第6章彎曲內力(1,2)

1、第六章 彎曲內力6-16-1對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖6-26-2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖6-3 6-3 平面剛架和曲桿的內力圖平面剛架和曲桿的內力圖比較比較分類法分類法第第6章知識點章知識點彎曲的概念與彎曲的概念與內力（平面彎曲內力（平面彎曲、梁、簡圖、內力、梁、簡圖、內力符號規(guī)定、外力符號規(guī)定、外力與內力規(guī)律與內力規(guī)律42字）字）梁的內力圖的梁的內力圖的畫法畫法平面剛架和平面平面剛架和平面曲桿的內力圖曲桿的內力圖截面法求內力和截面法求內力和簡便法求內力簡便法求內力（步驟）（步驟）內力方程畫內力內力方程畫內力圖、內力圖特征圖、內

2、力圖特征畫內力圖畫內力圖平面剛架內力圖平面剛架內力圖的畫法的畫法彎矩、剪力、荷彎矩、剪力、荷載三者微分關系載三者微分關系畫內力圖、疊加畫內力圖、疊加法畫彎矩圖法畫彎矩圖平面曲桿內力圖平面曲桿內力圖的畫法的畫法6-1 6-1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖一一. . 彎曲的概念彎曲的概念1.彎曲的一些概念彎曲的一些概念橋梁，屋梁，車軸都是橋梁，屋梁，車軸都是最常見梁的例子。最常見梁的例子。梁：梁：工程中以彎曲變形為主的桿件稱為工程中以彎曲變形為主的桿件稱為 彎曲：彎曲： 受力特點：受力特點： 桿件在包含其軸線的縱向平面內，承受垂直于軸線的桿件在包含其軸線的縱向平面內，承

3、受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。橫向外力或外力偶作用。 變形特點：變形特點： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€?？v向對稱面：縱向對稱面：梁的軸線與橫截面對稱軸所構梁的軸線與橫截面對稱軸所構成的平面。成的平面。 平面彎曲（對稱彎曲）：平面彎曲（對稱彎曲）：當作用在梁上的橫向當作用在梁上的橫向載荷和力偶均位于縱向對稱面內時，梁的軸線載荷和力偶均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線。由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線?？v向對稱面F軸線F F F 非對稱彎曲：非對稱彎曲：若梁不具有縱向對稱平面，或者，梁雖具若梁不具有縱向對稱平面，或者，梁雖具有縱

4、向對稱平面，但橫向力或力偶不作用在縱向對稱平有縱向對稱平面，但橫向力或力偶不作用在縱向對稱平面內，這種彎曲則統(tǒng)稱為面內，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲非對稱彎曲。本章和第七、八。本章和第七、八章研究的都是平面彎曲，至于非對稱彎曲在章研究的都是平面彎曲，至于非對稱彎曲在材料力學材料力學（）的第一章介紹。）的第一章介紹。二二. .梁的計算簡圖梁的計算簡圖1.1.桿件的簡化桿件的簡化用梁的軸線來代替實際的梁。用梁的軸線來代替實際的梁。Pq(x)2.2.載荷的簡化載荷的簡化荷載簡化為集中荷載、分布荷載和力偶。荷載簡化為集中荷載、分布荷載和力偶。3.3.支座的簡化支座的簡化根據支座對梁在載荷面內的約束情況，

5、一般可簡化為三種基本形根據支座對梁在載荷面內的約束情況，一般可簡化為三種基本形式：式：固定端支座固定端支座可動鉸支座可動鉸支座固定鉸支座固定鉸支座三、梁的分類三、梁的分類1. .按按支座情況支座情況分為（分為（三種簡單靜定梁三種簡單靜定梁）( (記住）記?。?. .按按支座數(shù)目支座數(shù)目分為：分為：簡支梁簡支梁靜定梁靜定梁外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁超靜定梁超靜定梁跨跨 梁在兩支座間的部分梁在兩支座間的部分跨長跨長梁在兩支座間的長度梁在兩支座間的長度 3. .按按跨數(shù)跨數(shù)分為：分為：單跨梁單跨梁多跨梁多跨梁工程中梁的實例工程中梁的實例火車車輪軸火車車輪軸簡圖簡圖廠房的吊車梁廠房的吊車梁簡圖簡圖MA

