第一章事件及概率

1、1主頁主頁 退出退出 21、確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下一定會發(fā)生或一定不會發(fā)生：在一定條件下一定會發(fā)生或一定不會發(fā)生 的現(xiàn)象的現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象例例 1 (1)太陽從東方升起太陽從東方升起 (2)邊長為邊長為a的正方形的面積為的正方形的面積為a2 (3)一袋中有一袋中有10個白球，今從中任取一球為白球個白球，今從中任取一球為白球 （1)（2)（3）為確定性現(xiàn)象）為確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象例例 2 (4)擲一枚硬幣，正面向

2、上擲一枚硬幣，正面向上 (5)擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為2 (6)一袋中有一袋中有5個白球個白球3個黑球，今從中任取一球為白球個黑球，今從中任取一球為白球（4）（）（5）（）（6）為隨機(jī)現(xiàn)象）為隨機(jī)現(xiàn)象第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率3 1.1 隨機(jī)事件隨機(jī)事件試驗試驗：為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，對客觀事物進(jìn)行觀察的過程：為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，對客觀事物進(jìn)行觀察的過程 1 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗：具有以下特點(diǎn)的試驗稱為隨機(jī)試驗，用：具有以下特點(diǎn)的試驗稱為隨機(jī)試驗，用E表示：表示： （1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（可重復(fù)性）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（可重

3、復(fù)性） （2）每次試驗的結(jié)果不止一個，并且在試驗之前可以明確）每次試驗的結(jié)果不止一個，并且在試驗之前可以明確 試驗所有可能的結(jié)果；（結(jié)果的非單一性）試驗所有可能的結(jié)果；（結(jié)果的非單一性） （3）在每次試驗之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗將出現(xiàn)那一）在每次試驗之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗將出現(xiàn)那一 種結(jié)果。（隨機(jī)性種結(jié)果。（隨機(jī)性）注意注意：今后所說的試驗：今后所說的試驗 均指隨機(jī)試驗均指隨機(jī)試驗4統(tǒng)計規(guī)律（性）：統(tǒng)計規(guī)律（性）：對于隨機(jī)試驗，就一次而言看對于隨機(jī)試驗，就一次而言看不出什么規(guī)律，但若大數(shù)次地重復(fù)這個試驗，不出什么規(guī)律，但若大數(shù)次地重復(fù)這個試驗，試驗結(jié)果又遵循某些規(guī)律。這種規(guī)律即統(tǒng)計試驗結(jié)

4、果又遵循某些規(guī)律。這種規(guī)律即統(tǒng)計規(guī)律。規(guī)律。2、隨機(jī)事件隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗的結(jié)果稱為事件。：隨機(jī)試驗的結(jié)果稱為事件。 每每次試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大次試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量試驗中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事量試驗中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件。件。 用用A,B,C等表示等表示注意注意：今后所指的事件均指隨機(jī)事件：今后所指的事件均指隨機(jī)事件5隨機(jī)事件分為：隨機(jī)事件分為：（1）基本事件基本事件：對于試驗?zāi)康亩圆豢稍偌?xì)分的試驗結(jié)果：對于試驗?zāi)康亩圆豢稍偌?xì)分的試驗結(jié)果（2）復(fù)合事件復(fù)合事件：由兩個或兩個以上的基本事件構(gòu)成的事件：由兩個或兩個以上的基本事件構(gòu)成的事件

5、（3）必然事件必然事件：每次試驗中一定發(fā)生的事件：每次試驗中一定發(fā)生的事件（4）不可能事件不可能事件：每次試驗中一定不發(fā)生的事件：每次試驗中一定不發(fā)生的事件例例3：擲一枚均勻的骰子，：擲一枚均勻的骰子， =點(diǎn)數(shù)小于等于點(diǎn)數(shù)小于等于6,A=點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為4, B=偶數(shù)點(diǎn)偶數(shù)點(diǎn)，C=點(diǎn)數(shù)不大于點(diǎn)數(shù)不大于3, =點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為8則基本事件為則基本事件為? 復(fù)合事件為？必然事件為？不可能事件為？復(fù)合事件為？必然事件為？不可能事件為？6注意注意：（：（1）基本事件、復(fù)合事件、必然事件、不可能事）基本事件、復(fù)合事件、必然事件、不可能事 件是相對于試驗條件而言件是相對于試驗條件而言。 （2）必然事件、不可能事件

6、是確定性事件。必然事件、不可能事件是確定性事件。 （3）事件事件A發(fā)生：當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生：當(dāng)且僅當(dāng)事件A中的一個基本事件中的一個基本事件 出現(xiàn)出現(xiàn)73、樣本空間：樣本空間：所有的基本事件組成的集合，用所有的基本事件組成的集合，用 表示表示 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)：樣本空間中的每一個元素為一個樣本點(diǎn)。：樣本空間中的每一個元素為一個樣本點(diǎn)。 用用 表示。表示。例例:擲硬幣擲硬幣 =正面，反面正面，反面 擲骰子擲骰子 =1,2,3,4,5,6可見：可見：樣本空間即必然事件樣本空間即必然事件 樣本點(diǎn)即基本事件樣本點(diǎn)即基本事件注意注意：事件與集合的對應(yīng)：事件與集合的對應(yīng)：樣本空間樣本空間全集全集 事件事件子集子集

