高中數(shù)學(xué)——圓錐曲線

1、數(shù)學(xué)定義幾何學(xué)基本概念:從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角坐標(biāo)系中的一個二元一次方程所表示的圖形。求兩條直線的交點，只需把這兩個二元一次方程聯(lián)立求解，當(dāng)這個聯(lián)立方程組無解時，二直線平行；有無窮多解時，二直線重合；只有一解時，二直線相交于一點。常用直線與 X 軸正向的 夾角（ 叫直線的傾斜角 ）或該角的正切（稱直線的斜率）來表示平面上直線(對于X軸)的傾斜程度?？梢酝ㄟ^斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直，也可計算它們的交角。直線與某個坐標(biāo)軸的交點在該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，稱為直線在該坐標(biāo)軸上的截距。直線在平面上的位置，由它的斜率和一個截距完全確定。在空間，兩個平面相交時，交線為

2、一條直線。因此，在空間直角坐標(biāo)系中，用兩個表示平面的三元一次方程聯(lián)立，作為它們相交所得直線的方程。 空間直線的方向空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個方向向量。直線在空間中的位置， 由它經(jīng)過的空間一點及它的一個方向向量完全確定。在歐幾里得幾何學(xué)中，直線只是一個直觀的幾何對象。在建立歐幾里得幾何學(xué)的公理體系時，直線與點、平面等都是不加定義的，它們之間的關(guān)系則由所給公理刻畫。 關(guān)系式直線的斜率：k=(y2-y1)/(x2-x1) （x1x2） (1)一般式:適用于所有直線 Ax+By+C=0 (其中A、B不同時為0) 兩直線平行時：A1/A2=B1/B2C1/

3、C2 兩直線垂直時：A1A2+B1B2=0 兩直線重合時：A1/A2=B1/B2=C1/C2 兩直線相交時：A1/A2B1/B2 (2)點斜式:知道直線上一點(x0,y0),并且直線的斜率k存在，則直線可表示為 y-y0=k(x-x0) 當(dāng)k不存在時，直線可表示為 x=x0 (3)截距式:不適用于和任意坐標(biāo)軸垂直的直線和過原點的直線 知道直線與x軸交于(a,0),與y軸交于(0,b),則直線可表示為 x/a+y/b=1 (4)斜截式: Y=KX+B (K0)當(dāng)k0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k|FF|)的動點P的軌跡叫做橢圓。 即：PF+PF=2a 其中兩定點F、F叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離F

4、F叫做橢圓的焦距。 橢圓的第二定義平面上到定點F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(即橢圓的偏心率，e=c/a)的點的集合（定點F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)） 其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線的方程是x=a2/c或者y=a2/c)。 橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連線的斜率之積是定值可以得出：平面內(nèi)與兩定點的連線的斜率之積是常數(shù)k的動點的軌跡是橢圓，此時k應(yīng)滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況 切線與法線的幾何性質(zhì)定理1：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB切橢圓C于點P，則APF1=BPF2。 定

5、理2：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB為C在P點的法線，則AB平分F1PF2。 上述兩定理的證明可以查看參考資料1。 計算機圖形學(xué)約束橢圓必須一條直徑與X軸平行，另一條直徑Y(jié)軸平行。不滿足此條件的幾何學(xué)橢圓在計算機圖形學(xué)上視作一般封閉曲線。 標(biāo)準(zhǔn)方程高中課本在平面直角坐標(biāo)系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸。 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種，取決于焦點所在的坐標(biāo)軸： 1）焦點在X軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/a2+y2/b2=1 (ab0) 2）焦點在Y軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/b2+y2/a2=1 (ab0) 其中a0，b0。a、b中較

6、大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱 F點在Y軸軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當(dāng)ab時，焦點在x軸上，焦距為2*(a2-b2)0.5，焦距與長.短半軸的關(guān)系:b2=a2-c2 ,準(zhǔn)線方程是x=a2/c和x=-a2/c ，c為橢圓的半焦距。 又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m0，n0，mn)。既標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。 橢圓的面積是ab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acos ， y=bsin 標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓在(x0，y0)點的切線就是 ： xx0/a