6、 FAABq0陽臺挑梁及其計算簡圖陽臺挑梁及其計算簡圖水壩及其計算簡圖水壩及其計算簡圖跳臺跳板 試求圖試求圖a所示有中間鉸所示有中間鉸C的梁在的梁在A、B處的約處的約束力。束力。例例 6-1請同學們先寫出解題思路，再列方程求出結果（時請同學們先寫出解題思路，再列方程求出結果（時間間3分鐘）分鐘）6-26-2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖一、梁的剪力一、梁的剪力Fs(FQ)和彎矩和彎矩M 圖圖a所示跨度為所示跨度為l 的簡支梁其支的簡支梁其支座反力為座反力為 lFaFlalFFBA , 梁的左段內任一橫截面梁的左段內任一橫截面m-m上的內力，由上的內力，由m-m左邊分

7、離體左邊分離體(圖圖b)的平衡條件可知：的平衡條件可知： xlalFxFMlalFFFAA ,S 它們的指向和轉向如圖它們的指向和轉向如圖b中所示。顯然這些內力是中所示。顯然這些內力是 m-m右邊的梁段對于左邊梁段的作右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。用力和作用力矩。 故根據作用與反作用原理，故根據作用與反作用原理，m-m左邊的梁段對于右邊梁左邊的梁段對于右邊梁段段(圖圖c)的作用力和作用力矩數(shù)值應與上式所示相同，但指向的作用力和作用力矩數(shù)值應與上式所示相同，但指向和轉向相反。和轉向相反。 梁的橫截面上位于橫截面梁的橫截面上位于橫截面內的內力內的內力FS或或FQ與橫截面左與橫截面左右兩

8、側的兩段梁在與梁軸相垂右兩側的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動直方向的錯動(剪切剪切)相對應，相對應，故稱為故稱為剪力剪力；梁的橫截面上作；梁的橫截面上作用在縱向平面內的內力偶矩是用在縱向平面內的內力偶矩是與梁的彎曲相對應，故稱為與梁的彎曲相對應，故稱為彎彎矩矩?？傊?，梁在橫向荷載作用下橫截面的內力為：總之，梁在橫向荷載作用下橫截面的內力為：(a)剪力剪力Fs：與橫截面相切的內力，單位：與橫截面相切的內力，單位：N或或kN(b)彎矩彎矩M：作用在縱向平面的內力偶矩，單位：作用在縱向平面的內力偶矩，單位：Nm或或 kNm剪力剪力FS S的符號規(guī)定的符號規(guī)定彎矩彎矩M的符號規(guī)定的符號規(guī)定使物體順時針

9、使物體順時針轉動為正，反轉動為正，反之為負。之為負。下凸下凸上凹為正，反之為負。上凹為正，反之為負。FSFSFSFS結論：剪力順時針為正，逆時針為負；結論：剪力順時針為正，逆時針為負； 彎矩下凸彎為正，上凸彎為負。彎矩下凸彎為正，上凸彎為負。二、梁的內力符號規(guī)定二、梁的內力符號規(guī)定三、求梁內力的方法三、求梁內力的方法（一）截面法求內力（一）截面法求內力步驟：步驟：1、顯示內力：假想用截面把梁截開，取其中一、顯示內力：假想用截面把梁截開，取其中一 部分為對象，用內力來代替兩部分的相互作用；部分為對象，用內力來代替兩部分的相互作用； 2、確定內力：列平衡方程求內力。、確定內力：列平衡方程求內力。注

10、意：在用截面法算梁內力時，假設所求橫截面上的注意：在用截面法算梁內力時，假設所求橫截面上的內力為正，即假定所求截面上的剪力順時針，彎矩使內力為正，即假定所求截面上的剪力順時針，彎矩使梁下凸上凹，其目的是便于畫出梁正確的內力圖。求梁下凸上凹，其目的是便于畫出梁正確的內力圖。求梁內力的方程是：梁內力的方程是：剪力：向上取剪力：向上取y軸，由軸，由syFF0彎矩：對橫截面形心彎矩：對橫截面形心O取矩，由取矩，由MM0O(剪力）剪力）(彎矩）彎矩）0AMFRBBdEDAabclCFF1F2FRA021R bFaFlFB0BM0)()(21R blFalFlFAlblFalFFA)()(21R lbFa