7、8例例1 擲一枚均勻的骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，擲一枚均勻的骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)， =？ =1、2、3、4、5、6例例2 在某段時間內(nèi)，考察車站候車的旅客數(shù)，在某段時間內(nèi)，考察車站候車的旅客數(shù)， =？ =0、1、2、3. 例例3 向區(qū)間向區(qū)間a,b內(nèi)隨機(jī)的投一質(zhì)點(diǎn)，觀察落點(diǎn)的坐標(biāo)，內(nèi)隨機(jī)的投一質(zhì)點(diǎn)，觀察落點(diǎn)的坐標(biāo)， =a,b例例4 同時擲兩枚均勻的硬幣，同時擲兩枚均勻的硬幣， 1表示表示“正面向上正面向上”， 0表示表示“反面向上反面向上”， =？ =( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 1 , 1 ) 例例5 向平面上隨機(jī)的投一質(zhì)點(diǎn)，觀察落點(diǎn)的坐標(biāo)，向平面上隨機(jī)的

8、投一質(zhì)點(diǎn)，觀察落點(diǎn)的坐標(biāo)， =？ =(x,y)樣本點(diǎn)：例樣本點(diǎn)：例1、4有限個有限個 例例2無限可列個無限可列個 例例3區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn) 例例52維維 94、事件的集合表示：、事件的集合表示：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 1， 2，. k有一個發(fā)生時，事件有一個發(fā)生時，事件A發(fā)生，則發(fā)生，則稱稱 1， 2，. k為事件為事件A的的有利樣本點(diǎn)。有利樣本點(diǎn)。 A= 1， 2，. k 樣本空間樣本空間全部樣本點(diǎn)的集合全部樣本點(diǎn)的集合 全集全集 基本基本事件事件一個樣本點(diǎn)的集合一個樣本點(diǎn)的集合 復(fù)合復(fù)合事件事件多個樣本點(diǎn)的集合多個樣本點(diǎn)的集合 不可能不可能事件事件沒有樣本點(diǎn)的集合沒有樣本點(diǎn)的集合 空集空集

9、10三、事件間的關(guān)系及運(yùn)算三、事件間的關(guān)系及運(yùn)算v 引言引言 因為任一隨機(jī)事件都是樣本空間的一個子集，所以事因為任一隨機(jī)事件都是樣本空間的一個子集，所以事件的關(guān)系和運(yùn)算與集合的關(guān)系和運(yùn)算完全類似。件的關(guān)系和運(yùn)算與集合的關(guān)系和運(yùn)算完全類似。1 1、事件的包含與相等、事件的包含與相等 * 事件事件 A A 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B B 的發(fā)生的發(fā)生，則稱事件，則稱事件 B 包含包含 事件事件 A，或稱事件稱事件 A 包含于包含于 事件事件 B ，記為，記為 ：A B 或或 B A。樣本空間樣本空間BA屬于屬于 A 的的 必然屬于必然屬于 B 注：對注：對任一事件任一事件 A 有：有

10、： A 11 例例1 1：一袋子中有分別編號為一袋子中有分別編號為 1、2、10 的十個的十個球，現(xiàn)從中任取一球，設(shè)球，現(xiàn)從中任取一球，設(shè) A = 取到取到5號球號球，B = 取取到編號是奇數(shù)的球到編號是奇數(shù)的球，C = 取到編號是取到編號是 1, 3, 5, 7, 9 的球的球 ，D = 取到編號取到編號 3 的球的球 ，E = 取到編號是偶取到編號是偶數(shù)的球數(shù)的球 。 則：則：事件事件 A 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 的發(fā)生。故事件的發(fā)生。故事件 B 包含事件包含事件 A，即：即：B A。12 在例在例1 1中，中，B B =取到編號是奇數(shù)的球取到編號是奇數(shù)的球 ，C=C=取

11、到編號是取到編號是1,3,5,7,91,3,5,7,9的球的球 。則：則：事件與事件含有相同的樣本點(diǎn)，故：事件與事件含有相同的樣本點(diǎn)，故： = =。v 事件的相等事件的相等 當(dāng)事件包含事件當(dāng)事件包含事件且且事件也包含事件時事件也包含事件時，則，則稱：事件與事件稱：事件與事件相等相等。記為。記為= =。、中含有相同的、中含有相同的 注：注：相等的兩事件總是相等的兩事件總是同時發(fā)生同時發(fā)生或或同時不發(fā)生同時不發(fā)生13樣本空間 2、事件的并（和）、事件的并（和） “兩事件與中至少有一個發(fā)生兩事件與中至少有一個發(fā)生” 這一事件稱為這一事件稱為事件與的并（事件與的并（和）。和）。記為：記為： 或或+ +

12、。中的樣本點(diǎn)是中的中的樣本點(diǎn)是中的樣本點(diǎn)與中的樣本點(diǎn)的和樣本點(diǎn)與中的樣本點(diǎn)的和 在例在例1 1中，中，B B =取到編號是奇數(shù)的球取到編號是奇數(shù)的球 ，D=D=取到編號取到編號33的球的球 。則：則：= = 取到編號為取到編號為1,2,3,5,7,91,2,3,5,7,9的球的球 注意： 樣本點(diǎn)重復(fù)時只寫一次！樣本點(diǎn)重復(fù)時只寫一次！14樣本空間A B3、事件的交（積）、事件的交（積） “兩事件與都發(fā)生兩事件與都發(fā)生” 這一事件稱這一事件稱為事件與的為事件與的交（積）交（積）。記為：記為：或或。中的樣本點(diǎn)是中的樣本點(diǎn)是與所共有的樣本點(diǎn)與所共有的樣本點(diǎn)。 在例在例1 1中，中， A=A=取到取到5

