大一上數(shù)學(xué)分析sxfx

1、西南財經(jīng)大學(xué)西南財經(jīng)大學(xué)省級精品課程省級精品課程經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析課題組版權(quán)所有課題組版權(quán)所有 請勿外傳請勿外傳 1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性2 正項級數(shù)正項級數(shù)3 一般項級數(shù)一般項級數(shù)第十二章第十二章 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析 級數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，是產(chǎn)生新函數(shù)的重要方法，級數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，是產(chǎn)生新函數(shù)的重要方法，同時又是表示和逼近已知函數(shù)的有效手段同時又是表示和逼近已知函數(shù)的有效手段. . 級數(shù)在近似計算中級數(shù)在近似計算中發(fā)揮著舉足輕重的作用發(fā)揮著舉足輕重的作用. . 經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù)1 級

2、數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù)1.截棰問題截棰問題(P1)“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭” -莊周莊周莊子莊子 天下篇天下篇122111,.222nnaaa每天截下的棰長依次為：每天截下的棰長依次為：把把每每天天截截下下那那部部分分的的長長度度“加加”起起來來：一一 問題的提出問題的提出2111222n 2.數(shù)數(shù)的的表表示示問問題題第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性13333.310100100010n1. 給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列un : u1, u2, , un , , 對它的各

3、對它的各項依次用項依次用“+”號連接起來的號連接起來的表達(dá)表達(dá)式式12nuuu稱為稱為數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)或或無窮級數(shù)無窮級數(shù)，簡稱為，簡稱為級數(shù)級數(shù)， 其中，其中， un稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的通項通項或或一般項一般項.1 nnu 常常記記作作：，即即1nnu 12 .nuuu例如，例如，均為數(shù)項級數(shù)均為數(shù)項級數(shù). .11111 ;2242nnn 112 ;nnn 1coscos1cos2cos,nnn 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)1nnu 的前的前n項之和項之和，即，即12nuuu稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的第第n個部分和個部分和或為或為n次部分和次部分和，

4、簡稱，簡稱部分和部分和，記為，記為 即即1nkku .nS定義定義(P1) 注注1S 1;u2S 12;uu 3S 123;uuunS 12;nuuu說明說明 是一個數(shù)列，稱為是一個數(shù)列，稱為部分和數(shù)列部分和數(shù)列. . nSnS 12.nuuu第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定義定義2(P1)limnnSS 存在，則稱數(shù)項級數(shù)存在，則稱數(shù)項級數(shù)1nnu 收斂收斂，稱稱S為為其其和和，記作，記作1.nnSu 若若 是發(fā)散數(shù)列，是發(fā)散數(shù)列， 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1nnu 發(fā)散發(fā)散. .若數(shù)項級數(shù)若數(shù)項級數(shù)1nnu 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 收斂于收斂于S，即，即 nS n

5、S例例1(P2) 討論討論等比級數(shù)等比級數(shù)(也稱為也稱為幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂性的收斂性(a0). .11nnaq 21naaqaqaq 解解nS 等比級數(shù)的部分和為：等比級數(shù)的部分和為：1,q 時時(1).1naqq 21naaqaqaq 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性(i)當(dāng)當(dāng) | q |1時，時，(1)limlim1nnnnaqSq (iii)當(dāng)當(dāng) q =1時，時，limnnS當(dāng)當(dāng) q = 1時，時，Sn=n為奇數(shù)為奇數(shù),n為偶數(shù)為偶數(shù), 故故不存在不存在,limnnS 重要結(jié)論重要結(jié)論：當(dāng)：當(dāng)| q | N 以及對任以及對任意的正整數(shù)意的正整數(shù) p ，都

6、有：，都有：12|.mmmpuuu 三三 無窮級數(shù)的基本性質(zhì)無窮級數(shù)的基本性質(zhì)例例5(P4) 應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級數(shù)應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級數(shù)21n 收斂收斂. .證證 要使得要使得12|mmmpuuu 1(1)m m 21(1)m 21(2)m 21()mp 1(1)(2)mm 1(1)()mpmp 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性10N ，使得當(dāng)使得當(dāng)m N及對任意正整數(shù)及對任意正整數(shù)p，有：，有：11mmp 1m , 1.m 只要即可只要即可12|mmmpuuu 1m . 依定理依定理12.1推得級數(shù)推得級數(shù) 是收斂的是收斂的.21n 例例5(P4

7、) 應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級數(shù)應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級數(shù)21n 收斂收斂. .證證 要使得要使得12|mmmpuuu 1(1)m m 21(1)m 21(2)m 21()mp 1(1)(2)mm 1(1)()mpmp 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例例3(P3) 討論討論調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)111123n 的收斂性的收斂性. .解法解法1(P3) 令令 p = m 時，有時，有122mmmuuu 12m 因此，取因此，取012 ，即得調(diào)和級數(shù)發(fā)散，即得調(diào)和級數(shù)發(fā)散. .11m 1.2 級數(shù)級數(shù) nu 發(fā)散的充要條件發(fā)散的充要條件(P3)是：是：存在正數(shù)存在正數(shù)

