高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式

1、人教版高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式教案 教案說(shuō)明：設(shè)計(jì)思想：建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是知識(shí)由教師向?qū)W生的傳遞，而是學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)的過(guò)程。學(xué)生不是被動(dòng)的信息吸收者，而是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，這種建構(gòu)不可能由其他人代替，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。教師應(yīng)該時(shí)刻注意讓學(xué)習(xí)任務(wù)始終處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，并提供一定的“支架”和輔導(dǎo)。學(xué)生應(yīng)該在教師的幫助下，發(fā)展自己控制學(xué)習(xí)過(guò)程的能力。因此，本節(jié)課教師做為學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，通過(guò)同學(xué)之間的合作交流激發(fā)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建構(gòu)的過(guò)程。教學(xué)內(nèi)容分析： 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模

2、型，本章對(duì)數(shù)列的定位是做為一種函數(shù)結(jié)合數(shù)列自身的特點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)的，在通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)列概念后，使學(xué)生體會(huì)數(shù)列的函數(shù)背景，感受數(shù)列是研究現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情景的數(shù)學(xué)模型。等比數(shù)列做為特殊的數(shù)列也是函數(shù)，實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)，是反映自然規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型之一，與等差數(shù)列一樣在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛的應(yīng)用。因此，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是高考重點(diǎn)考察的內(nèi)容。等比數(shù)列是在等差數(shù)列學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，對(duì)應(yīng)指數(shù)函數(shù)的模型，因此對(duì)思維能力有更進(jìn)一步的要求。一方面考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等比中項(xiàng)及等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，這一部分主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，其

3、中考查思維能力是支柱，運(yùn)算能力是主體，應(yīng)用是歸宿；另一方面常和函數(shù)、不等式、方程、解析幾何、立體幾何等相關(guān)內(nèi)容交匯在一起綜合，加以導(dǎo)數(shù)和向量等新增內(nèi)容，使數(shù)列題更有了施展的舞臺(tái)；因此,這類題目從已知條件給出的信息,求解目標(biāo)需求的信息,解題過(guò)程所用的方法都相當(dāng)豐富,并且對(duì)于考查邏輯推理, 演繹證明,運(yùn)算求解,歸納抽象等理性思維能力以及數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力都是很好的素材.等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式做為等比數(shù)列學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更起到至關(guān)重要的作用。本節(jié)課的教法特點(diǎn)：學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的定義和基本性質(zhì)都已經(jīng)有了初步的理解和認(rèn)識(shí)，因此本節(jié)內(nèi)容主要采用觀察，思考，類比，歸納，探究得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué)，在教學(xué)活動(dòng)中注重創(chuàng)設(shè)

4、問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建構(gòu)的過(guò)程。教學(xué)過(guò)程分為問(wèn)題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識(shí)階段。引導(dǎo)學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的特點(diǎn)，通項(xiàng)公式推導(dǎo)與等差數(shù)列類比進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)的過(guò)程是教學(xué)的重點(diǎn)。教學(xué)目標(biāo)分析：本節(jié)課選擇了學(xué)生身邊熟悉的、感興趣的問(wèn)題，激勵(lì)學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望與追求。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。通過(guò)與指數(shù)函數(shù)圖象類比，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征及與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，借助函數(shù)的背景和研究方法來(lái)研究有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，可以進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用已知去研究未知的能力。另一方面有利于培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，從不同的角度引導(dǎo)學(xué)生去類比兩類數(shù)列，同時(shí)也體現(xiàn)了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)

5、，方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向聯(lián)系。等差數(shù)列與等比數(shù)列之間存在很多類似的大方，但也有本質(zhì)的不同，學(xué)生容易把二者混淆，因此在教學(xué)中始終強(qiáng)調(diào)等比數(shù)列的定義和體現(xiàn)等比數(shù)列本質(zhì)的公比。課題：等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式一、教學(xué)目標(biāo)1通過(guò)與等差數(shù)列定義類比及具體實(shí)例了解并掌握等比數(shù)列的定義。2掌握等比中項(xiàng)的特點(diǎn)及應(yīng)用。3理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)過(guò)程及方法；了解通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，并能用通項(xiàng)公式解決簡(jiǎn)單的等比數(shù)列問(wèn)題。4通過(guò)實(shí)例，類比理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力。5 充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，認(rèn)識(shí)到等比數(shù)列是反映自然

6、規(guī)律的重要的數(shù)列模型之一，與等差數(shù)列一樣在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的，提高學(xué)生解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：理解等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2難點(diǎn)：在教學(xué)過(guò)程中滲透建構(gòu)的思想，為學(xué)生搭建舊知識(shí)與新知識(shí)之間的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，思考類比，探究發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法。理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系及其通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和通項(xiàng)公式靈活運(yùn)用。三教學(xué)方法與手段利用多媒體技術(shù)，采用觀察，思考，類比，歸納，探究得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，做好探究性活動(dòng)。四、教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)情景，從具體實(shí)例引入新課 得到等比數(shù)列的定義

7、 合作探究等比中項(xiàng)的定義合作探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式自主探究等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系例題訓(xùn)練小結(jié)類比等差數(shù)列與等比數(shù)列。五教學(xué)情景設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)回顧等差數(shù)列的定義，等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)。設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課主要通過(guò)類比等差數(shù)列的定義，等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)期望得到等比數(shù)列定義，等比中項(xiàng)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。引導(dǎo)學(xué)生回顧舊的熟悉的知識(shí)，為新知識(shí)的理解掌握奠定基礎(chǔ)。（二）新課引入1. “一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”用現(xiàn)代漢語(yǔ)敘述這段話的意思，“日取其半”得到一個(gè)怎么樣的數(shù)列？設(shè)計(jì)意圖：由“日取其半”發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所蘊(yùn)含的等比關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列。2. 折