13、 5號球號球 ，B B =取到編號是奇數(shù)的球取到編號是奇數(shù)的球 ABA則：則： = = 取到編號為取到編號為 5 5 的球的球 15*事件的并的推廣事件的并的推廣“n n 個事件個事件 A A1 1,A,A2 2, , ,A An n 中至少有一個發(fā)生中至少有一個發(fā)生” 這一事件這一事件稱稱為事件為事件A A1 1,A,A2 2, , ,A An n的的并并。記為：記為： A A1 1A A2 2A An n 或或 A Ai i或或 Ai。 i=1i=1 i=1 “n n 個事件個事件 A A1 1,A,A2 2, , ,A An n 都發(fā)生都發(fā)生” 這一事件稱為事這一事件稱為事件件A A1

14、1,A,A2 2, , ,A An n的的交交。記為：記為： A A1 1A A2 2A An n 或或 A Ai i。 i=1i=1*事件的交的推廣事件的交的推廣* 類似地，也可定義無限多個事件的并類似地，也可定義無限多個事件的并 A Ai i。 以及無限多個事件的交以及無限多個事件的交 A Ai i。 16樣本空間樣本空間在例在例1 1中中 A=A=取到取到5 5號球號球 B B =取到編號是奇數(shù)的球取到編號是奇數(shù)的球 4、事件、事件的差的差 事件發(fā)生而事件不發(fā)生事件發(fā)生而事件不發(fā)生，這一新事件稱為事件這一新事件稱為事件與事件的差，記為：與事件的差，記為：。即：是把中屬于即：是把中屬于的元

15、素去掉的元素去掉注意：一般注意：一般=特別地：特別地： （1）=時，時，= （2）=時，即時，即 時，時， = （3）=時，即時，即 時，時，=A 則則 取到編號是取到編號是1,3,7,91,3,7,9的球的球 B樣本空間樣本空間AB樣本空間樣本空間AB樣本空間樣本空間BA17在例在例1 1中中 A=A=取到取到5 5號球號球 ，B=B=取到編號是偶數(shù)的球取到編號是偶數(shù)的球 5、事件的互不相容（互斥）、事件的互不相容（互斥） 若兩事件與不可能同時發(fā)生若兩事件與不可能同時發(fā)生，即，即AB=AB=，則則稱事件與是稱事件與是互不互不相容相容的（或的（或互斥互斥的）。的）。注：注：基本事件基本事件之間

16、互不相容之間互不相容則：則：事件與事件互不相容事件與事件互不相容。即。即B B。樣本空間樣本空間AB18 若若 n n 個事件個事件 A A1 1，A A2 2，A An n 中任兩個都中任兩個都不可能同不可能同時發(fā)生時發(fā)生，即：，即： AiAj=，(1ijn)，則稱則稱這這 n 個事件個事件是兩兩是兩兩互不互不相容相容的（或的（或互斥互斥的）。它的）。它們的們的和和記為：記為： A1+A2+An * 事件的互不相容的推廣事件的互不相容的推廣19樣本空間樣本空間 A6、 對立事件（逆事件）對立事件（逆事件） 若兩事件與是互不相容的，若兩事件與是互不相容的，且且它們的和它們的和是必然事件是必然事

17、件，即即 （1） AB=（2） AB=（或或A+B=）則：則： 稱事件與是稱事件與是對立事件對立事件，稱，稱事件事件(事件事件)是事件是事件 (事件事件)的的對立事件對立事件(逆事件逆事件)。 記為：記為：=或或 =A20 注注 (1 (1）對立事件是相互的對立事件是相互的: :A A是是A A的逆，的逆，A A也是也是A A的逆的逆 在例在例1 1中，中， A=A=取到編號是奇數(shù)的球取到編號是奇數(shù)的球 ， B =B =取到編號是偶數(shù)的球取到編號是偶數(shù)的球 則：事件則：事件A A與事件是對立事件與事件是對立事件, , 即即= = A A。AA （2 2）一般一般 A A B = A-AB=AB

18、 B = A-AB=AB21樣本空間樣本空間 A3 兩事件互不相容只表明不能同時發(fā)生（即：至多只能兩事件互不相容只表明不能同時發(fā)生（即：至多只能發(fā)生其中之一），但發(fā)生其中之一），但可以都不發(fā)生可以都不發(fā)生；而對立則表示；而對立則表示有且有且僅有僅有一個發(fā)生（即：肯定了一個發(fā)生（即：肯定了至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生）。）。* 對立事件與互不相容事件的聯(lián)系與區(qū)別對立事件與互不相容事件的聯(lián)系與區(qū)別1 兩事件對立，必定互不相容，反之不然。兩事件對立，必定互不相容，反之不然。A2 互不相容的概念適用于多個事件，但對立的概互不相容的概念適用于多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件。念只適用于兩個事件。

19、這是因為這是因為： 。樣本空間樣本空間A22在例在例1 1中，設(shè)：中，設(shè)：F Fi i=取到取到 i i 號球號球 ，( (i=1,2,i=1,2,10),10)7、完備事件組、完備事件組 n若若 n n 個事件個事件A A1 1，A A2 2，A An n兩兩兩兩互不相容，互不相容，且且 A Ai i = = i=1i=1 （1 1） A A1 1A A2 2A An n = = (2) AiAj=，(1i0，在事件在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件事件A發(fā)生發(fā)生的概率的概率,稱為事件稱為事件A對對B的條件概率的條件概率, 記作記作P(A|B)注注: : (2) (2) P(A)