11、FFB21R BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRA00SR EAyFF,F0, 0R cFMMAEEAEFFRS cFMAE R BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB,SRR0000yFBFFBFFFMMFd-+BFFFRS dFMBFR 任一橫截面上的剪力等于該橫截面任一側所有外力的任一橫截面上的剪力等于該橫截面任一側所有外力的代數(shù)和。代數(shù)和。aF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2bFQFQmm:0 yF0Q1 FFFAy 1QFFFAy （二）簡便法求內力（二）簡便法求內力1、外力與內力大小規(guī)律、外力與內力大小規(guī)律任一橫截面上的彎矩

12、等于該橫截面任一側所有外力對橫截面形任一橫截面上的彎矩等于該橫截面任一側所有外力對橫截面形心力矩的代數(shù)和。心力矩的代數(shù)和。:0 CM 01 MaxFxFAy 1axFxFMAy MMaF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2bFQFQmmFFFFFSFSFSFS左側梁左側梁右側梁右側梁（+）（-）FS=FFS=-F外力與剪力方向規(guī)律：外力與剪力方向規(guī)律：截面左截面左側梁段側梁段向上向上外力或截面右側外力或截面右側梁梁向下向下外力，該截面引起正剪力；反之該截面引起負剪力。外力，該截面引起正剪力；反之該截面引起負剪力。見上圖表示。見上圖表示。2、外力與內力方向規(guī)律（三個）、外力與內力

13、方向規(guī)律（三個）FFFMFM左側梁左側梁右側梁右側梁（+）（-）M=FxM=-FxMMxxxx（1）截面任一側梁，凡是）截面任一側梁，凡是向上向上外力，該截面引起正彎矩；反之，外力，該截面引起正彎矩；反之，該截面引起負彎矩。見上圖表示。該截面引起負彎矩。見上圖表示。外力與彎矩方向規(guī)律（兩個）外力與彎矩方向規(guī)律（兩個）MM左側梁左側梁右側梁右側梁（+）（-）M=mM=-mMMmmmm（2）截面左側梁）截面左側梁順時針轉向順時針轉向的外力偶或截面右側梁的外力偶或截面右側梁逆時針轉向逆時針轉向的外力偶，該截面引起正彎矩；反之，該截面引起負彎矩。見上的外力偶，該截面引起正彎矩；反之，該截面引起負彎矩。

14、見上圖表示。圖表示。剪力等于外力和剪力等于外力和;彎矩等于力矩和彎矩等于力矩和;左上右下剪為正左上右下剪為正;左上右上彎為正左上右上彎為正;左順右逆彎為正左順右逆彎為正;與上不符皆為負。與上不符皆為負。背口訣，快速記（背口訣，快速記（42字）字）3、簡便法求梁內力的步驟、簡便法求梁內力的步驟步驟：步驟： （1）先分別判斷梁上各外力在截面上）先分別判斷梁上各外力在截面上引起的內力符號，并求出相應的內力數(shù)引起的內力符號，并求出相應的內力數(shù)值。值。 （2）由外力與內力大小規(guī)律，將截面）由外力與內力大小規(guī)律，將截面上的各內力代數(shù)和，即為所有外力作用上的各內力代數(shù)和，即為所有外力作用下梁截面的內力。下梁

15、截面的內力?？谠E（口訣（9個字）：先判斷個字）：先判斷分別求分別求后疊加后疊加例例6-3 6-3 求梁求梁1-11-1、2-22-2、3-33-3和和4-44-4截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和彎矩。得由0BMqaRA45由得MA0qaRB474/51qaRFAS5/5212qaaRMMA4/23qaqaRFFASS2/3223qaaqaaRMA解：解：（1）求支座反力）求支座反力（2 2）求剪力與彎矩）求剪力與彎矩434qaRqaFBS4522B4qaaaqaRM解：解：D左鄰截面：左鄰截面：qaqaqaFD4341Q 左左245qa aqaaaqaMD 41)2(左左例例6-4 試求圖示

16、外伸梁試求圖示外伸梁D左與右鄰截面上的左與右鄰截面上的FQ和和M。aaaaqqa2qaABCDEFAyFByqa41 qa47 D右鄰截面：右鄰截面：qaqaqaFD4341Q 右右241)2(qaaqaaaqaMD 右右241qa 四四. 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，或稱為隨截面位置的變化規(guī)律，或稱為內力方程內力方程。顯示這種變化規(guī)。顯