7、2+yy0/b2=1 lk一般方程Ax2;+Bxy+Cy2;+Dx+Ey+F=0 (A.C不為0) 公式橢圓的面積公式S=(圓周率)ab(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長). 或S=(圓周率)AB/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長). 橢圓的周長公式橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。 橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數(shù)的求和。如 L = 0,/24a * sqrt(1-(e*cost)²)dt2(a²+b²)/2) 橢圓近似周長, 其中a為橢圓長半軸,e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線的

8、距離之比，設(shè)橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則 e=PF/PL 橢圓的準(zhǔn)線方程x=a2/c 橢圓的離心率公式e=c/a(0e2c) 橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點（c,0）與準(zhǔn)線x=+a²/C)的距離,數(shù)值=b²/c 橢圓焦半徑公式焦點在x軸上：|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 橢圓過右焦點的半徑r=a-ex 過左焦點的半徑r=a+ex 焦點在y軸上：|PF1|=a-ey0 |PF2|=a+ey0 橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數(shù)值=2b2/a 點與橢圓位置關(guān)系點M（x0，y0

9、） 橢圓 x2/a2+y2/b2=1 點在圓內(nèi)： x02/a2+y02/b21 直線與橢圓位置關(guān)系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相離0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 橢圓的斜率公式過橢圓上x2/a2+y2/b2=1上一點（x，y）的切線斜率為 -(b2)X/(a2)y 橢圓焦點三角形面積公式若F1PF2=, 則S=b2tan/2 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用求解橢

10、圓上點到定點或到定直線距離的最值時，用參數(shù)坐標(biāo)可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解 x=acos， y=bsin a為長軸長的一半 相關(guān)性質(zhì) 由于平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬于一種圓錐截線。 例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）： 將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那么會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。 設(shè)兩點為F1、F2 對于截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交于Q1、Q2 則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定義1知

11、：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點 用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓 例：已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（ab0）的離心率為6/3，短軸一個端點到右焦點的距離為3. （1）求橢圓C的方程. （2）直線l：y=x+1與橢圓交于A，B兩點，P為橢圓上一點，求PAB面積的最大值. （3）在（2）的基礎(chǔ)上求AOB的面積. 一 分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a，端點到左右焦點的距離相等(橢圓的定義），可知a=3，又c/a=6/3,代入得c=2，b=(a2-c2)=1,方程是x2/3+y2/1=1， 二 要求面積，顯然以ab作為三角形的底邊，聯(lián)立x2/3+y2

12、/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦長公式有(1+k2)x2-x1(中括號表示絕對值）弦長=32/2,對于p點面積最大，它到弦的距離應(yīng)最大，假設(shè)已經(jīng)找到p到弦的距離最大，過p做弦的平行線，可以 發(fā)現(xiàn)這個平行線是橢圓的切線是才會最大，這個切線和弦平行故斜率和弦的斜率=，設(shè)y=x+m,利用判別式等于0，求得m=2,-2.結(jié)合圖形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5), 三 直線方程x-y+1=0,利用點到直線的距離公式求的2/2,面積1/2*2/2*32/2=3/4,雙曲線雙曲線(Hyperbola)是指與平面上兩個定點的距離之差

13、的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡。雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線。 雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)。定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于一個常數(shù)的軌跡稱為雙曲線 定義1： 平面內(nèi)，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于這兩個定點間的距離1）的點的軌跡稱為雙曲線。 定義2：平面內(nèi)，到給定一點及一直線的距離之比大于1且為常數(shù)的點的軌跡稱為雙曲線。 定義3：一平面截一圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。 定義4：在平面直角坐標(biāo)系中，二元二次

14、方程h(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。 1. a,b,c不都是0。 2. b2 - 4ac 0。 在高中的解析幾何中，學(xué)到的是雙曲線的中心在原點，圖像關(guān)于x，y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為：x2/a2 - y2/b2 = 1。 上述的四個定義是等價的。 重要概念和性質(zhì)以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關(guān)概念和性質(zhì)。 雙曲線有兩個分支。 在定義1中提到的兩給定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準(zhǔn)線。在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該