20、P(A)稱為無條件概率稱為無條件概率(3)(3)性質(zhì)：設(shè)性質(zhì)：設(shè)P(B)0(1) (1) P(AB)P(AB)的直觀含義的直觀含義 P(|B)=1 若若Ak (k=1，2，) 兩兩互不相容，則兩兩互不相容，則 ( Ai |B) = (Ai |B) i=1 i=1 對于任一事件對于任一事件A，都有都有 0P(A|B)163條件概率的計算條件概率的計算令：令： =一個是男孩一個是男孩 =一個是女孩一個是女孩 例例1 1 考察有兩個小孩的家庭考察有兩個小孩的家庭, ,已知其中有一個是女孩已知其中有一個是女孩, ,問另一個是男孩的概率。問另一個是男孩的概率。則：則：43 )B(P=（男，男）、（男，女

21、）、（女，男）、（女，女）男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）A=（男，男）、（男，女）、（女，男）男，男）、（男，女）、（女，男）B=（男，女）、（女，男）、（女，女）（男，女）、（女，男）、（女，女） P(A|B)=32分析分析: : B=B=兩個孩子兩個孩子, ,一個是男孩一個是男孩, ,一個是女孩一個是女孩 P(AB)=21AB=（男，女）、（女，男）（男，女）、（女，男）)()(BPABP)BA(P 64樣本空間A B B 新樣本 空間A 條件概率的實質(zhì)條件概率的實質(zhì) 條件概率條件概率P(A|B)P(A|B)的實質(zhì)是樣本空間起了變化。的實質(zhì)是樣本空間起了變化。新的樣本空間縮小

22、為只取所包含的樣本點(diǎn)。有利事件為新的樣本空間縮小為只取所包含的樣本點(diǎn)。有利事件為ABAB。AB)B(P()B(P)AB(P)B|A(P0 即即：所所包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)所所包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)BAB)B|A(P 65 例例2 在件產(chǎn)品中，有件不合格品，任取兩次，在件產(chǎn)品中，有件不合格品，任取兩次，每次取件，每次取件，取出后不放回取出后不放回，若已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第件是合格，若已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第件是合格品，求第件也是合格品的概率。品，求第件也是合格品的概率。解：設(shè)解：設(shè)i = 第第 i 次取到合格品次取到合格品，i = 1，2。方法方法1 (利用公式利用公式) 條件概率的計算公式條件概率的計算公式

23、: :)B(P()B(P)AB(P)B|A(P0 注意注意:應(yīng)用此公式時應(yīng)用此公式時P(B) P(AB)都是在原來的樣本空間中考慮都是在原來的樣本空間中考慮(2|1) = 6/9(1) = (12) = 910679612112 )A(P)AA(P)A|A(P方法方法2 (直接求直接求)10766 定理定理1.1 1.1 對任意兩事件對任意兩事件A、B，都有都有P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 ) 1.3.2 乘法公式乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 )注：當(dāng)注：當(dāng)P(AB)P(AB)不容易直接求得時，可考慮利用不容易直接求得時，可考慮利用P(A) P

24、(A) 與與P(B|A)P(B|A)的乘積或的乘積或P(B)P(B)與與P(A|B)P(A|B)的乘積間接求得。的乘積間接求得。 對于事件對于事件A1,A2, ,An, 如果如果 P(A1A2 An-1)0 , 則有則有 P(A1A2An)=P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)P(An|A1A2 An-1)推廣的乘法公式推廣的乘法公式674%4%次次品品96% 正品75% 75% 一等品一等品例：一批產(chǎn)品的次品率為例：一批產(chǎn)品的次品率為4，正品中一等品率為，正品中一等品率為75，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率。

25、 解：解：記記A取到一等品取到一等品， B取到次品取到次品， 取到正品取到正品。B則有：則有： P(B)=4/100 P( )=96/100 P(A| )=75/100BB由于：由于： 故：，于是：故：，于是：BB P(A)=P(A )=P( )P(A| )=(96/100)(75/100)=0.72BBB68 例例2 2 （課本（課本P24P24例例2 2）1010張考簽中有張考簽中有4 4張難簽，甲、乙、丙張難簽，甲、乙、丙 3 3人參加抽簽（不放回），甲先，乙次，丙后，人參加抽簽（不放回），甲先，乙次，丙后， 求甲、乙、丙都抽到難簽的概率？求甲、乙、丙都抽到難簽的概率？ 記記A甲抽到難簽

26、甲抽到難簽， B乙抽到難簽乙抽到難簽， C丙抽到難簽丙抽到難簽， P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)= 3018293104 P(A)= P(B|A)= P(C|AB)= 821049369 全概率公式的思路是把一個復(fù)雜的事件分解為一些全概率公式的思路是把一個復(fù)雜的事件分解為一些互斥互斥的簡的簡單事件的單事件的并并，再利用概率的加法和乘法法則計算復(fù)雜事件的概率，再利用概率的加法和乘法法則計算復(fù)雜事件的概率1.4 全概率公式與貝葉斯公式1.4.1 全概率公式全概率公式 設(shè)設(shè)A1, A2, , A n 構(gòu)成一個完備事件組，求事件構(gòu)成一個完備事件組，求事件B的的概率概率P（B），），若

27、事先知道若事先知道 A1, A2, , A n 的概率的概率 P(A1),P(A2), P(A n) ，條件概率條件概率(B|A1)，(B|A2)， (B|An) , 則則可利用可利用全概率公式全概率公式 70定理定理1. 5(全概率定理）全概率定理） 設(shè)設(shè)A1, A2, , A n 構(gòu)成一個完備構(gòu)成一個完備事件組，并且事件組，并且 P(Ai)0, i=1,2, n, 則事件則事件B的概率為的概率為H 全概率公式全概率公式)1iniiP(B|A)P(AP(B) 證明：證明：BAPnii 1 ) B(P)B(P)A|B(P)A(Pinii 1)A(BPnii 1 nii)BA(P171H 全概率