8、 0，對任意存對任意存在正整數(shù)在正整數(shù)N ，總存在正整數(shù)，總存在正整數(shù)m0( N)和和 p0，有，有0000120|.mmmpuuu 12m 12m 12m 12m 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性* *解法解法2(補(bǔ)充補(bǔ)充)調(diào)和級數(shù)的部分和有：調(diào)和級數(shù)的部分和有：11 ,S 12211,2SS242SS 382SS 31,2111111112345678由數(shù)學(xué)歸納法，得由數(shù)學(xué)歸納法，得212kkS， k = 0, 1, 2, ,而而2limkkS 則則故故 limnnS不存在，即調(diào)和級數(shù)發(fā)散不存在，即調(diào)和級數(shù)發(fā)散. 11112341112221,21111222l

9、im 12kk 因為因為 ，第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性 ，第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性若級數(shù)若級數(shù)1nnu 收斂，則必有收斂，則必有l(wèi)im0.nnu 設(shè)設(shè)1,nnuS limnnu 1limlimnnnnSS 0.SS p = 1例例如，如，是發(fā)散的是發(fā)散的. .11nnn 因為因為limlim1,1nnnnun 故故該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散. .lim0,nnu 注注(2)如果級數(shù)的通項不趨于零，則級數(shù)發(fā)散如果級數(shù)的通項不趨于零，則級數(shù)發(fā)散; ;(1)必要條件不充分必要條件不充分. .lim0nnu 雖雖然然有有，111 123n

10、例例調(diào)級調(diào)級如如和數(shù)和數(shù)，lim,nnSS 則則1lim()nnnSS 但但該該級級數(shù)數(shù)卻卻是是發(fā)發(fā)散散的的. .第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例例4(P4)若若 c 0 為常數(shù)，則為常數(shù)，則有相同的斂有相同的斂散性，且收斂時散性，且收斂時11.nnnncucu 11nnnnucu與與證證(補(bǔ)充補(bǔ)充)1nnu 的部分和為的部分和為nS1nncu 的部分和為的部分和為nV故故limnnV 從而收斂時從而收斂時同時收斂或同同時收斂或同11.nnnncucu 11nnnnucu故與故與,ncS limnncS lim,nncS 12,nuuu12ncucucu 12nc

11、 uuu 時發(fā)散時發(fā)散. .第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性若若11nnnnuv與與收收斂斂，其和分別為其和分別為 S 和和 V ，1()nnnuv 也也收收斂斂，且且111().nnnnnnnuvuvSV證證(補(bǔ)充補(bǔ)充)1()nnnuv 的部分和為：的部分和為：nT故故limnnT 1212()()nnuuuvvv即級數(shù)即級數(shù)1()nnnuv 收斂，且收斂，且111().nnnnnnnuvuvSV則級則級數(shù)數(shù)1()nkkkuv 1122()()()nnuvuvuv,nnSV lim()nnnSV limlimnnnnSV .SV 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù)

12、1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例如，例如，因為等比級數(shù)因為等比級數(shù)111123nnnn與與收收斂斂，所以級數(shù)所以級數(shù)11123nnn 注注(補(bǔ)充補(bǔ)充) (1) 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的逐項相加減得一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的逐項相加減得到的新級數(shù)也是發(fā)散的；到的新級數(shù)也是發(fā)散的； (2) 兩個發(fā)散的級數(shù)兩個發(fā)散的級數(shù)逐項相加減得到的新級數(shù)逐項相加減得到的新級數(shù)可能收斂也可能可能收斂也可能發(fā)散發(fā)散. .(P6習(xí)題習(xí)題3).也也收收斂斂例如，例如，因為等比級數(shù)因為等比級數(shù)11112nnnn收斂，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，收斂，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以級所以級1112nnn 數(shù)數(shù).發(fā)發(fā)散散例如，例如，因為調(diào)和級數(shù)

13、因為調(diào)和級數(shù)1111nnnn 發(fā)散，而級數(shù)也發(fā)散，發(fā)散，而級數(shù)也發(fā)散，而級而級111100nnnn數(shù)數(shù).卻卻是是收收斂斂的的第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性證證(補(bǔ)充補(bǔ)充) 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)1nnu 的部分和為的部分和為Sn ，去掉級數(shù)的前面，去掉級數(shù)的前面m項項后得到的級數(shù)后得到的級數(shù)1kk mu 的部分和為的部分和為Tk ，則，則kT121212() ()mmmm kmuuuuuuuuum kS 由于由于Sm當(dāng)當(dāng)m固定時為一常數(shù)，所以固定時為一常數(shù)，所以limkkT 故級數(shù)故級數(shù)1nnu 與級數(shù)與級數(shù)1.kk mu 有有相相同同的的斂斂散散性性12mmm kuuu

14、limm kmkSS 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性數(shù)的斂散性. . lim,m kmkSS ,mS 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例如，例如，級數(shù)級數(shù)11241002nn 2124100.nn 而級數(shù)而級數(shù)是收斂的；是收斂的；對收斂級數(shù)來說，其和將改變對收斂級數(shù)來說，其和將改變. .是發(fā)散的；是發(fā)散的；第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性1112,nvuuu 112212,nnnvuuu 1112,.kkkknnnvuuu1kknvV 的的部部分分和和是是knk 而由知，而由知，limlim.kkknknVSS 故故證證 設(shè)設(shè)121 nnnnuSuuu 的的部部分分和和是是且且收斂于收斂于S.則設(shè)該收斂級數(shù)按某一規(guī)律加括號所得的新級數(shù)為則設(shè)該收斂級數(shù)按某一規(guī)律加括號所得的新級數(shù)為1kkv ，且且則則lim.kknnSS 即即收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和的收斂性，也不改變它的和. .,k 若若,kn 必必有有12kvvv,knS 第十二章數(shù)項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù) 1級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性注注(1