投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的模型

1、承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則. 我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 投資收益和風(fēng)險(xiǎn)問題的分析摘 要 在現(xiàn)代商業(yè)、金融的投資中，任何理性的投資者總是

2、希望收益能夠取得最大化，但是他也面臨著不確定性和不確定性所引致的風(fēng)險(xiǎn)。而且，大的收益總是伴隨著高的風(fēng)險(xiǎn)。在有很多種資產(chǎn)可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)就越小。為了同時(shí)兼顧收益和風(fēng)險(xiǎn)，追求大的收益和小的風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成一個(gè)兩目標(biāo)決策問題，依據(jù)決策者對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的理解和偏好將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題求解。隨著投資者對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的日益關(guān)注,如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證。傳統(tǒng)的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個(gè)藍(lán)子里”的原則, 將投資分散化。關(guān)鍵詞：投資；收益；風(fēng)險(xiǎn)；數(shù)學(xué)建模0問題提出 市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)si (i = 1,2,·

3、3;· ,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的 相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。這 n 種資產(chǎn)在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買 的 si 平均收益率為ri ，風(fēng)險(xiǎn)損失率為 qi ，投資越分散，總的風(fēng) 險(xiǎn)越少，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購(gòu)買 si時(shí)要付交易費(fèi)（費(fèi)率pi），當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值ui 時(shí)，交易 費(fèi)按購(gòu)買ui計(jì)算。另外，假定同期銀行存款利率是r0，既無交易 費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（r0 = 5%）Table:已知n=4時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)Siri(%)qi(%)pi(%)uiS1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.5401問題分析 這是一個(gè)優(yōu)化問題，要決策

4、的是向每種資產(chǎn)的投資額，即所謂投資組合，要達(dá)到的目標(biāo)有二，凈收益最大和整體風(fēng)險(xiǎn)最小。一般來說這兩個(gè)目標(biāo)是矛盾的，收益大，風(fēng)險(xiǎn)必然也大；反之亦然，所以不可能給出這兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的所謂的完美決策，我們追求的只能是滿足投資者本身要求的投資組合，即在一定風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策，或在一定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小的決策，或收益和風(fēng)險(xiǎn)按一定比例組合最優(yōu)的決策。冒險(xiǎn)性投資者會(huì)從中選擇高風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策，保守型投資者則可從低風(fēng)險(xiǎn)下的決策中選取。 建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學(xué)符號(hào)和式子表述決策變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件。對(duì)于本題決策變量是明確的，即對(duì)Si (i=0,1，n)的投資份額（S0表示存入銀行）

5、，目標(biāo)函數(shù)之一是總風(fēng)險(xiǎn)最大，目標(biāo)函數(shù)之二是總風(fēng)險(xiǎn)最小，而總風(fēng)險(xiǎn)用投資資產(chǎn)Si中的最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)衡量。約束條件應(yīng)為總資金M的限制。2 模型假設(shè)1. 投資數(shù)額M相當(dāng)大，為了便于計(jì)算，假設(shè)M=1；2. 投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越??；3. 總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；4. n種資產(chǎn)si之間是相互獨(dú)立的；5. 在投資的這一時(shí)期內(nèi)，ri、pi、qi、r0為定值，不受意外因素影響；6. 凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受ri、pi、qi影響，不受其他因素干擾。3 符號(hào)說明si第i種投資項(xiàng)目，如股票、債券等，s0表示不投資ri，pi,qi分別為si的平均收益率，風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率uisi的交易定額r0同期銀

6、行利率xi投資項(xiàng)目si的資金a 投資風(fēng)險(xiǎn)度Q總體收益Q總體收益的增量4模型建立 在實(shí)際投資中，投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixiMa,可找到相應(yīng)的投資方案。將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)線性規(guī)劃。模型一：固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益模型 max i=0n(ri-pi)xi qixiM as.t. i=0n(1+pi)xi=M xi0，i=0,1,n若投資者希望總盈利至少達(dá)到k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。模型二：固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)模型 minmaxqixi i=0n(ri-pi)xiks.t. i=0n(1+pi)xi=M xi0，i=0,1,n投資