28、公式的理論和實用意義全概率公式的理論和實用意義 在較復(fù)雜情況下直接計算在較復(fù)雜情況下直接計算P(B)P(B)不易，但不易，但B B總是伴隨著某組總是伴隨著某組A Ai i出現(xiàn)，適當(dāng)去構(gòu)造這一組出現(xiàn)，適當(dāng)去構(gòu)造這一組A Ai i往往可以簡化計算。在使用全概往往可以簡化計算。在使用全概率公式時，率公式時，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膭澐株P(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膭澐?完備事件組完備事件組A Ai i。 全概率公式還可以從另一個角度去理解：某一事件全概率公式還可以從另一個角度去理解：某一事件B B的發(fā)生的發(fā)生有各種可能的原因有各種可能的原因A Ai i(i=1(i=1，2 2，n)n)，如果如果B B是由原因是由原因A

29、Ai i所引所引起，則起，則B B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是P(BP(B)=)=P(AP(Ai i)P(B)P(B| |A Ai i) )。每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致B B發(fā)生，故發(fā)生，故B B發(fā)生的概率是各原因發(fā)生的概率是各原因引起引起B(yǎng) B發(fā)生概率的總和，即全概率公式。發(fā)生概率的總和，即全概率公式。 全概率公式可看成是全概率公式可看成是“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的的發(fā)生有一定的“作用作用”，即：結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因，即：結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的的“作用作用”大小有關(guān)，全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系。大小有關(guān)，全概率公式表達(dá)了它

30、們之間的關(guān)系。72 例例1 1：兩臺車床加工同一種零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是：兩臺車床加工同一種零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.030.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.020.02，加工的零件放一起，并，加工的零件放一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍。求任取且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍。求任取一零件是合格品的概率。一零件是合格品的概率。設(shè)設(shè)i=第第 i 臺車床加工的零件臺車床加工的零件 ( i =1, 2)，B = 零件是合格品零件是合格品解：解：則則 P(A1)= ，P(A2)=3132 P P( (B B| |A A1 1)=

31、1-0.03=0.97)=1-0.03=0.97 P P( (B B| |A A2 2)=1-0.02=0.98)=1-0.02=0.98 則則 P(B)= PP(B)= P( (A A1 1) )P P( (B B| |A A1 1)+ )+ P P( (A A2 2) )P P( (B B| |A A2 2) ) 9809703132.=0.973=0.97373例例2 2：（：（P39P39第第3535題）題）1212個乒乓球個乒乓球9 9新新3 3舊，第一次比賽時取出舊，第一次比賽時取出3 3個個用完后放回，第二次比賽又取出用完后放回，第二次比賽又取出3 3個，求取出的個，求取出的3

32、3個球中有個球中有2 2個個新球的概率。新球的概率。設(shè)設(shè)i=第一次第一次取出的取出的3個球中有個球中有i個新球個新球，(i=0，1，2，3)(B|A0)= (B|A1)= P(B|A2)= P(B|A3)= B=第二次第二次取出的取出的3個球中有個球中有2個新球個新球3122913CCC3122814CCC3122715CCC3122616CCC=3122913CCC31233CC3122913CCC+3121923CCC3122814CCC+3122715CCC+31239CC3122616CCC=0.45531239CC3122913CCC3121923CCC31233CC(A0)= (A

33、1)= P(A2)= P(A3)=則：則：P(B)=P(A0) P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)解：解：74 實際中還有一類問題實際中還有一類問題“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因”。這類問題在。這類問題在實際中常見，是已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的實際中常見，是已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小，即求條件概率?？赡苄源笮?，即求條件概率。貝葉斯貝葉斯公式就解決這類問題。公式就解決這類問題。利用條件概率的計算公式與全概率公式可導(dǎo)出利用條件概率的計算公式與全概率公式可導(dǎo)出貝葉斯貝葉斯公式：公式： 定理定理1.4(貝葉斯公

34、式貝葉斯公式)：A1 ，A2 ， An構(gòu)成一個完備事件組構(gòu)成一個完備事件組并且并且 P(Ai)0(i=1,2, n), 則對任意一概率不為零的事件則對任意一概率不為零的事件B，有，有 1 niiikkk)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B|A(P1.4.2 貝葉斯貝葉斯公式公式: :證明證明: : )B|A(Pk)B(P)BA(Pk 1 niii)A|B(P)A(P )A|B(P)A(Pkk 75在在貝葉斯貝葉斯公式中，公式中，P(AP(Ai i) )（i=1i=1，2 2，）是在沒有新的信是在沒有新的信息（不知道結(jié)果息（不知道結(jié)果B B是否發(fā)生）的情況下，人們對原因是否發(fā)生）的情況下

