第5章中心性和聲望

1、第5章 中心性和聲望 5.1 顯著：中心性和聲望 5.2 無(wú)向關(guān)系 5.3 有向關(guān)系 在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中分析，圖論的主要應(yīng)用之一是識(shí)別社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中“最重要的”角色。網(wǎng)絡(luò)中最重要或最突出的行動(dòng)者通常處于網(wǎng)絡(luò)中的戰(zhàn)略位置。本章我們要討論的定義主要基于度、聚集程度、介數(shù)（中介性）、信息，并簡(jiǎn)單討論行動(dòng)者的差異性社會(huì)地位和等級(jí)。圖圖5.1 在星形圖中，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他節(jié)點(diǎn)，而其他六個(gè)節(jié)點(diǎn)可以互換； 在環(huán)形圖中，所有節(jié)點(diǎn)都可以互換，因此中心度也是相等的； 在線形圖中，節(jié)點(diǎn)的中心地位是遞減的。 什么是顯著性？ 如果在網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)行動(dòng)者具有的連接使其相對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的其他行動(dòng)者特別引人注目，我們就認(rèn)為該行動(dòng)者

2、具有“顯著性”。2.無(wú)向（有向）關(guān)系中的顯著性如何確定？ 如果關(guān)系是無(wú)向的，社會(huì)關(guān)系矩陣X的第i行和第i列是相同的。因此，行動(dòng)者i在網(wǎng)絡(luò)中的顯著性，取決于社會(huì)關(guān)系矩陣中g(shù)-1個(gè)可能連接或輸入項(xiàng)，以此來(lái)確定行動(dòng)者i的地位。如果關(guān)系是有向的，那么社會(huì)關(guān)系矩陣的第i行和第i列則不同，行動(dòng)者i在網(wǎng)絡(luò)中的顯著性，就取決于i所在社會(huì)關(guān)系的2（g-1）個(gè)輸入項(xiàng)。5.1.1 行動(dòng)者的中心性1.中心性的定義 問(wèn)題的關(guān)鍵在于參與到多種互動(dòng)中，而不是區(qū)別這些關(guān)系是發(fā)起端還是接受端2.中心性的表示 用C表示一個(gè)設(shè)定的中心量度，是某個(gè)特定的 的函數(shù)，假設(shè)用A表示一個(gè)類(lèi)的量度，則可表示為 。in)(inCA5.1.2 行

3、動(dòng)者的聲望 什么是聲望？ 我們把一個(gè)有聲望的行動(dòng)者看作擴(kuò)展聯(lián)系的目標(biāo)，也就是關(guān)注作為接受者的行動(dòng)者。換句話說(shuō)，必須通過(guò)觀察指向行動(dòng)者的聯(lián)系來(lái)判定行動(dòng)者的聲望。因?yàn)槿攵扰c出度只有在有向關(guān)系中才可以進(jìn)行區(qū)分，所以我們也只能在有向關(guān)系中量化行動(dòng)者的聲望。5.1.3 組群集中度和組群聲望 中心度（集中度）指標(biāo)的性質(zhì)：值越大代表該行動(dòng)者越有可能具有較強(qiáng)的中心性，而相應(yīng)的其他行動(dòng)者的非中心性可能越大。 群組級(jí)的量是集中度的一個(gè)指標(biāo)，度量行動(dòng)者的中心差異性和異質(zhì)性。 Freeman采用一種便利的通用的數(shù)學(xué)方法來(lái)定義群組級(jí)的中心度指標(biāo)。 是一個(gè)行動(dòng)者的中心度指標(biāo)，記)(inCA)(max)(*iAiAnCnC

4、 通用的中心度指標(biāo)為：這個(gè)指標(biāo)的值總是在0和1之間。giiAAgiiAAAnCnCnCnCC1*1*)()(max)()(5.2 無(wú)向關(guān)系 假定我們有一個(gè)行動(dòng)者集，并且在行動(dòng)者對(duì)之間是單一的“二元的”無(wú)向關(guān)系。為了找到最重要的行動(dòng)者，我們將尋找一種能反映行動(dòng)者處于中心的度量方法。下面我們引入關(guān)于中心性的幾個(gè)定義，包括最大度、接近度、中介和信息。5.2.1 度中心度 中心性度量（一）節(jié)點(diǎn)的度 行動(dòng)者度中心度： 標(biāo)準(zhǔn)化： 便可在不同大小的網(wǎng)絡(luò)間比較 群組的度中心度： )(din)()(iiDndnC1)()(igndnCiDgiiDDgiiDDDnCnCnCnCC1*1*)()(max)()()2