7、者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面后，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。 模型三：均衡模型 minsmaxqixi-(1-s)i=0n(ri-pi)xi i=0n1+pixi=M s.t. xi0,i=0，1，n 其中s為投資偏好系數(shù)。5模型求解 模型一：0.025x1x5 0.015x2x5 s.t. 0.055x3x5 0.026x4x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1xi0，i=0,1,n模型二:假定 qi.xix5（1） 要求：在收益一定k的情況下，所冒的風(fēng)險(xiǎn)最小 qi.xix5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4+0=

8、10.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4+0k0.025x1x50.015x2x50.055x3x50.026x4x5模型三：xiqi<=x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=10.025x1x50.015x2x50.055x3x50.026x4x56 模型結(jié)果分析與檢驗(yàn) 模型一： 1.風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大。2當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致。冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。3.曲線上的任一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險(xiǎn)?？梢葬槍?duì)不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇

9、該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最有投資組合。4.在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很快；在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很緩慢。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是a=0.6%，Q=20%，所對(duì)應(yīng)投資方案為：風(fēng)險(xiǎn)度：0.006，收益：0.2019，x0:0,x1:0.24,x2:0.4,x3:0.1091,x4:0.2212 模型二： 1.風(fēng)險(xiǎn)越大，收益越大。 2.當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致。冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。3.根據(jù)曲線的走勢(shì)，我們可以看到曲線剛開始的

10、時(shí)候風(fēng)險(xiǎn)增長(zhǎng)緩慢，收益增長(zhǎng)很快，當(dāng)達(dá)到曲線的拐點(diǎn)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)增長(zhǎng)很快。對(duì)于抗風(fēng)險(xiǎn)能力較弱的投資者來說，應(yīng)該講拐點(diǎn)作為最有投資組合。x5:0.2,風(fēng)險(xiǎn)度：0.006. 模型三：1. 我們通過s來將風(fēng)險(xiǎn)與收益加權(quán)，來選擇最優(yōu)組合。2. 模型三的曲線收益隨著s的增大而減小，我們可以通過觀察圖形的斜率來觀察s與Q之間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)曲線在s為0.8左右的時(shí)候出現(xiàn)拐點(diǎn)，我們可以通過這一點(diǎn)來選擇投資組合，獲得較高收益。7模型的評(píng)價(jià)與推廣本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過建立模型一、模型二、模型三分別來使收益最大，保證收益的同時(shí)使風(fēng)險(xiǎn)最小，模型一和模型二都是先固定一個(gè)量然后研究另一個(gè)量，而模型三

11、是引入一個(gè)偏好系數(shù)使風(fēng)險(xiǎn)與收益之間找到平衡點(diǎn)，并使用Matlab求解，所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。但是，本文沒有討論收益和風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估方法，在實(shí)際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時(shí)用最大風(fēng)險(xiǎn)代表組合投資的風(fēng)險(xiǎn)未必合理，因此對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)度量下的最優(yōu)投資組合進(jìn)行比較研究是進(jìn)一步的改進(jìn)方向。附錄 模型一： Matlab clc,cleara=0;while a<0.05c=-0.05;-0.27;-0.19;-0.185;-0.185;A=diag(0,0.025,0.015,0.055,0.026);b=a*ones(5,1);Aeq=1,1.01,1.02,1.045,1.065;beq=1;l

12、b=zeros(5,1);x,Q=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb);a x=x'Q=-Qplot(a,Q,'*r');hold ona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q') 模型二： Matlab k=0.15while k<0.27c=0,0,0,0,0,1;a=0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1;-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185,0;b=0;0;0;0

13、;-k;aeq=1,1.01,1.02,1.045,1.065,0;beq=1;lb=zeros(6,1);x,Q=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb);kx=x'Qplot(k,Q,'.r');k=k+0.005;hold ongrid onendxlabel('k'),ylabel('Q')模型三： Matlab s=0;while s<1c=-0.05*(1-s),-0.27*(1-s),-0.19*(1-s),-0.185*(1-s),-0.185*(1-s),s;a=0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026