35、，人們對原因A Ai i發(fā)生可發(fā)生可能性大小的認(rèn)識。能性大小的認(rèn)識。 當(dāng)有了新的信息（知道結(jié)果當(dāng)有了新的信息（知道結(jié)果B B發(fā)生），發(fā)生）， P(P(i i| |) )是是人們對原因人們對原因A Ai i發(fā)生可能性大小的新的認(rèn)識。發(fā)生可能性大小的新的認(rèn)識。 P(AP(Ai i) ) 和和 P(AP(Ai i|B|B) ) 分別稱為原因分別稱為原因A Ai i的的先驗概率（驗前概率）先驗概率（驗前概率）和和后后驗概率（驗后概率）驗概率（驗后概率）。 應(yīng)用應(yīng)用貝葉斯貝葉斯公式計算后驗概率，以此作出某種判斷或決策公式計算后驗概率，以此作出某種判斷或決策 貝葉斯貝葉斯公式的意義：公式的意義： 假設(shè)導(dǎo)致

36、假設(shè)導(dǎo)致“結(jié)果結(jié)果”B B發(fā)生的發(fā)生的“原因原因”A Ai i(i=1(i=1，2 2，）兩兩不相容兩兩不相容現(xiàn)已知事件現(xiàn)已知事件B B發(fā)生了，若要計算導(dǎo)致發(fā)生了，若要計算導(dǎo)致B B出現(xiàn)的出現(xiàn)的“原因原因”A Ai i的概率，則的概率，則可用貝葉斯公式求。即可用貝葉斯公式求。即可從結(jié)果分析原因可從結(jié)果分析原因。76例例1：有朋友自遠(yuǎn)方來，他坐火車、船、汽車、飛機(jī)的可能性：有朋友自遠(yuǎn)方來，他坐火車、船、汽車、飛機(jī)的可能性分別是分別是0.3、0.2、0.1和和0.4，如果他坐火車、船、汽車來的話，如果他坐火車、船、汽車來的話， 遲到的概率分別是遲到的概率分別是 1/4、1/3、1/12，而坐飛機(jī)不

37、會遲到。結(jié)果，而坐飛機(jī)不會遲到。結(jié)果他遲到了，問他坐火車來的概率是多少？他遲到了，問他坐火車來的概率是多少？解：設(shè)解：設(shè)A A1 1=坐火車坐火車 ，A A2 2=坐船坐船 ，A A3 3=坐汽車坐汽車 ，A A4 4=坐飛機(jī)坐飛機(jī) ， B=B=遲到遲到 。 由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得：5004010203030121314141. 則則 P(AP(A1 1)=0.3)=0.3， P(A P(A2 2)=0.2)=0.2， P(A P(A3 3)=0.1)=0.1， P(A P(A4 4)=0.4)=0.4 P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12， P

38、(B|A4)=0 411111 iii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P要求要求P(A1|B)77例例2：(課本課本P29例例2) 某醫(yī)院對某疾病有一種有效的檢驗方法，某醫(yī)院對某疾病有一種有效的檢驗方法，可對可對0.95的該病患者和的該病患者和0.9的無該病者診斷無誤，又由歷史資的無該病者診斷無誤，又由歷史資料知道該病的發(fā)病率為料知道該病的發(fā)病率為0.0004,現(xiàn)有一人用這種方法檢驗出患現(xiàn)有一人用這種方法檢驗出患該病，求此人確患該病的概率。該病，求此人確患該病的概率。由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得：0038010999609500004095000040.

39、)AB(P)A(P)AB(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P 要求要求P(A|B)解：設(shè)解：設(shè)A A=患病患病 ，A=A=無病無病 ，B=B=檢查出患病檢查出患病 ，B=B=檢查出無病檢查出無病 則則 P(A)=0.0004P(A)=0.0004， P(A)=0.9996 P(A)=0.9996 P(B|A)=0.95， P(B|A)=0.9 P(B|A)=1-0.9=0.178課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：(課本課本P39第第37題題)市場供應(yīng)的燈泡中甲廠產(chǎn)品市場供應(yīng)的燈泡中甲廠產(chǎn)品0.6,乙廠產(chǎn)品占乙廠產(chǎn)品占0.4,甲廠產(chǎn)品的次品率為甲廠產(chǎn)品的次品率為0.05,乙廠產(chǎn)品的次

40、品率乙廠產(chǎn)品的次品率為為0.1, 若買到一只燈泡是合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率。若買到一只燈泡是合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率。解：設(shè)解：設(shè)A A1 1=甲廠生產(chǎn)甲廠生產(chǎn) ， A A2 2=乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn) ， B=B=合格品合格品 由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得：61090409506095060. 則則 P(AP(A1 1)=0.6)=0.6， P(A P(A2 2)=0.4)=0.4 P(B|A1)=1-0.05=0.95， P(B|A2)=1-0.1=0.9要求要求P(A1|B) 211111 iii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P79用用P(A

41、B)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)來刻劃獨(dú)立性，比用來刻劃獨(dú)立性，比用P(A|B)=P(A)更方便，更方便，因它不受因它不受P(B)是否為是否為0的制約，而且，式中事件的制約，而且，式中事件A與與B的地位對的地位對稱，反映了獨(dú)立的相互性。稱，反映了獨(dú)立的相互性。1. 1. 事件事件A A對于事件對于事件B B的條件概率的條件概率P(A|B)和事件和事件A的無條件概的無條件概率率P(A)可能相等或不相等?？赡芟嗟然虿幌嗟取Ｈ羧?P(A|B)= P(A) ( P(B) 0 )定義定義1.4此時由乘法公式知：此時由乘法公式知： P(A)=P(A|B) 等價于等價于 P(AB)P(A