5、)(1()()(1*ggnCnCCgiiDDD 星形圖達(dá)到其最大值1，環(huán)形圖達(dá)到最小值0，線形圖的指標(biāo)067. 0DC 另外一種行動(dòng)者中心度指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)度量是度的方差： 這里 是平均行動(dòng)者度指標(biāo)，它在0和g-1之間變化。標(biāo)準(zhǔn)化得到圖的密度：gCnCSgiDiDD122)(DCgnCCiDD)(gnCggnCgCiDiDD)() 1()(1 星形圖的密度0.286，環(huán)形圖0.333，線形圖0.286. 注意：像平均度數(shù)和密度這樣的指標(biāo)并不是真正的集中度度量，集中度應(yīng)量化單個(gè)行動(dòng)者指標(biāo)的范圍或變化性，因而 和 是有效地中心度度量，而用來(lái)量化行動(dòng)者平均趨勢(shì)而不是變化性的平均度數(shù)或圖密度并不是有效地

6、中心度度量。2DSDC5.2.2 接近中心度 中心度度量方法（二）接近中心度 強(qiáng)調(diào)在行動(dòng)者集中，某一個(gè)行動(dòng)者與所有其他行動(dòng)者的接近程度。即如果一個(gè)行動(dòng)者能快速的與所有其他行動(dòng)者產(chǎn)生內(nèi)在連接，它就是中心行動(dòng)者。中心度與距離是反向相關(guān)的。 行動(dòng)者接近中心度 表示連接行動(dòng)者i和j的最短路徑的條數(shù) 行動(dòng)者接近度指標(biāo)：下標(biāo)c代表“接近度”。指標(biāo)的最大值為弊端：指標(biāo)僅對(duì)連接圖有意義。),(jinnd1-1),()(gjjiicnndnC1-1）（g 標(biāo)準(zhǔn)化： 這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)的取值范圍在0和1之間，被看作行動(dòng)者i和所有其他行動(dòng)者之間的平均距離的倒數(shù)。 對(duì)于星形圖，所有其他行動(dòng)者的指標(biāo)全部等于0.545，中心

7、行動(dòng)者的指標(biāo) 對(duì)于環(huán)形圖，行動(dòng)者指標(biāo)全部等于0.5，對(duì)于線形圖，指標(biāo)呈多樣化，從0.5降到0.286. )() 1(),(1)(1icgjjiicnCgnndgnC0 . 1)(icnC 群接近中心度：這里 是行動(dòng)者集合中最大的標(biāo)準(zhǔn)化行動(dòng)者的接近度 標(biāo)準(zhǔn)化了的行動(dòng)者接近度指標(biāo)的方差：這個(gè)指標(biāo)概括了 間的異質(zhì)性。平均標(biāo)準(zhǔn)接近度)32()2)(1()()(1*gggnCnCCgiiccc)(*nCcgCnCSgicicc122)( )(icnCgnCCicc)(5.2.3 中介中心度 中心度度量（三）中介中心度 如果某個(gè)行動(dòng)者位于其他行動(dòng)者的最短路徑上，該行動(dòng)者就處于中心，這表示，為了有一個(gè)大的中

8、介中心度，行動(dòng)者必須在通過(guò)更多行動(dòng)者間的最短路徑之間。 表示連接兩個(gè)行動(dòng)者間最短路的數(shù)目，使用它們中 任意一條路進(jìn)行通信的概率簡(jiǎn)單表示為 表示連接行動(dòng)者j,k的最短路上包含行動(dòng)者i的個(gè)數(shù) 行動(dòng)者 中介中心度指標(biāo)： j和k不同于ijkgjkg1)(ijknginkjjkijkiBgngnC)()( 標(biāo)準(zhǔn)化： 優(yōu)勢(shì)：與接近度不同，即使圖是非連通的，這些中介度指標(biāo)也能計(jì)算。2)2)(1( )()(ggnCnCiBiB 群中介度指標(biāo)： 簡(jiǎn)化：)2() 1()()(221*ggnCnCCgiiBBB1)()(1*gnCnCCgiiBBB5.2.4 信息中心度 中心度度量（四）信息中心度 通過(guò)選取從一個(gè)行