17、示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為律的圖形則分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖，它們是梁配鋼筋和承彎矩圖，它們是梁配鋼筋和承載能力計算的依據。載能力計算的依據。梁剪力圖的畫法：梁剪力圖的畫法：取縱橫坐標軸，橫坐標軸與梁軸線平行，表取縱橫坐標軸，橫坐標軸與梁軸線平行，表示梁的截面位置，縱坐標軸表示梁截面對應的剪力的大小，規(guī)示梁的截面位置，縱坐標軸表示梁截面對應的剪力的大小，規(guī)定正剪力畫在橫坐標軸的上方，負剪力畫在橫坐標軸的下方，定正剪力畫在橫坐標軸的上方，負剪力畫在橫坐標軸的下方，畫出的圖形即為梁的剪力圖。畫出的圖形即為梁的剪力圖。梁彎矩圖的畫法：梁彎矩圖的畫法：取縱橫坐標軸，橫坐標軸與梁軸線平行，表取

18、縱橫坐標軸，橫坐標軸與梁軸線平行，表示梁的截面位置，縱坐標軸表示梁截面對應的彎矩的大小，示梁的截面位置，縱坐標軸表示梁截面對應的彎矩的大小，規(guī)規(guī)定梁的彎矩圖畫在梁的受拉側，定梁的彎矩圖畫在梁的受拉側，因為正彎矩使梁下側受拉，所因為正彎矩使梁下側受拉，所以正彎矩畫在橫坐標軸的下方；負彎矩使梁的上側受拉，所以以正彎矩畫在橫坐標軸的下方；負彎矩使梁的上側受拉，所以負彎矩畫在橫坐標軸的上方，畫出的圖形即為梁的彎矩圖。負彎矩畫在橫坐標軸的上方，畫出的圖形即為梁的彎矩圖。作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖的方法：的方法： 1. .列內力方程畫內力圖列內力方程畫內力圖 4. .疊加法畫內力圖疊加法畫內力圖(

19、(主要畫彎矩圖主要畫彎矩圖) ) 3 3. .控制點法控制點法( (或稱由或稱由、s s、q q三者微分關系畫三者微分關系畫內力圖）內力圖）2.2.由內力圖特征畫內力圖由內力圖特征畫內力圖注意：畫梁的內力圖一定要標圖名、控制點數(shù)值、注意：畫梁的內力圖一定要標圖名、控制點數(shù)值、單位、正負號。單位、正負號。1、由內力方程畫內力圖、由內力方程畫內力圖步驟：步驟： 1. 求梁的支座反力求梁的支座反力;2、列出梁的剪力方程和彎矩方程、列出梁的剪力方程和彎矩方程 M=M(x),Fs=Fs(x); 3、由梁的內力方程求出梁控制點的剪力、由梁的內力方程求出梁控制點的剪力 和彎矩，從而畫出梁的剪力圖和彎矩圖。和

20、彎矩，從而畫出梁的剪力圖和彎矩圖。注意：列剪力方程時，集中力作用的點除外，因為集中力注意：列剪力方程時，集中力作用的點除外，因為集中力作用點處剪力是不確定值；列彎矩方程時，集中力偶作用作用點處剪力是不確定值；列彎矩方程時，集中力偶作用的點除外，因為集中力偶作用點處彎矩是不確定值。的點除外，因為集中力偶作用點處彎矩是不確定值。例例6-5 圖示簡支梁受集度為圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlx

21、xqxxFxMAxFBFABlAq)0(lx )0(lxql 2FS ql28l/2M BlAq3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2S結論結論：（：（1）梁上有均布荷載，剪力圖是斜直線，彎矩圖是二次曲）梁上有均布荷載，剪力圖是斜直線，彎矩圖是二次曲線，彎矩圖的凸向與均布荷載指向一致；剪力等于零處，彎矩有極線，彎矩圖的凸向與均布荷載指向一致；剪力等于零處，彎矩有極值。值。 （2）固定鉸支座、可動鉸支座和圓柱鉸鏈，上面沒有力偶）固定鉸支座、可動鉸支座和圓柱鉸鏈，上面沒有力偶矩，則這些支座的彎矩等于零。矩，則這些支座的彎矩

22、等于零。例例6-6 圖示簡支梁受集中荷載圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。力圖和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0 xBlAF abCFBFA3、作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblFaMxFablF BlAabClxlFbFmax,SlFabM