42、B)= =P(A)P(B)P(A)P(B)稱稱對于獨(dú)立對于獨(dú)立1.5事件獨(dú)立性與貝努里概型事件獨(dú)立性與貝努里概型80P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)定義定義1.51.5：（事件的獨(dú)立性）：（事件的獨(dú)立性）則稱事件與則稱事件與相互獨(dú)立相互獨(dú)立。如果事件如果事件A，B，滿足：滿足：注：（注：（1 1）當(dāng)）當(dāng)P(B)P(B)時，時，P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)等價等價于于P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A) 當(dāng)當(dāng)P(A)0時，時，P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)等價于等價于P(B|A)=P(B)（2 2）若事件

43、）若事件A A，B B獨(dú)立，則獨(dú)立，則A A與與B B，A A與與B B，A A與與B B都獨(dú)立都獨(dú)立證明：事件證明：事件A A，B B獨(dú)立，有：獨(dú)立，有：P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)-P(A)P(B)P(A)-P(A)P(B) P(AB)P(AB)= =P(A-B)=P(A-AB)=PP(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)= (A)-P(AB)= = =P(A)1-P(B)=P(A)P(B)P(A)1-P(B)=P(A)P(B)即事件即事件A,BA,B獨(dú)立獨(dú)立（3）若）若P(A)=0或或1，則，則A與任何事件獨(dú)立與任何事件獨(dú)立證明：若證明：若

44、P(A)=0P(A)=0，則則P(AB)=0,P(AB)=0,P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)成立成立, ,則則A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立 若若P(A)=1,P(A)=1,則則P(A)=0,AP(A)=0,A與與B B獨(dú)立獨(dú)立, ,即即A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立81多個事件的獨(dú)立性多個事件的獨(dú)立性則稱則稱事件事件A A1 1 ,A,A2 2 , ,A An n 互相獨(dú)立互相獨(dú)立 定義定義1.8 1.8 對于事件對于事件A A1 1 ,A,A2 2 , ,A An n , ,若滿足若滿足: : P(AP(Ai iA Aj j)=P(A)=P(Ai i)P(A)P(Aj j)

45、 ) P(AP(Ai iA Aj jA Ak k)=P(A)=P(Ai i)P(A)P(Aj j)P(A)P(Ak k) ) P(AP(A1 1A A2 2 A An n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2) )P(AP(An n) )兩兩獨(dú)立：是指兩兩獨(dú)立：是指 A1，An 中任意兩個是獨(dú)立的，即中任意兩個是獨(dú)立的，即 對對 ij，有：有： P(A i A j) = P(A i) P(A j)互相獨(dú)立和兩兩獨(dú)立的區(qū)別互相獨(dú)立和兩兩獨(dú)立的區(qū)別:互相獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立互相獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立,但兩兩獨(dú)立但兩兩獨(dú)立不一定互相獨(dú)立不一定互相獨(dú)立（1）它們及它們的對立事件中任意一部分也是互相獨(dú)立

46、）它們及它們的對立事件中任意一部分也是互相獨(dú)立 niiniiniinii)A(P)A(P)A(P)A(P1111111（2）注：若注：若事件事件A A1 1 ,A,A2 2 , ,A An n 互相獨(dú)立，則互相獨(dú)立，則82“三個臭皮匠，頂一個諸葛亮三個臭皮匠，頂一個諸葛亮”，這是對人多辦，這是對人多辦法多，人多智慧高的一種贊譽(yù)。可從概率的計算法多，人多智慧高的一種贊譽(yù)?？蓮母怕实挠嬎愕玫阶C實。用得到證實。用 A i 表示表示“第第 i 個臭皮匠獨(dú)立解決某個臭皮匠獨(dú)立解決某問題問題”( i =1,2,3)，B表示表示“問題被解決問題被解決”，并設(shè)每，并設(shè)每個臭皮匠單獨(dú)解決某問題的概率分別為：個臭

47、皮匠單獨(dú)解決某問題的概率分別為： P(A1) = 0.45 P(A 2) = 0.55 P(A 3) = 0.60例：例：則：則： B B= = A A1 1A A2 2A A3 3 三個并不聰明的三個并不聰明的“臭皮匠臭皮匠”居然能解出居然能解出90%90%以上的問題以上的問題， 聰明的諸葛亮也不過如此。聰明的諸葛亮也不過如此。P(B) = 1- - P(B) = 1 P(A1A2A3) = 1 P(A1) P(A2) P(A3)= 1- - (1- - 0.45) (1- - 0.55) (1- - 0.60)= 1- - 0.550.450.40= 0.90183解：設(shè)解：設(shè)A=A=甲投

48、中甲投中 B=B=乙投中乙投中 C=C=丙投中丙投中 例例1 1： （課本（課本P28例例2）甲、乙、丙三人各投籃一次，他們投中的）甲、乙、丙三人各投籃一次，他們投中的概率分別為概率分別為 0.7 , 0.8 , 0.75, 求（求（1）三人中恰好有一人投中的概率）三人中恰好有一人投中的概率（2）三人都投中的概率（）三人都投中的概率（3）三人中至少有一人投中的概率）三人中至少有一人投中的概率ABC=ABC=三人都投中三人都投中 A+B+C=A+B+C=三人中至少有一人投中三人中至少有一人投中 P(ABC)P(ABC)= =P(A)P(B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42P(A)P(

49、B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42P(A+B+C)P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25 =0.985 =0.985ABC+ ABC + ABC =ABC+ ABC + ABC =三人恰好有一人投中三人恰好有一人投中 P P（ABC+ ABC + ABCABC+ ABC + ABC） = = P P（ABCABC）+P+P（ABCABC） + P + P（ABCABC） =0.7=0.7 0.20.2 0.25+0.25+0.30.3 0.