9、動(dòng)者到另外一個(gè)行動(dòng)者所有的路徑，包含最短路徑，并設(shè)定它們各自的權(quán)重，計(jì)算出兩者間的組合路徑。 首先產(chǎn)生一個(gè)gxg的矩陣A,它的對(duì)角線元素為： 不在對(duì)角線上的元素為：的所有事件的價(jià)值總和iiina1相鄰和節(jié)點(diǎn)若節(jié)點(diǎn)不相鄰和節(jié)點(diǎn)若節(jié)點(diǎn)jiijjiijnnxnna11通常地，行動(dòng)者i的信息中心性指標(biāo)：指標(biāo)有最小值0，但無(wú)最大值。相對(duì)信息指標(biāo)： 它被界定在0與1之間，指被個(gè)別行動(dòng)者所控制的圖的整個(gè)信息流的比例。之間聯(lián)系的值和行動(dòng)者表示在行動(dòng)者jixijc,ij1它含有元素 ACgjijgiiiCRCT11,gRTcnCiiiI)2(1)(iiIiIiInCnCnC)()()( 群信息集中度 行動(dòng)者的平

10、均信息： 均值不是集中度指標(biāo)，一個(gè)真實(shí)的群組級(jí)信息集中度指標(biāo)被表示為行動(dòng)者信息指標(biāo)的方差：)(iiIInCCgCnCSgiIiII)(1225.3 有向關(guān)系 在前面部分，我們討論了無(wú)向關(guān)系，并且介紹了四種行動(dòng)者級(jí)中心度指標(biāo)，現(xiàn)在我們討論這些指標(biāo)和其他類(lèi)型的指標(biāo)是怎樣在有向關(guān)系上進(jìn)行計(jì)算的。 5.3.1 中心性 （一）度數(shù) 中心度強(qiáng)調(diào)作出的選擇，我們記錄每個(gè)行動(dòng)者的出度，而不是度數(shù)（有向關(guān)系）： 度數(shù)集中度的群組級(jí)指標(biāo)：) 1()(gxnCiiD21*1*1*) 1()()()()(max)()(gnCnCnCnCnCnCCgiiDDgiiDDgiiDDD （二）接近度 有向關(guān)系的行動(dòng)者級(jí)接近度

11、中心度指標(biāo)為（與無(wú)向關(guān)系形式一樣）： 一個(gè)“改進(jìn)的”行動(dòng)者級(jí)中心度接近度指標(biāo)考慮 與它的影響范圍內(nèi)的行動(dòng)者的接近程度。我們將其定義為： 表示行動(dòng)者i影響范圍內(nèi)的行動(dòng)者的數(shù)目。指標(biāo)是群中可達(dá)的行動(dòng)者部分與該行動(dòng)者可達(dá)的哪些行動(dòng)者的平均距離的比值。gjjiicnndgnC1),(1)(iniJijiiicJnndgJnC),() 1()(*5.3.2 聲望 度數(shù)聲望 最簡(jiǎn)單的行動(dòng)者級(jí)聲望測(cè)度是每一個(gè)行動(dòng)者的入度，因此，我們定義： 標(biāo)準(zhǔn)化： 鄰近聲望 定義 為在行動(dòng)者i的影響域內(nèi)的行動(dòng)者的數(shù)目。我們定義：iiIiDxndnP)()() 1()(gxnPiiDiIiijiiPInndgInP),()

12、1()( 基于鄰近的群組級(jí)聲望指標(biāo)： 平均值： 方差： 地位或等級(jí)聲望 定義 為行動(dòng)者集合中的行動(dòng)者i的行動(dòng)者等級(jí)聲望度giiPPgnPP1)(giPiPPgPnPS122)()(iRnP)()()()(2211gRgiRiRiiRnPxnPxnPxnP 例如，如果 那么，若令則，上述公式系統(tǒng)表示為： 或 命名這個(gè)與特征值相關(guān)的特征向量為這個(gè)向量的元素為行動(dòng)者等級(jí)聲望指標(biāo)： 17252752 xxnnn選擇，結(jié)果是和被)()()(752nPnPnPRRR) )(,),(),(21gRRRnPnPnPPPXP0)(PXI) )(,),(),(211gRRRnPnPnPp1p比較和擴(kuò)展 結(jié)論 中介

13、度指標(biāo)最能體現(xiàn)圖中重要行動(dòng)者的本質(zhì)，接近中心度指標(biāo)在非連通圖中不能被計(jì)算，以及星形圖總得到最大的中心度得分，同時(shí)環(huán)形圖得到最小的集中度。另外，還有一些不顯而易見(jiàn)的發(fā)現(xiàn)： 三種中心度度量在34種圖的排序上有明顯不同。 中介度的行動(dòng)者中心度和群集中度的變化范圍最大，即中介中心度產(chǎn)生最大的行動(dòng)者方差。 度中心度的行動(dòng)者中心度和群集中度的變化范圍是最小的，即度中心度可產(chǎn)生最小的方差。第6章 結(jié)構(gòu)平衡和傳遞性 6.1 結(jié)構(gòu)平衡 6.2 可聚類(lèi)性 6.3 可聚類(lèi)性的一般化 6.4 傳遞性 6.5 總結(jié)6.1 結(jié)構(gòu)平衡 什么是平衡 結(jié)構(gòu)平衡關(guān)注的不是單一個(gè)體，而是個(gè)體的集合或是組群。在一個(gè)組群內(nèi)，我們必須逐

