由G G生成生成2 2k k種不同的碼組了。種不同的碼組了。2) 2) 實際上，實際上，G G的各行本身就是一個碼組的各行本身就是一個碼組。因此，。因此，如果已如果已有有k k個線性無關的碼組，則可以用其作為生成矩陣個線性無關的碼組，則可以用其作為生成矩陣G G，并，并由它生成其余碼組。由它生成其余碼組。9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼o 錯碼矩陣和錯誤圖樣錯碼矩陣和錯誤圖樣 n 一般說來，一般說來，A A為一個為一個n n列的行矩陣。此矩陣的列的行矩陣。此矩陣

46、的n n個元素個元素就是碼組中的就是碼組中的n n個碼元，所以發(fā)送的碼組就是個碼元，所以發(fā)送的碼組就是A A。此。此碼組在傳輸中可能由于干擾引入差錯，故接收碼組碼組在傳輸中可能由于干擾引入差錯，故接收碼組一般說來與一般說來與A A不一定相同。不一定相同。n 若設接收碼組為一若設接收碼組為一n n列的行矩陣列的行矩陣B B，即，即則發(fā)送碼組和接收碼組之差為則發(fā)送碼組和接收碼組之差為B B A A = = E E ( (模模2)2)0121bbbbnnB9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼o 錯碼矩陣和錯誤圖樣錯碼矩陣和錯誤圖樣 E E就是傳輸中產生的就是傳輸中產生的錯碼行矩陣錯碼行矩陣 式中式中

47、因此，若因此，若e ei i=0=0，表示該接收碼元無錯；若，表示該接收碼元無錯；若e ei i=1=1，則表示該，則表示該接收碼元有錯。接收碼元有錯。 B B A A = = E E 可以改寫成可以改寫成 B B = = A A + + E E例如，若發(fā)送碼組例如，若發(fā)送碼組A A = 1000111 = 1000111，錯碼矩陣，錯碼矩陣E E = = 00001000000100，則接收碼組，則接收碼組B B = 1000011 = 1000011。錯碼矩陣有時也稱為錯碼矩陣有時也稱為錯誤圖樣錯誤圖樣。0121eeeennEiiiiiababe當當, 1, 09.5 9.5 線性分組碼線

48、性分組碼o 校正子校正子S S當接收碼組有錯時，當接收碼組有錯時，E E 0 0，將，將B B當作當作A A代入公式代入公式( (A A H H T T = 0) = 0)后，該式不一定成立。在錯碼較多，已超過后，該式不一定成立。在錯碼較多，已超過這種編碼的檢錯能力時，這種編碼的檢錯能力時，B B變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該式仍能成立。這樣的錯碼是不可檢測的。在未超過檢式仍能成立。這樣的錯碼是不可檢測的。在未超過檢錯能力時，上式不成立，即其右端不等于錯能力時，上式不成立，即其右端不等于0 0。假設這。假設這時該式的右端為時該式的右端為S S，即，即B B H H T T = =

49、 S S將將B B = = A A + + E E代入上式，可得代入上式，可得S S = ( = (A A + + E E) ) H H T T = = A A H H T T + + E E H H T T9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼o校正子校正子S S由于由于A A H HT T = 0 = 0，所以，所以S S = = E E H H T T式中式中S S稱為校正子稱為校正子。它能用來指示錯碼的位置。它能用來指示錯碼的位置。S S和錯碼和錯碼E E之間有確定的線性變換關系。若之間有確定的線性變換關系。若S S和和E E之間一一對應，則之間一一對應，則S S將能代表錯碼的位置。將能

50、代表錯碼的位置。9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼二、線性分組碼的性質二、線性分組碼的性質n 封閉性封閉性：是指一種線性碼中的任意兩個碼組之和：是指一種線性碼中的任意兩個碼組之和仍為這種碼中的一個碼組。仍為這種碼中的一個碼組。由于線性碼具有封閉性，所以兩個碼組由于線性碼具有封閉性，所以兩個碼組( (A A1 1和和A A2 2) )之之間的距離（即對應位不同的數目）必定是另一個間的距離（即對應位不同的數目）必定是另一個碼組碼組( (A A1 1 + + A A2 2) )的重量（即的重量（即“1 1”的數目）。因此，的數目）。因此，碼的最小距離就是碼的最小重量（除全碼的最小距離就是碼的最小重

51、量（除全“0 0”碼組碼組外）。外）?！纠}例題1 1】 已知一線性已知一線性(6(6，3)3)碼的生成矩陣為碼的生成矩陣為, ,寫寫出該碼組的所有許用碼組出該碼組的所有許用碼組, ,并判斷該碼組的糾檢并判斷該碼組的糾檢錯能力，求監(jiān)督矩陣。錯能力，求監(jiān)督矩陣。100101010011001110G9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼【例題例題2 2】設一線性分組碼的一致監(jiān)督方程為下式關系設一線性分組碼的一致監(jiān)督方程為下式關系, ,其中，其中，C5C5、C4C4、C3C3為信息碼元為信息碼元（1 1）寫出監(jiān)督矩陣和生成矩陣。）寫出監(jiān)督矩陣和生成矩陣。（2 2）寫出所有的碼字。）寫出所有的碼字。（

52、3 3）判斷下列碼是否為碼字，）判斷下列碼是否為碼字，B1=B1=（011101011101），），B2=B2=（101011101011），），B3=B3=（110101110101）。若為非碼字，如何）。若為非碼字，如何糾錯或檢錯。糾錯或檢錯。00003501450234CCCCCCCCCCC9.5 9.5 線性分組碼線性分組碼9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼1 1、循環(huán)碼原理、循環(huán)碼原理循環(huán)性循環(huán)性：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一個碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個碼個碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個碼組。在下表中