50、80.8 0.25+0.25+0.30.3 0.20.2 0.75=0.140.75=0.1484解：解：(1)(1)、當(dāng)、當(dāng)事件事件與與互不相容時，互不相容時，AB=AB= ，P(AB)P(AB)=0=0，P(A+B)P(A+B)= =P(A)+P(B)=0P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.3+0.4=0.7 獨(dú)立性獨(dú)立性: :是相對于概率是相對于概率P P而言的而言的, ,指兩事件的發(fā)生互不影響。指兩事件的發(fā)生互不影響。互不相容互不相容: : 是兩個事件不可能同時發(fā)生，即沒有公共的是兩個事件不可能同時發(fā)生，即沒有公共的 樣本點(diǎn)，但并不涉及到事件的概率。樣本點(diǎn)，但并不涉及到事件的概

51、率。兩事件獨(dú)立兩事件獨(dú)立與與兩事件互不相容兩事件互不相容的區(qū)別的區(qū)別例例2 2：（課本：（課本P38P38第第2727題）已知題）已知 P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.3,P(B)=0.4,在下列兩在下列兩 種情況下，求種情況下，求 P(A+B),P(AB)P(A+B),P(AB) (1) (1)當(dāng)事件當(dāng)事件A A與與B B互不相容時；互不相容時；(2)(2)當(dāng)事件當(dāng)事件A A與與B B獨(dú)立時獨(dú)立時 (2)(2)、當(dāng)、當(dāng)事件事件與與獨(dú)立時，則：獨(dú)立時，則：P(AB) P(AB) = = P(A)P(B)=0P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12.3 0.4=0.12(2)

52、(2)、當(dāng)、當(dāng)事件事件與與獨(dú)立時，則：獨(dú)立時，則：P(AB) P(AB) = = P(A)P(B)=0P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12.3 0.4=0.12P(A+B)P(A+B)= =P(A)+P(B)-PP(A)+P(B)-P(AB)(AB)=0=0.3+0.4-0.12=0.58.3+0.4-0.12=0.58 852. 貝努里概型貝努里概型試驗的獨(dú)立性：試驗的獨(dú)立性： 所謂兩個試驗所謂兩個試驗E1和和E2 獨(dú)立，是指試驗獨(dú)立，是指試驗E1 的結(jié)果的發(fā)生和的結(jié)果的發(fā)生和試驗試驗E2 的結(jié)果的發(fā)生互不影響。即試驗的結(jié)果的發(fā)生互不影響。即試驗E1 的任一事件和試驗的任一事件和試驗E

53、2 的任一事件是互相獨(dú)立的。的任一事件是互相獨(dú)立的。 獨(dú)立試驗序列：獨(dú)立試驗序列： 多個試驗多個試驗E1，E2 ，. En , A1 , A2 , ,An 分別是試驗分別是試驗E1，E2 ，. En 的任一事件，若的任一事件，若A1 , A2 , ,An是互相獨(dú)立的，則稱試驗是互相獨(dú)立的，則稱試驗E1，E2 ，. En 獨(dú)立試驗序列。獨(dú)立試驗序列。 86解：解：知知解得解得 例例3 3：（課本：（課本P28P28例例3 3）設(shè)兩事件）設(shè)兩事件A,B, 0P(A)1, 0P(B)1,A,B, 0P(A)1, 0P(B)1,且且 ，證明，證明A A與與B B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 1 )BA(P)B

54、A(P)BA(P)BA(P 1)BA(P)BA(P )B(P)BA(P)B(P)AB(P )B(P)B(P 1)AB(P)A(P)ABA(P)BA(P)BA(P )B(P)AB(P)A(P)B(P)AB(P 1)B(P)A(P)AB(P 故故A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立 87 將一個試驗將一個試驗 E 重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行 n 次所得的獨(dú)立試驗序列次所得的獨(dú)立試驗序列 , 稱為一個稱為一個 n重獨(dú)立試驗序列，記為重獨(dú)立試驗序列，記為En . n重重獨(dú)立試驗：獨(dú)立試驗： n重貝努里試驗重貝努里試驗：把一個貝努里試驗重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行：把一個貝努里試驗重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行n次，次， 每次試驗中事件每次試驗中事件A的

55、概率的概率P(A)=P保持不變。保持不變。 貝努里試驗貝努里試驗： 試驗只有兩個可能的結(jié)果和。試驗只有兩個可能的結(jié)果和。 定義定義1.7 若一個試驗若一個試驗 E 的的樣本空間樣本空間 =A ,A ,則稱則稱E為為一個一個貝努里試驗貝努里試驗 .88 問題：問題：在在n重貝努里試驗中，求事件重貝努里試驗中，求事件A出現(xiàn)出現(xiàn)k次的概率次的概率 (0 k n)定理定理1.7: 若事件若事件A在一次試驗中的概率為在一次試驗中的概率為P(A)=P，在在n重貝努里重貝努里 試驗中事件試驗中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)k次的概率為：次的概率為： knkknnqpC)k(P (其中其中q=1-p，0 k n)證明證明:在在 n 重貝努里試驗中，設(shè)重貝努里試驗中，設(shè)i = 第第 i 次試驗出現(xiàn)事件次試驗出現(xiàn)事件則指定的某則指定的某 k 次次(比如前比如前 k 次次)出現(xiàn)事件的概率可利用出現(xiàn)事件的概率可利用事件的獨(dú)立性求得：事件的獨(dú)立性求得：knknkknkkqp)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)AAAAA(P 121121由于在由于在 n 次試驗中恰有次試驗中恰有 k次出現(xiàn)事件次出現(xiàn)事件共有共有