15、雙曲線的離心率。雙曲線有兩個焦點，兩條準(zhǔn)線。（注意：盡管定義2中只提到了一個焦點和一條準(zhǔn)線。但是給定同側(cè)的一個焦點，一條準(zhǔn)線以及離心率可以根據(jù)定義2同時得到雙曲線的兩支，而兩側(cè)的焦點，準(zhǔn)線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。） 雙曲線與兩焦點連線的交點，稱為雙曲線的頂點。 雙曲線有兩條漸近線。 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、軌跡上一點的取值范圍：xa,x-a（焦點在x軸上）或者ya,y-a（焦點在y軸上）。 2、對稱性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱。 3、頂點：A(-a,0)， A(a,0)。同時 AA叫做雙曲線的實軸且AA=2a. B(0,-b)， B(0,b)。同時 BB叫做雙曲線的虛軸且BB=2b. 4

16、、漸近線： 焦點在x軸：y=(b/a)x. 焦點在y軸：y=(a/b)x. 圓錐曲線=ep/1-ecos當(dāng)e1時，表示雙曲線。其中p為焦點到準(zhǔn)線距離，為弦與X軸夾角 令1-ecos=0可以求出，這個就是漸近線的傾角。=arccos(1/e) 令=0，得出=ep/1-e, x=cos=ep/1-e 令=PI，得出=ep/1+e ,x=cos=-ep/1+e 這兩個x是雙曲線定點的橫坐標(biāo)。 求出他們的中點的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)） x=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 （注意化簡一下） 直線cos=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。

17、 將這條直線順時針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos(1/e)角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是 則=-PI/2-arccos(1/e) 則=+PI/2-arccos(1/e) 代入上式： cos+PI/2-arccos(1/e)=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 即：sinarccos(1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 現(xiàn)在可以用取代式中的了 得到方程：sinarccos(1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 現(xiàn)證明雙曲線x2/a2-y/b2=1 上的點在漸近線中 設(shè)M(x,y)是雙曲線在第一象限的點，則 y=(b/a)(x2-a2) (xa) 因為

18、x2-a2x2,所以y=(b/a)(x2-a2)b/ax2=bx/a 即y0,b0) 而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c 0) 但是反比例函數(shù)確實是雙曲線函數(shù)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的 因為xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的對稱軸是x軸，y軸 所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度 設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a （a0,順時針） (a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角) 則有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = /4 則 X2 - Y2 = (xcos(/4) + ysin(/4)2 -(xsin(/4) - ycos(/4)2 = (2/

19、2 x + 2/2 y)2 -(2/2 x - 2/2 y)2 = 4 (2/2 x) (2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X2/(2c) - Y2/(2c) = 1 (c0) Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐，可得一個圓，如果傾斜這個平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線。 標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四個： 拋物線右開口拋物線：y2=2px 左開口拋物線:y2= -2px 上開口拋物線：x2=2py 下開口拋物線:x2= -2py p為焦準(zhǔn)距（p0） 在拋物線y2=2px中，焦點是(p/2，0），準(zhǔn)線l的方程是x

20、= -p/2； 在拋物線y2= -2px 中，焦點是( -p/2，0），準(zhǔn)線l的方程是x=p/2； 在拋物線x2=2py 中，焦點是（0，p/2），準(zhǔn)線l的方程是y= -p/2； 在拋物線x2= -2py中，焦點是（0，-p/2），準(zhǔn)線l的方程是y=p/2； 相關(guān)參數(shù)(對于向右開口的拋物線)離心率：e=1 焦點:(p/2，0) 準(zhǔn)線方程l:x=-p/2 頂點：(0，0) 通徑：2P ；定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦定義域（X0） 值域（YR) 解析式求法以焦點在X軸上為例 知道P（x0，y0) 令所求為y2=2px 則有y02=2px0 2p=y02/x0 拋物線為y2=(y02/x0)x 光學(xué)性質(zhì)經(jīng)焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對稱軸。 面積和弧長公式拋物線面積 Area=2ab/3 弧長 Arc length