53、給出一種組。在下表中給出一種(7, 3)(7, 3)循環(huán)碼的全部碼組。循環(huán)碼的全部碼組。碼組編碼組編號號信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位碼組碼組編號編號信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a010000000510010112001011161011100301011107110010140111001811100109.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼例如，表中的第例如，表中的第2 2碼組向右移一位即得到第碼組向右移一位即得到第5 5碼組；碼組；第第6 6碼組向右移一位即得到第碼組向右移一位即得到第7 7碼組。碼組。 一般說來，若一般說來，若( (a an n-1-1

54、 a an n-2-2 a a0 0) )是循環(huán)碼的一個碼組，則是循環(huán)碼的一個碼組，則循環(huán)移位后的碼組循環(huán)移位后的碼組( (a an n-2-2 a an n-3-3 a a0 0 a an n-1-1) )( (a an n-3-3 a an n-4-4 a an n-1-1 a an n-2-2) ) ( (a a0 0 a an n-1-1 a a2 2 a a1 1) )也是該編碼中的碼組。也是該編碼中的碼組。9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼o 碼多項式碼多項式n 碼組的多項式表示法碼組的多項式表示法把碼組中各碼元當作是一個多項式的系數，即把一把碼組中各碼元當作是一個多項式的系數，即把一個

55、長度為個長度為n n的碼組表示成的碼組表示成 這種多項式中，這種多項式中，x x 僅是碼元位置的標記，例如上式僅是碼元位置的標記，例如上式表示第表示第7 7碼組中碼組中a a6 6、a a5 5、a a2 2和和a a0 0為為“1 1”，其他均為，其他均為0 0。因。因此我們并不關心此我們并不關心x x的取值。的取值。 012211)(axaxaxaxTnnnn9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼o 碼多項式的按模運算碼多項式的按模運算n 在整數運算中，有模在整數運算中，有模n n運算。例如，在模運算。例如，在模2 2運算中，運算中，有有1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 0 ( 0 (模模2)

56、2)，1 + 2 = 3 1 + 2 = 3 1 ( 1 (模模2)2)， 2 2 3 = 6 3 = 6 0 ( 0 (模模2)2)等等。一般說來，若一個整數等等。一般說來，若一個整數m m可以表示為可以表示為 式中，式中，Q Q 整數，整數，則在模則在模 n n 運算下，有運算下，有m m p p ( (模模n n) ) 即，即，在模在模 n n 運算下，一個整數運算下，一個整數m m等于它被等于它被 n n 除得的余數除得的余數P P。 npnpQnm,9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼o 在碼多項式運算中也有類似的按模運算在碼多項式運算中也有類似的按模運算若一任意多項式若一任意多項式F F(

57、 (x x) )被一被一 n n 次多項式次多項式N N ( (x x) )除，得到商式除，得到商式Q Q( (x x) )和一個次數小于和一個次數小于n n的余式的余式R R( (x x) )，即，即則寫為則寫為這時，碼多項式系數仍按模這時，碼多項式系數仍按模2 2運算，即系數只取運算，即系數只取0 0和和1 1。例如，。例如，x x3 3被被( (x x3 3 + 1) + 1)除，得到余項除，得到余項1 1。所以有。所以有)()()()(xRxQxNxF）（模)()()(xNxRxF）（模)1(133xx）（模) 1(113224xxxxx9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼）（模) 1(113

58、224xxxxx x4 +x2 + 1xx3 + 1 x4+x x2 +x +1應當注意，由于在模應當注意，由于在模2運運算中，用加法代替了減法，算中，用加法代替了減法，故余項不是故余項不是x2 x + 1，而是而是x2 + x + 1。例：例：9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼o 循環(huán)碼的碼多項式循環(huán)碼的碼多項式n 在循環(huán)碼中，若在循環(huán)碼中，若T(T(x x) )是一個長為是一個長為n n的許用碼組，的許用碼組，則則x xi i T(T(x x) )在按模在按模x xn n + 1 + 1運算下，也是該編碼運算下，也是該編碼中的一個許用碼組，即若中的一個許用碼組，即若則則T T ( (x x) )

59、也是該編碼中的一個許用碼組。也是該編碼中的一個許用碼組。）（模) 1()()(nixxTxTx9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼例如，循環(huán)碼組例如，循環(huán)碼組其碼長其碼長n n = 7 = 7。現(xiàn)給定?，F(xiàn)給定i i = 3 = 3，則，則其對應的碼組為其對應的碼組為01011100101110，它正是表中第，它正是表中第3 3碼組。碼組。由上述分析可見，一個長為由上述分析可見，一個長為n n的循環(huán)碼必定為按模的循環(huán)碼必定為按模( (x xn n + 1) + 1)運算的一個余式。運算的一個余式。ininininninaxaxaxaxaxT1102211)(1)(256xxxxT）（模) 1() 1()

60、(7235358925633xxxxxxxxxxxxxxTx9.6 9.6 循環(huán)碼循環(huán)碼o 循環(huán)碼的生成矩陣循環(huán)碼的生成矩陣G Gn 由上節(jié)中公式由上節(jié)中公式n 可知，有了生成矩陣可知，有了生成矩陣G G，就可以由，就可以由k k個信息位得出整個信息位得出整個碼組，而且生成矩陣個碼組，而且生成矩陣G G的每一行都是一個碼組。例的每一行都是一個碼組。例如，在此式中，若如，在此式中，若a a6 6a a5 5a a4 4a a3 3 = 1000 = 1000，則碼組，則碼組A A就等于就等于G G的第一行；若的第一行；若a a6 6a a5 5a a4 4a a3 3 = 0100 = 0100