8、紙，紙的厚度分別成什么樣的數(shù)列？設(shè)計(jì)意圖：由紙的厚度發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系, 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所蘊(yùn)含的等比關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列。3.再給出兩個(gè)數(shù)列，觀察這四個(gè)數(shù)列具有怎么樣的特點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：類比發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的等比關(guān)系，概括給出等比數(shù)列的定義。通過(guò)觀察，歸納，猜想認(rèn)識(shí)到等比數(shù)列的特性，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系和概括出等比數(shù)列的定義。教師引導(dǎo)總結(jié)：總結(jié)學(xué)生的結(jié)論，得到等比數(shù)列的定義。一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母。這個(gè)時(shí)候要引導(dǎo)學(xué)生明確兩點(diǎn)：1.對(duì)于公比要強(qiáng)調(diào)它是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一

9、項(xiàng)的比”防止把相鄰兩項(xiàng)的比次序顛倒。2. 是一個(gè)常數(shù)，不僅可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，順勢(shì)引導(dǎo)提問(wèn)可否為0？（二）合作探究問(wèn)題1. 公比為什么不能等于零？首項(xiàng)能不能為0？等比數(shù)列中能否有0這樣的項(xiàng)呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不能等于零，并且任意一項(xiàng)都不能為零。(獨(dú)立思考，合作交流，假設(shè)存在有零的等比數(shù)列會(huì)帶來(lái)什么樣的矛盾？后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，分母為0了。)問(wèn)題2. 是否存在一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)特殊的數(shù)列-常數(shù)列即公比等于1的數(shù)列同時(shí)具有等差等比的性質(zhì)。（引導(dǎo)學(xué)生與學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行比較，等到新的結(jié)論，與舊的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)。）問(wèn)題

10、3，如果，這樣的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列呢？設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些特殊的等比數(shù)列，使學(xué)生對(duì)等比數(shù)列有更深入的認(rèn)識(shí)，教師表?yè)P(yáng)激勵(lì)學(xué)生深入探索。問(wèn)題4. 如果這樣的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列呢？各項(xiàng)的符號(hào)是什么樣的，應(yīng)該怎樣確定，由哪些因素決定？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)拓寬學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生明白首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的重要條件。問(wèn)題5. 如果這樣的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列呢？是否這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)就都大于0？設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生初步感受有的等比數(shù)列具有單調(diào)性，有的數(shù)列不具有單調(diào)性，繼續(xù)拓寬學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)。再次確認(rèn)首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的重要條件。教師繼續(xù)引導(dǎo)探究，鼓勵(lì)學(xué)生問(wèn)題6. 若

11、兩個(gè)等比數(shù)列相同需要什么條件？設(shè)計(jì)意圖：說(shuō)明首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件，為等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)做準(zhǔn)備。同學(xué)之間相互討論，得到首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件。問(wèn)題7. 等差數(shù)列有等差中項(xiàng)，等比數(shù)列有沒(méi)有相類似的東西呢？設(shè)計(jì)意圖：類比等差中項(xiàng)，引導(dǎo)學(xué)生自己給出等比中項(xiàng)的概念。教師總結(jié)：?jiǎn)栴}8. 任意兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng)，是否任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)呢？設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)等差中項(xiàng)存在的條件，引導(dǎo)學(xué)生理解不是任意兩個(gè)數(shù)都存在等比中項(xiàng)。只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才存在等比中項(xiàng)。問(wèn)題9. 等差數(shù)列有通項(xiàng)公式，那等比數(shù)列呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上問(wèn)題的解答，學(xué)生對(duì)等比數(shù)列有了一定的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列

12、的推導(dǎo)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生合作交流推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并強(qiáng)調(diào)首項(xiàng)和公比的限制條件。這樣做可以幫助學(xué)生體會(huì)歸納推理對(duì)于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論的作用。鼓勵(lì)學(xué)生大膽的猜測(cè)，小心的證明。推導(dǎo)結(jié)束后要使學(xué)生明確：.不要錯(cuò)誤的把通項(xiàng)公式寫(xiě)成問(wèn)題9. 等差數(shù)列實(shí)際上一次函數(shù)，那等比數(shù)列是否也有相對(duì)應(yīng)的函數(shù)呢？設(shè)計(jì)意圖：探究等比數(shù)列的圖象與相應(yīng)函數(shù)的關(guān)系。讓學(xué)生用描點(diǎn)發(fā)畫(huà)出上述兩組圖象，交流討論，歸納出兩者之間的關(guān)系。（三）例題講解和學(xué)生練習(xí)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)例題引導(dǎo)學(xué)生利用等比數(shù)列的定義來(lái)描述各項(xiàng)之間的關(guān)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的本質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)例題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)等比數(shù)列各個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系，用方程的觀點(diǎn)解決問(wèn)題的方法，同時(shí)明確的認(rèn)識(shí)到首項(xiàng)和公比是確定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件。設(shè)計(jì)意圖：等比中項(xiàng)的應(yīng)用。利用等比中項(xiàng)的概念計(jì)算