23、max發(fā)生在集中荷發(fā)生在集中荷載作用處載作用處發(fā)生在發(fā)生在AC段段ba時時為為極極大大值值。時時，42/maxFlMlba結論：結論：（1）梁上某段沒有均布荷載，剪力圖為水）梁上某段沒有均布荷載，剪力圖為水平線，彎矩圖為直線；平線，彎矩圖為直線； （2）在集中力）在集中力F作用處，剪力圖有突變，突作用處，剪力圖有突變，突變方向：從左向右看，與集中力指向一致，突變值變方向：從左向右看，與集中力指向一致，突變值為集中力的大??；對應該處彎矩圖有尖角。為集中力的大??；對應該處彎矩圖有尖角。 在集中力在集中力F作用（作用（C截面）處，其左、右兩側截面）處，其左、右兩側的剪力發(fā)生突變，且二者的差值等于的剪

24、力發(fā)生突變，且二者的差值等于F，即，即FlFalFbFFlFaFlFbFCCCC)(,S,S,S,S，右左右左 其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力所造成的。若集中力為集中力所造成的。若集中力F視為作用在視為作用在D Dx段段上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖d）。）。例例6-7 圖示簡支梁在圖示簡支梁在C點受矩為點受矩為Me 的集中力偶作用。的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、

25、 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：剪力方程無需分段： lxlMFxFA0eS彎矩方程彎矩方程兩段：兩段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBBlACabx3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖ba時時lbMMemax lMxFeS發(fā)生在發(fā)生在C截面右側截面右側BlACabFslxMe lMxMealMeb結論：梁上有集中力偶矩時，該處剪力圖無結論：梁上有集中力偶矩時，該處剪力圖無變化，但該處彎矩圖有突變，突變值等于集變化，但該處彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶矩，突變方向：中力偶矩，突變方向：（1）從左向右看，

26、若集中力偶矩是順時針，）從左向右看，若集中力偶矩是順時針，則彎矩圖從上向下突變；則彎矩圖從上向下突變；（2）從左向右看，若集中力偶矩時逆時針，）從左向右看，若集中力偶矩時逆時針，則彎矩圖從下向上突變。則彎矩圖從下向上突變。內力圖特征（口訣）內力圖特征（口訣）無均載無均載,Fs圖平圖平M圖直圖直;有均載有均載,Fs圖斜圖斜M圖曲圖曲;彎凸向彎凸向,與均載指向相一致與均載指向相一致;剪力零剪力零,該處彎矩有極值該處彎矩有極值;無力偶無力偶:固定鉸、可動鉸、圓鉸鏈該處彎矩等于零；固定鉸、可動鉸、圓鉸鏈該處彎矩等于零；集中力，該處集中力，該處Fs圖有突變，對應圖有突變，對應M圖有尖角；圖有尖角；突變向

27、（從左向右看），與集中力指向相一致；突變向（從左向右看），與集中力指向相一致；突變值，等于集中力大小值；突變值，等于集中力大小值；有力偶，該處有力偶，該處M圖有突變，對應圖有突變，對應Fs圖無變化；圖無變化；力偶順（從左向右看），該處突變由上向下跑；力偶順（從左向右看），該處突變由上向下跑；力偶逆（從左向右看），該處突變由下向上跑；力偶逆（從左向右看），該處突變由下向上跑；突變值，等于集中力大小值。突變值，等于集中力大小值。思考：荷載是對稱性與反對稱性，內力圖有何規(guī)律？思考：荷載是對稱性與反對稱性，內力圖有何規(guī)律？ （請同學們自己總結內力圖規(guī)律）（請同學們自己總結內力圖規(guī)律）Bl/2FA AFBCl/2F xMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA AFBCMe l/2FslxMe MxMe/2Me/22.2.由內力圖特征畫內力圖由內力圖特征畫內力圖步驟：步驟：（1）求梁的支座反力；）求梁的支座反力；（2）根據梁上的荷載，將梁分成若干段，由簡便法求）根據梁上的荷載，將梁分成若干段，由簡便法求出各段控制點的內力數(shù)值，并標在所要畫的出各段控制點的內力數(shù)值，并標在所要畫的Fs圖、圖、M圖上；圖上；（3）由內力圖的特征將各控制點的內力數(shù)值連成直線）由內力圖的特征將各控制點的內力數(shù)值連成直線或曲線，便可得到整個梁