14、一考慮所有的人，如果兩個(gè)人互相喜歡（網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)“+”關(guān)系），并且他們?cè)趯?duì)其他所有人的評(píng)價(jià)上都保持一致，這個(gè)組群在結(jié)構(gòu)上就是平衡的。6.1.1 符號(hào)無(wú)向關(guān)系 我們假定可以用一個(gè)帶符號(hào)的無(wú)向關(guān)系來(lái)描述P的態(tài)度，那么用來(lái)度量P對(duì)對(duì)象X態(tài)度的P和X之間的連線，當(dāng)態(tài)度為正面的時(shí)候帶“+”，當(dāng)態(tài)度為負(fù)面的時(shí)候?yàn)椤?”。三元關(guān)系（P-O-X）圖6.1 八種可能的P-O-X三元關(guān)系XPO 一個(gè)回路如果有偶數(shù)條符號(hào)為負(fù)邊，那么這個(gè)回路總是帶正號(hào)。這八個(gè)圖自然的就分成了兩個(gè)子集：一個(gè)子集包含帶正回路的四個(gè)圖，一個(gè)子集包含帶負(fù)回路的四個(gè)圖。 平衡 當(dāng)回路的符號(hào)為正時(shí)，我們將定義一個(gè)由節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間的連線構(gòu)成的三元

15、關(guān)系是平衡的。這樣，圖6.1第一行的四個(gè)圖都是平衡的，第二行的四個(gè)圖則不平衡。 定義6.1 當(dāng)且僅當(dāng)所有的回路為正時(shí)，符號(hào)圖就是平衡的 如果一個(gè)圖不包含回路，它就是既非平衡也非不平衡或稱(chēng)虛平衡。6.1.2 符號(hào)有向關(guān)系 定義6.2 當(dāng)且僅當(dāng)所有的半回路都為正時(shí)，一個(gè)符號(hào)有向圖是平衡的。6.1.3 平衡性檢驗(yàn) 如果我們將圖看成一個(gè)社會(huì)關(guān)系矩陣的形式，可以看出如果圖是平衡的，那么社會(huì)關(guān)系矩陣對(duì)角線上的元素的p次冪，必須是非負(fù)的。因?yàn)榛芈返淖畲箝L(zhǎng)度為g,因此我們不必讓社會(huì)關(guān)系矩陣的冪大于g。6.1.4 平衡指數(shù) PC為圖（有向圖）中的正回路（正半回路）的個(gè)數(shù)，TC為回路（半回路）的個(gè)數(shù)，平衡指數(shù)就是

16、PC/TC。 總結(jié) 結(jié)構(gòu)平衡最重要的方面就是平衡圖中的節(jié)點(diǎn)能夠被分成兩個(gè)子集或類(lèi)。6.2 可聚類(lèi)性 定義6.3 一個(gè)符號(hào)圖是可聚的，如果能夠把圖的節(jié)點(diǎn)分成有限個(gè)子集，且子集必須滿(mǎn)足：同一子集中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間由正邊連接，不同子集中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間由負(fù)邊連接。這種由聚類(lèi)得到的子集就叫做類(lèi)。 一個(gè)平衡的符號(hào)圖有一個(gè)或兩個(gè)類(lèi)。一個(gè)不平衡的符號(hào)圖仍可以是可聚的，而且可以有不止兩個(gè)類(lèi)。 聚類(lèi)定理 定理6.1 當(dāng)且僅當(dāng)圖中不包含只有一條負(fù)邊的回路時(shí)，符號(hào)圖存在聚類(lèi)。 定理6.2 對(duì)于任何完全符號(hào)圖，下列四種表述都是等價(jià)的：圖是可聚類(lèi)的。 圖有唯一的聚類(lèi)方法。 圖中不存在僅有一條負(fù)邊的（任何長(zhǎng)度的）回路。 圖中不存在僅有一條負(fù)邊的長(zhǎng)度為3的回路。 小結(jié) 三元關(guān)系是關(guān)鍵。6.3 可聚類(lèi)性的一般化